求解一类矩阵特征向量的几种近似方法

∴ s ≤ 0．4x ＋ 60 × 2．6，
∴ s 最大 ＝ 0．4 × 40 ＋ 60 × 2．6 ＝ 172（千元）.
答：生产甲 产 品 40 套 ，生 产 乙 产 品 20 套 时 ，工 厂 的 月
产值最大为 172 千元.
四、借助函数解几何问题
例 4 如 图 ，AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 点 C，D 在 圆 上 ， 且
Σ w （2） i
0．089
i＝1
1 26
Σ Σ 1
w （3） = Aw（2） = 2
14
0．585 1．769 0．325 = 0．974 ；
1 6
1 4
1
0．089
0．268
归一化，w（3） =
w （3)
3
=
Σ w （3） i
i＝1
Σ 0．585
0．325 ，不满足条件（1）； 0．089
1
1 w （4) = Aw（3） = 2
平均值. 幂法是求最大特征根对应特征向量的迭代方法.
三种方法都比定义法计算高阶矩阵特征向量简便得多，是
正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法.
【参考文献】 ［1 ］ 姜 启 源 ，谢 金 星 ，叶 俊． 数 据 模 型 （3 版 ） ［M］， 北 京： 高等教育出版社， 2003． ［2］ 施 劲 松 ， 刘 剑 平． 矩 阵 特 征 值 、 特 征 向 量 的 确 定 ［J］． 大学数学， 2003（06）． ［3］ 熊凯俊， 李丽萍． 矩阵多项式特征值 、特征向量的 简单求法［J］． 科协论坛（下半月）， 2008（02） ． ［4］ 杨兴东． 2n 阶矩阵特征值与特征向量的分块计算 ［J］． 徐州师范大学学报（自然科学版）， 1993（01） ． ［5］ 陈攀峰． 矩阵特征问题的计算方法 ［J］． 宿州师专 学报， 2003（01） ． ［6］ 阚 永 志 ， 周 绍 华． 谈 秩 为 1 的 方 阵 的 特 征 值 的 求 法［J］． 辽宁工学院学报， 2005（04）．
（上接 81 页）
1 26
1 14
例 3 运用幂法求矩阵 A = 2
的特征值与
1 6
1 4
1
特征向量.
解 a．任取 w（0） = （1 0 0）T；
1
1 b． w （1） = Aw（0） = 2
26
1
1 14
1
0=2；
1 6
1 4
1
0
1 6
Σ Σ0．6
w （1）归一化，即 w（1） ＝
w （1）
3
＝ 0．3 ；不满足
数学学习与研究 2009.12
CD∥AB，若 AB ＝ 10，求梯形 ABCD 周长的最大值.
分析 对几何极值问题， 建立变量之间的函数关系是
一种有效的解决途径.
解 设 AD ＝ x ， 梯 形 ABCD 的 周 长 为 y， 连 BD， 作
DE⊥AB． 则 由 AB 为 直 径 易
知△ABC～△DEB，从而 AD2 ＝
D
C
AE ×AB，即 AE ＝ 1 x2. 10
阵的阶数较高时， 计算特征值和基础解系是相当困难的，因
此，定义法只可以适用于阶数较低的矩阵来解得特征向量.
对 于在实际决策中应用较广泛的一类矩阵— ——正互反
阵， 下面介绍三种简便的近似方法计算此类矩阵的特征根
和特征向量.
方法一 和法
a．将 A 的每一列向量归一化得 w ij =
aij
n
；
Σaij
i=1
Σ
2
6Σ Σ
0 Σ
Σ
0.6
1
4
Σ
ΣΣ列向量归一化
0.3
Σ
1 4
Σ
1Σ ΣΣ Σ
0.1
0.615 0.308 0.077
0 0 0 0 1.760
0.587
按行求和 0.972 归一化 0.324 = w；
0 0.545
0.364 0.091
0.268
0.089
10
Σ
Σ
1 Σ
Σ
Aw =
2 Σ
Σ
Σ
1 Σ
n i ＝ 1 wi
例2
10
Σ
Σ
1Σ
Σ
运用根法计算
A=
2Σ
Σ
Σ
1Σ
Σ
Σ
6Σ
Σ
2
6
Σ Σ
Σ
Σ
1
4
Σ
ΣΣ的特征值与特征向量.
