上海(沪教版)数学高二下学期同步辅导讲义教师版：第七讲多面体的概念和直观图

沪教版数学高二下春季班第七讲
课题 多面体的概念和直观图 单元
第十五章 学科
数学
年级
十一
学习 目标 1．理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质；
2．会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算．
重点 1．棱柱、棱锥的有关概念，直棱柱和正棱锥的有关性质；
2．掌握基本的直观图作图方法． 难点 掌握基本的直观图作图方法．
1、 多面体的定义：由几个多边形围成的封闭立体叫多面体。

2、 棱柱
（1） 定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相
平行，由这些围成的多面体叫棱柱。

（2） 基本性质：侧面都是平行四边形；两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形；
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

（3） 侧面积和体积公式：S Cl 侧（C 为垂直于侧棱的直截面的周长，l 为侧棱长），
教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10 5
课后练习
30
多面体的概念和直观图
知识梳理
V Sh =（S 为底面面积，h 为高）
注：（1）{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.
（2）棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．
. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．
多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. （3）平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分，而四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．
棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
3、 棱锥
（1） 定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体。

（2） 基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面
分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。

注：棱锥的侧面积与底面积的射影公式：α
cos 底侧S
S =（侧面与底面成的二面角为α）
4、 正棱锥
（1） 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，这个棱
锥叫做正棱锥；
（2） 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高
在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

面积与体积：S S S =+表底侧，1
3
V Sh =。

注：（1）正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）
（2） 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
（3）正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.
（4）特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.
5、斜二侧画图法特点
（1）建立空间坐标系（右手法则）；
（2）把平行于x、y、z轴的线段分别画成平行于这些轴；画线段时将与x、z轴平行的线段取原长，与y轴平行的线段取原长的一半，并画空间图形的直观图。

6、斜二侧画图法性质
（1）平行直线的斜二侧图仍是平行直线；
（2）线段及其线段上定比分点的斜二侧图保持原比例不变。

例题解析
1、多面体的概念
【例1】判断下列命题是否正确？
（1）有两个面互相平行的多面体是棱柱；（）
（2）各个侧面都是矩形的棱柱是长方体；（）
（3）若一个平行六面体的四个侧面都是正方形，则这个平行六面体是正方体；（）
（4）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；（）
（5）底面边长相等的直四棱柱是正四棱柱．（）
【难度】★★
【答案】1．╳2．√ 3．╳4．√ 5．╳
【例2】命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱；正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★★
【答案】A
【例3】设长方体各面上矩形的对角线长分别为a、b、c．在下列条件下，求长方体的对角线长l：（1）用a、b、c表示l；
（2）长方体的全面积为242cm ，所有棱长之和为24；
（3）长方体的三个面的面积分别是22cm ，32cm ，62cm ． 【难度】★★ 【答案】（1）2222
2
c b a ++；（2）cm 32；（3）cm 6．
【例4】如图，直三棱柱111ABC A B C -，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=o ， 侧棱12AA =，点D 、E 分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影 是三角形ABD 的重心G ．
（1）1A B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点1A 到平面ADE 的距离． 【难度】★★★ 【答案】226
【解析】解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.
设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，
.3
2
arcsin
.32
3
136sin .3,32,22,2.
36
321,2.3,1,3
1
.,,,,,,112211所成的角是与平面于是中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==
∠∴===∴===⨯===∴==
⋅=∈∴∆∴⊥ΘΘΘ
（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AED A V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又Θ
AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S AB A AED ⋅=⋅∆∆1 .2
621,24121111=⋅==⋅==
∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AE A 又 .3
62.3622
6221的距离为到平面即AED A h =
⨯=
∴
【例5】在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB =CC 1=a ，BC =b ． （1）设E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ； C 1
A
C
G
D E A 1 B 1
（2）求证：A 1C 1⊥AB ；
（3）求点B 1到平面ABC 1的距离．
【答案】（1）证明：∵E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1．∵A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC ．∴EF ∥平面ABC ．
（2）证明：∵AB=CC 1，∴AB=BB 1又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB 1A 1为正方形．连接A 1B ，则A 1B ⊥AB1．又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1．∴AB 1⊥A 1C 1．又A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面A 1ABB 1．∴A 1C 1⊥AB ． （3）解：∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1∥平面ABC 1．∴A 1到平面ABC 1的距离等于B 1到平面ABC 1的距离．过A 1作A 1G ⊥AC 1于点G ，∵AB ⊥平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1G ．从而A 1G ⊥平面ABC 1， 故A 1G 即为所求的距离，即A 1G=2
2a b a b。

