坐标系与参数方程知识点总结与真题训练

坐标系与参数方程专题
一．极坐标系
1、极坐标系的概念
在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .
2、极坐标与直角坐标的互化
设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，可以得出：
3、简单曲线的极坐标方程
⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 a ρ=；（
②以(,0)a )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；
③以(,)2a π
)0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；
⑵直线的极坐标方程
① 过极点的直线的极坐标方程是)0(≥=ραθ和(0)θπαρ=+≥.
② ②过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 化为直角坐标方程为x a =.
③过点(,)2A a π
且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是sin a ρθ=. 化为直角坐标方程为
y a =.
二．参数方程
1.、参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数
⎩⎨⎧==),
(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2、常见曲线的参数方程
（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程为cos sin x a r y b r θθ
=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）； （2）椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数）； 椭圆22
221(0)y x a b a b +=>>的参数方程为cos sin x b y a ϕϕ
=⎧⎨=⎩ （ϕ为参数）； （3）过定点),(00y x P ,倾斜角为()2παα≠
的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）.
3．参数方程与普通方程之间的互化
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致.
参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。

若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。

根据t 的取值范围导出的取值范围.
4．直线参数方程参数的几何意义（常结合韦达定理考查）
过点P(x 0,y 0)且倾斜角为()2παα≠的直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x (t 为参数)。

现有点M （x 1,y 1），N （x 2,y 2）对应的参数分别为t 1，t 2。

此时：|t 1|表示P 点到M 的距离，即|t 1|=|PM |；
|t 2|表示P 点到N 的距离，即|t 2|=|PN |;
|MN |=|t 1−t 2|，|PM |•|PN |=|t 1•t 2|。

)(),(t g y t f x ==y x ,
三．选修4-4：坐标系与参数方程（全国卷）
1.．(2014卷2)2014在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]．
（1）求C 得参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l:y =√3x +2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标
2.（2015卷2）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =t cos α,y =t sin α, （t 为参数,且0t ≠ ）,其中（0≤
α<π）,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ.
（I ）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（II ）若C 1与 C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB |最大值.
3．（2016卷3年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cos αy =sin α
(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为
sin()4ρθπ+=．
（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
4．（2017卷3）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =2+t,y =kt,
（t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =−2+m,y =m k
,（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲
线C ．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
5.（2018卷3）在直角坐标系xoy 中，圆○的参数方程为{x =cos θy =sin θ
（θ为参数），过点(0,√2)且倾斜角为α的直线l 与圆○交于A, B 两点.
（1）求α取值范围.
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程
6.（2019卷3）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB
⏜，BC ⏜，CD ⏜所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线M 1是弧AB
⏜，曲线M 2是弧BC
⏜，曲线3M 是弧CD ⏜。

（1）分别写出M 1，M 2，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由M 1，M 2，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．。