Σ
1
Σ
1Σ Σ
4
Σ Σ
10
Σ
Σ
1 Σ
Σ
解
A=
2 Σ
Σ
Σ
1 Σ
Σ
Σ
6 Σ
Σ
2
6Σ Σ
0 Σ
Σ
0.6
1
4
Σ
ΣΣ列向量归一化
0.3
Σ
1
Σ
1Σ Σ
0.1
4
Σ Σ
0.615 0.308 0.077
w （k＋1）
n
；
Σ w （k＋1） i
i=1
d．对于预先给定的精度 ε，当｜wi（k＋1） － wi（k）｜ ＜ ε（i ＝ 1，2，…，n）
时，w（k＋1）即为所求的特征向量，否则返回 b；
Σ e．计算特征根 λ =
n
1
n i＝1
（k＋1）
wi . （k）
wi
（下转 83 页）
解题技巧与方法
JJIIEETTIIJJIIQQIIAAOOYYUUFFAANNGGFFAA
Σ w （1） i
0．1
i＝1
｜wi（1） － wi（0）｜ ＜ ε（i ＝ 1，2，3）；
（1）
1 26
Σ Σ 1
w （2） = Aw（1） = 2
0．6
1．8
14 0．3 =
1；
1 1 1 0．1 64
0．275
Σ 0．585
归一化，即 w（2） =
w （2）
3
= 0．325 ，不满足条件 （1）；
26
Σ Σ 0．585 1．769
14 0．325 = 0．974 ；
1 6
1 4
1
0．089
0．268
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归一化， w （4) =
w （4）
3
=
Σ w （4） i
i＝1
Σ 0．585
0．325 ，满足条件（1）； 0．089
Σ 0．585
所以 w（4） = 0．325 为所求特征向量；特征根
0．089
方法二 根法.
a． 将 A 的每一列向量归一化得 w ij =
aij
n
；
Σaij
i=1
1
0仪 0 n
n
b． 对 w ij 按行求积并开 n 次方，即 w i =
w ij ；
j＝1
c． 将 w i 归一化 wi ＝
wi
n
，w ＝ （w1，w2，…，wn）T；
Σwi
i＝1
n
Σ d． 计算 λ = 1
（Aw）i ，作为最大特征根的近似值.
=
3.009. 因此， 运用 和 法 计 算 的 特 征 向 量 w ＝ （0．587，0．324，
0．089）T，特征根为 λ = 3.009. 而通过精 确 计 算 ，可 以 得 到 特
征 向 量 w ＝ （0.588，0．322，0．090）T， 特 征 根 为 λ = 3.010. 两
者相比，相差很小.
3
1.769 + 0.974 + 0.268 0. 587 0.324 0.089
= 3.009.
特征向量 w = （0.587 0.324 0.089）T.
方法三 幂法.
a．任取 n 维归一化初始向量 w（0）；
b．计算 w （k＋1） ＝ A w （k），k ＝ 0，1，2，…；
c． w 归 （k＋1） 一化 ，即令 w(k+1) =
Σ Σ λ =
1 3
3 i＝1
w （4） i
w （3） i
=
1 3
1.768 + 0.973 + 0.268 0.588 0.323 0.089
= 3.010.