【例6】若三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的内心，则下列命题中错误的是 （ ）
A ．侧面和底面所成的二面角都相等
B ．顶点到底面各边的距离都相等
C ．这个棱锥是正三棱锥
D ．顶点在底面的射影到各侧面的距离相等
【难度】★★ 【答案】C
【例7】一个三棱锥，SA ⊥底面ABC ，∠ABC 为直角，则它的三个侧面 （ ）
A ．必然都不是直角三角形 B.至多只能有一个直角三角形 C. 至多只能有两个直角三角形 D. 可能都是直角三角形 【难度】★★ 【答案】D
【例8】设三棱锥S —ABC 的底面为等腰直角三角形，已知该直角三角形的斜边 AC 长为10，三棱锥的侧棱SA=SB=SC=13，求： (1)顶点S 到底面的距离；
(2)侧棱SB 与底面所有角的大小(用反三角函数表示)； (3)二面角A —SB —C 的大小(用反三角函数表示)；
【难度】★★
【答案】如图(1)作SO ⊥底面ABC ，由已知SA=SB=SC 知，O 为底面△ABC 的外心， 又△ABC 为直角三角形，故O 为斜边AC 的中点.∴SO=2
2
AO -SA =2
2
5-13=12. 即顶点S 到底面的距离是12.
(2)∠SOB 是SB 与底面ABC 所成的角.∠COB=arcsin
SB SO =arcsin 13
12
(3)作AD ⊥SB 于D ，连结CD.∵SB ⊥AD,SB ⊥AC.∴SB ⊥平面ADC
∴CD ⊥SB,∠ADC 是二面角A —SB —C 的平面角，易得 AB=BC=52，AD=DC=
13
313
5 ∴∠ADC=arccos(-31325)，即二面角A —SB —C 的大小是arccos(-313
25).
【巩固训练】
1．判断正误：
（1）一条侧棱与底面两条边垂直的棱柱是直棱柱； （ ） （2）底面为正方形的棱柱是正棱柱； （ ） （3）底面是正三角形，顶点在底面上的射影是正三角形的外心的棱锥是正三棱锥； （ ） （4）底面是正三角形，侧面为全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． （ ）
【难度】★★
【答案】1．╳ 2．╳ 3．√ 4．√
2．现有边长为a 的正三角形、正方形、含︒60角的菱形铁片各四块，并对它们编号，从1号到12号，选择一定数量的铁片作底面和侧面，可组成多面体。

（1）当你选择编号为 的铁片时，可组成一个正三棱柱； （2）当你选择编号为 的铁片时，可组成一个正四棱锥； （3）当你选择编号为 的铁片时，可组成一个斜三棱柱．
【难度】★★
【答案】（1）1，2，5，6，7等；（2）1，2，3，4，5等；（3）1，2，5，9，10等．
3．设A={正四棱柱}，B={直四棱柱}，C={长方体}，D={直平行六面体}，则这些集合之间的关系是 （ ）
A ．D
B
C A ⊆⊆⊆ B ．B
D C A ⊆⊆⊆ C ．D B A C ⊆⊆⊆ D ．B D A C ⊆⊆⊆ 【难度】★★ 【答案】B
4．一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是 （ ）
A ．正五棱锥
B ．斜三棱柱
C ．不规则几何体
D ．正三棱柱
【难度】★★
【答案】B
【解析】该棱锥一定不是正六棱锥.否则设正棱锥S —ABCDEF 符合题设，则在△SAB 和△OAB 中(O 为顶点S 在底面的射影)，∵SA=SB=AB=OA=OB,∴△SAB ≌△OAB 但△OAB 是△SAB 在底面的射影，不可能.
5．在三棱锥ABC S -中，⊥SA 平面DE BC AB ABC ,,⊥垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于
E D 、，又2,===BC a AB SA a ．
（1）求证：⊥SC 平面BDE ；
（2）求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小． 【难度】★★
【答案】（1）证明：略；（2）60︒．
6．命题:①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；②所有的侧棱长都相等的棱锥，一定是正棱锥；③各侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥，一定是正棱锥；④底面多边形内接于一个圆的棱锥，它的侧棱长都相等；⑤一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑥一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直．其中正确的有 （ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5 【难度】★★ 【答案】B
7．在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1．（1）求D 到平面PBC 的距离；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小．
【难度】★★
arctan 2
8．已知斜三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的侧面ACC 1A 1与底面ABC 垂直，∠
ABC=90°，BC=2，AC= 且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1 =A 1C ．
（1） 求侧棱AA 1与底面ABC 所成角的大小；
（2） 求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小； （3） 求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1的距离．
1
【难度】★★★
【答案】45°；60
9．直平行六面体的底面锐角是α，底面一边的长是α，过这边和它对的棱的截面面积是Q ，这截面和底面所成的二面角为90°-α，则底面另一边的长是 （ ）
A ．
2Q
a
B ．
Q a
C ．2aQ
D ．
2Q a
【难度】★★ 【答案】B
10．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，∠AB 1C =α，∠ABC =β，∠BAB 1=θ，则 （ ）
A ．sin α=sin β·cos θ
B ．sin β=sin α·cos β
C ．cos α=cos β·cos θ
D ．cos β=cos α·cos β
【难度】★★ 【答案】A
11．一个棱锥的各棱都相等，则这个棱锥必不是（ ）
A ．三棱锥
B ．四棱锥
C ．五棱锥
D ．六棱锥
【难度】★★ 【答案】D
12．三棱锥A -BCD 高AH ＝33a ，且H 为底面BCD V 的垂心，若AB =AC ，二面角A -BC -D 为60°，G 为△ABC 的重心，则HG 的长是 （ ） A ．10a
B ．7a
C ．6a
D ．5a
【难度】★★ 【答案】B
2、直观图和三视图
【例9】在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( )
(A)角的水平放置的直观图不一定是角 (B)相等的角在直观图中仍然相等 (C)相等的线段在直观图中仍然相等
(D)若两条线段平行,且相等,则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 【难度】★★ 【答案】D
【例10】试画出如下列各图所示的几何体中过P N M 、、三点的截面图：
•
• •
N
M
P
•
•
•
P M
N •
• •
N P
M
【难度】★★ 【答案】
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
【例11】用斜二侧法画出下面平面图形的直观图：
•
•
•
N
P
M •
• •
N
P
M N
•
• •
P M
•
•
•
P
M N
•
•
• M
P
N
•
•
•
M N P
•
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M