比较上面的三种方法， 不难发现和法是最为简便的，
且精确度较高. 和法和根法都是采用平均值来计算特征向
量，只是和法是求列向量的算术平均值，而根法是求几何
0 0.545
0.364 0.091
0 0 0 0 0 0 0.201
0.586
0.587
按行求积 0.034 开 3 次方 0.324 归一化 0.324 = w；
0.0007
0.089
0.089
0 0 1.769
Aw = 0.974
0.268
n
Σ 0 0 λ = 1 （Aw）i = 1
n i ＝ 1 wi
【关键词】 矩阵；特征向量；特征值；近似解法
高等代数中求解矩阵 A 的特征向量的方法如下：
（1） 求特征方程 f（λ） ＝ ｜λE － A｜ ＝ 0 的全部特征根 λ1，λ2，…， λr；（2）求相应的特征向量，对每个特征值 λi（i ＝ 1，2，…，r）， 求齐次线性方程组（λiE－A）λ=0 的基础解系. 可以看出如果矩
解题技巧与方法
JJIIEETTIIJJIIQQIIAAOOYYUUFFAANNGGFFAA
81
求解一类矩阵特征向量的几种近似方法
◎丁克华 （江苏省泰州市姜堰市罗塘高级中学 225300） ◎王明刚 （南京师范大学泰州学院数学系 225300 ）
【摘要】 研究高阶矩阵的特征向量是解决决策问题的 重要手段，对实际生活中的问题如何作出抉择有重要的作 用，但众所周知，用定义计算矩阵的特征值和特征向量是 相当困难的， 特别是矩阵的阶数较高的时候. 本文研究了 求解一类高阶矩阵的三种近似方法，为求解高阶矩阵的特 征向量提供了一条简便的思路.
n
Σ b．对 w ij 按行求和得 w i ＝ w ij； i＝1
c．将 w i 归一化 wi ＝
wi
n
，w ＝ （w1，w2，…，wn）T；
Σwi
i＝1
n
Σ d．计算 λ = 1
（Aw）i ，作为最大特征根的近似值．
n i ＝ 1 wi
这个方法实际上是将 A 的列向量归一化后取平均值，
作为 A 的特征向量. 因为当 A 为一致阵时， 它的每一列向
Σ
6 ΣΣ
Σ
2
6Σ Σ
0 00 0 Σ
Σ
0.587
1.769
1
4Σ Σ Σ
0.324
=
0.974
.
Σ
1 4
Σ
1Σ ΣΣ Σ
0.089
0.268
数学学习与研究 2009.12
n
Σ 0 0 特征根 λ = 1 （Aw）i = 1
n i ＝ 1 wi
3
1.769 0.587
+
0.974 0.324
+
0.268 0.089
量都是特征向量，所以若 A 的不一致性不严重，则取 A 的
列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的.
例1
1 Σ
Σ
Σ
1 Σ
Σ
运用和法求矩阵 A =
2 Σ
Σ
Σ
1 Σ
Σ
6 ΣΣ
Σ
特征向量.
2
6Σ Σ
Σ
Σ
1
4
Σ
ΣΣ的 特 征 值 和
Σ
1 4
Σ
1Σ ΣΣ Σ
1Σ
Σ
Σ
1 Σ
Σ
解
A=
2 Σ
Σ
Σ
1 Σ
Σ
6 ΣΣ
AE
O
B
于是 CD ＝ AB － 2AE ＝ 10 － 1 x2. 5
∴ y ＝ AB ＋ 2AD ＋ CD ＝ － 1 x2 ＋ 2x ＋ 20 ＝ － 1 （x － 5）2 ＋ 25.
5
5
注意到 0﹤x﹤5 姨 2 ，易知 x ＝ 5 时梯形 ABCD 的周长 取得最大值 25.
综上，可知几何方法直观、形象，代数方法解答过程严 密、规范、思路清晰. 我们在解决有关问题时，见到数量就 要考虑它的几何意义， 见到图形就应考虑它的代数关系. 数形结合思想方法体现了思路的灵活、过程的简便、方法 的多样化. 它为我们提供了多条解决问题的通道， 使灵活 性、创造性的思维品质得到了更大程度的发挥.
83
≥2x ＋ y ≤ 60，
（2） 40 ≤ x ≤ 50，
y ≥ 0，且 x，y 是非负整数.
我 们 要 在 区 域 （1）和 （2）上 选 点 ，使 s ＝ 3x ＋ 2．6y 取 得
最大值.
∵ s ＝ 3x ＋ 2．6y 可变形为 y ＝
s - 3x 2.6
，
代入 x ＋ y ≤ 60
得 2．6x ＋ s － 3x ≤ 60 × 2．6.