N
P
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•
N
M
P
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• • P
M
N
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• •
N P
M
•
•
•
N
P M •
•
•
N P
M
N •
•
•
P
M •
•
•
P
M
N • •
• M
P
N •
• • M N P
•
•
•
M
N P
【难度】★★
【答案】略
【例12】下列四个几何体中，几何体只有主视图和左视图相同的是()
A．①②B．①③C．①④D．②④
【难度】★★
【答案】D
【例13】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．
【难度】★★
【答案】③
【例14】一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
【难度】★★ 【答案】C
【例15】在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的点P 的个数_______． 【难度】★★ 【答案】6
【巩固训练】
1．若用“斜二测法”作出边长为2的正方形ABCD 的直观图是1111D C B A ，则直观图1111D C B A 最长的对角线长为 ． 【难度】★★ 【答案】225+
2．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 ．
【难度】★★ 【答案】①
3．如图，点E 、F 是正方体棱上的三等分点，截面EBF D 1在面11DCC D 上的射影是（ ）
A B 1B
D 11D E
【难度】★★
【答案】D
4．在正方体上选择4个顶点，能作为如下五种几何形体的4个顶点：①矩形；
②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
能使这些几何体（图形）正确的所有序号是（）A．①④B．①②C．①④⑤D．①③④⑤
【难度】★★
【答案】D
5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()．
A．
2
4
2
a B．222a C.2
2
2
a D.22
3
2
a
【难度】★★
【答案】D
6．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）
A．
2
4
2
a B．222a C.2
2
2
a D.22
3
2
a
【难度】★★
【答案】D
7．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()．
A．
2
4
2
a B．222a C.2
2
2
a D.22
3
2
a
【难度】★★
【答案】D
8．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．
以上结论正确的个数是________．
【难度】★★
【答案】1
多面体是一类重要的几何体，掌握多面体的概念和分类，重点是将各种常见的多面体归类到多面体的各个分类，而且掌握其重点特征．
同时，另一类重要的问题就是在各个多面体中进行角与距离的计算，平行与垂直关系的证明，这些问题需要用到空间中的直线与平面章节的内容与方法，同时也是多面体的分类及特征的应用．立体图形的直观图就是采用斜二测画法将立体图形画为平面图形．画截面时需要掌握三类常见画法，同时理解这三类画法与平面基本公理的练习．
名称棱柱直棱柱正棱柱
图形
定义有两个面互相平
行，而其余每相
邻两个面的交线
都互相平行的多
面体
侧棱垂直于底面
的棱柱
底面是正多边
形的直棱柱
侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形
平行于底面的截面的形状与底面全等的多
边形
与底面全等的多
边形
与底面全等的
正多边形
反思总结课后练习
1．正三棱锥的侧面与底面成60°的二面角，则侧棱与底面所成角的正切值是 （ ）
A ．
23 B ．32 C ．6
3
D ．不确定 【难度】★★ 【答案】A
2．长方体长、宽、高的和为6，全面积为11，则其对角线长为 ，若一条对角线与二个面所成的角为30°和45°，则另一个面所成的角为 ，若一条对角线与各条棱所成的角为α、β、γ，则sinα、sinβ、sinγ的关系为 ． 【难度】★★
【答案】5，30°，222sin sin sin 1αβγ++=
3．如图，四棱锥P-ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点C 到平面PAB 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ，BC 到平面PAD 的距离为3d ，则有 （ ）
A ．312d d d <<
B ．123d d d <<
C ．132d d d <<
D ．213d d d << 【难度】★★ 【答案】D
4．在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，∠BAC=90°,AB=BB 1=1,B 1C 与平面ABC 与所30°的角.⑴求点C 1与平面B 1AC 的距离；⑵求二面角B —B 1C —A 的余弦值． 【难度】★★
；
5．P-ABCD 是四棱锥，则四个侧面三角形中为直角三角形的最多个数为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【难度】★★ 【答案】D
6．△ABC 的边BC 上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将⊿ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角B-AD-C ，若cos a
b
=
，则三棱锥A-BCD 的侧面△ABC 是 （ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．形状与,a b 的值有关 【难度】★★ 【答案】C
7．正方体的截面不可能是：①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形⑤正六边形，下述选项正确的是（ ）
A ．①②⑤
B ．①②④
C ．②③④
D ．③④⑤ 【难度】★★ 【答案】B
8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和CC 1的中点，则四边形MDNB 1的形状是 （ ）
A ．梯形
B ．菱形
C ．矩形
D ．以上都不是 【难度】★★ 【答案】B
9．经过底面是菱形的直四棱柱ABCD-A'B'C'D'的顶点A 作一截面AB 1C 1D 1，分别与侧棱BB'，CC'，DD' 交于点B 1、C 1、D 1，得到几何体ABCDD 1C 1B 1，若BB 1=DD 1，CC 1=2，AB=2，∠DAB=60○． ⑴求证：四边形AB 1C 1D 1为菱形；⑵求截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 所成的二面角的大小． 【难度】★★
【答案】略；
10．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为8，对角线B 1C=10, D 是AC 的中点．求直线AB 1到面C 1BD 的距离．
【难度】★★
11．棱柱为直棱柱的一个必要不充分条件是 ( )
A ．有一条侧棱与底面垂直
B ．有一个侧面与底面的一条边垂直
C ．有一条侧棱与底面的两条边垂直
D ．该棱柱为正棱柱 【难度】★ 【答案】C
12．若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形ABC 的直观图是111C B A ∆，则111C B A ∆的重心1G 到底边11B A 的距离是 ． 【难度】★★
【答案】
6
6
13．过正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使得截面与底面所成的角
为045，则此截面的形状为（ ）
A ．三角形或五边形
B ．三角形或六边形
C ．六边形
D ．三角形或四边形 【难度】★★ 【答案】B
14．平行六面体ABCD- A 1B 1C 1D 1的六个面都是菱形，那么顶点B ，在平面ACB 1上的射影一定是△ACB 1的（ ）
A.重心
B.外心
C.内心 D ，垂心
【难度】★★ 【答案】B
15．如果平行六面体分别过它相对的两条侧棱的两个截面都是矩形，那么平行六面体是（ ）
A.立方体
B.正四棱柱
C.长方体
D.直平行六面体
【难度】★★ 【答案】D
16．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，各侧棱与底面所成的角彼此相等，那么顶点在底面的射影是底面三角形的（ ）
A 、垂心又是内心
B 、内心但不是垂心
C 、外心又是垂心
D 、垂心又是重心 【难度】★★ 【答案】C 17．棱锥的底面面积是150cm 2，平行于底面的一个截面面积为54cm 2，底面和这个截面的距离为12cm ，则这个棱锥的高_________
【难度】★★ 【答案】30cm
18．直三棱柱111C B A ABC -中，11===BC AC AA ，BC AC ⊥，1D 是11B A 上的一点，则1D 到截面1ABC 的距离等于 ． 【难度】★★
19．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为6，B 1C ＝10，D 为AC 的中点E 、F 分别在侧棱A 1A 和BB 1上，且AF ＝2BE ＝BC ． （1）求证：AB 1∥平面C 1BD ；
（2）求异面直线AB 1和BC 1所成的角；
（3）（理）求过F 、E 、C 的平面与棱柱下底面所成二面角的大小． 【难度】★★
【答案】（1）略；（2）23arccos 50
；（3）45︒
．
20．直三棱柱111C B A ABC -中，ο90=∠BAC ，1==AC AB ，N M 、分别是棱B A 1、11C B 上的点，且B A MN N B N C M A BM 1111,2,2⊥==．
（1）求直三棱柱111C B A ABC -中的高a 及MN 的长；
（2）动点P 在11C B 上移动，问P 在何位置时，B PA 1∆的面积才能取得最小值． 【难度】★★ 【答案】（1）1
，3；（2）当P 与N
重合时，最小值为6
21．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V = ． 【难度】★★
22．已知四面体ABCD 中，2==CD AB ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为
3
π
，则EF =________． 【难度】★★ 【答案】1 或3
23．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
【难度】★★ 【答案】B
24．如图，在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，⊥OA 底面ABCD ，1=OA ，则OC 与底面ABCD 所成角的大小为 (结果用反三角
函数值表示)． 【难度】★★
【答案】arctan
A
B
D
O 第24题图。