第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (练)(含答案解析)

第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体
积(练）
第01讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（精练）A 夯实基础一、单选题
（2022·广西玉林·高一期末）
1．若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（）
A ．
274
πB ．92
π
C ．3π
D ．
94
π（2022·广东梅州·高一期末）
2．如图，A O B '''V 是水平放置的△AOB 的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O '为坐标原点，顶点A '、B '均在坐标轴上，且△AOB 的面积为12，则O B ''的长度为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（2022·广东茂名·高二期末）
3．储粮所用“钢板仓”，可以看成由圆锥和圆柱两部分组成的.现有一种“钢板仓”，其中圆锥与圆柱的高分别是1m 和3m ，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，若要储存3003m 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数是（
）
A ．6
B ．9
C ．10
D ．11
（2022·辽宁锦州·高一期末）
4．正三棱锥S ABC -的高为
，则该三棱锥的侧棱长为（）
A ．
B ．
C ．
D ．4
（2022·上海·复旦附中高二期末）
5．小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱
111111ABCDEF A B C D E F -，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱
柱变成了斜六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为1V 和1S ，斜棱柱的体积和侧面积分别为2V 和2S ，则（
）
.
A ．
12
12
V V S S >B ．
12
12
V V S S <C ．
12
12V V S S =D ．1
1V S 与22
V S 的大小关系无法确定
（2022·湖南常德·高一期末）
6
的内切球体积为（）A ．4π
B ．
43
π
C ．π
D ．
6
π（2022·河南驻马店·高一期末）
7．已知平面四边形ABCD ，连接对角线BD ，得到等边三角形ABD 和直角三角形BCD ，且3AB =，π
2
BDC ∠=
，BC =，将平面四边形ABCD 沿对角线BD 翻折，得到四面体A BC D ''，则当四面体A BC D ''的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（）
A ．12π
B ．18π
C ．21π
D ．28π
（2022·重庆市第七中学校高一期末）
8．
如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，AC BC ⊥，=60B ∠︒，3AD CD ==．现将ACD 沿AC 折起，并连接BD ，当三棱锥D ABC -的体积最大时，其外接球的表面积为（
）
A ．
16π
3
B
．C ．
32π3
D ．24π
二、多选题
（2022·重庆八中高一期末）
9．某工厂生产出一种机械零件，如图所示零件的几何结构为圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝4cm ，CD ＝2AB ，则下列说法正确的有（
）
A
B ．该圆台轴截面面积为2
C ．该圆台的体积为
3
cm 3
D ．一只蚂蚁从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为10cm （2022·安徽宣城·高一期末）
10．已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M 、N ，若线段MN 的最小
，则（
）
A ．正四面体的棱长为6
B ．正四面体的内切球的表面积为6π
C ．正四面体的外接球的体积为
D ．线段MN 的最大值为
三、填空题
（2022·上海市青浦高级中学高一期末）
11．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.（2022·广东·高二期末）
12．
《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，2AC BC ==，11AA =，则鳖臑11A CBC -的外接球的表面积为__________．
四、解答题
（2022·广东佛山·高一期末）
13．如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11B C ，11A C 的中点E ，F ，G ，H ．
(1)直接写出直线FG 与直线1A H 的位置关系；
(2)有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由．
(3)已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面ABC 全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）
14．如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知
5,3AB BC CD ===，
(1)求该圆柱的表面积；
(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．B 能力提升
（2022·海南·高一期末）
15．已知正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为6
，且1122AB A B ==，则（）
A B ．侧棱与底面所成的角为60︒
C ．正四棱台的侧面积为
D ．正四棱台的外接球体积为
π3
（2022·江苏徐州·高一阶段练习）
16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，E ､F 分别是11A D ､1AA 的中点，平面CEF 截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为___________，截面多边形的周长为___________.
C 综合素养
（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）
17．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD 由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.
（2022·浙江宁波·高二期末）
18．如图，D ，E ，F 分别是边长为4的正三角形三边,,CA AB BC 的中点，将ADE V ，BEF △，
CFD △分别沿,,DE EF FD 向上翻折至与平面DEF 均成直二面角，得到几何体
ABC DEF -．则二面角C AB E --的余弦值为_____；几何体ABC DEF -的外接球表面积
为_____．
（2022·山东菏泽·高一期中）
19．在一个正方形1234PP P P 内有一个小正方形ABCD 和四个全等的等边三角形
（如图1）．将四个等边三角形折起来，使1P 、2P 、3P 、4P 重合于点P ，且折叠后的四棱锥P ABCD -（如图2）的外接球的表面积是64π，则四棱锥P ABCD -的侧棱PA 的长为______；若在四棱锥P ABCD -内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥P ABCD -内任意转动，则该正方体棱长的最大值为______．
（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）
20．半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为___________.
参考答案：
1．A
【分析】先求得圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积公式求解即可
【详解】由题可知，该圆锥的底面半径为32，因此，该圆锥表面积为2
33273224πππ
⎛⎫
⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
故选：A 2．B
【分析】画出△AOB 的原图，根据三角形△AOB 的面积为12可得答案.【详解】画出△AOB 的原图为直角三角形，且6''==OA O A ，
因为1
122⨯=OB OA ，所以4OB =，
所以1
22
''==O B OB .
故选：B.
3．C
【分析】先根据题意求出一个“钢板仓”的体积，然后用300除以“钢板仓”的体积可得答案【详解】因为圆锥的高为1，轴截面中等腰三角形的顶角为120°，所以圆锥的母线长为2
所以一个“钢板仓”的体积为
2
2
3
1
3110m
3
πππ⨯
⨯+⨯⨯
⨯=，
因为
300
9.510π
≈
所以要储存3003m 的水稻，则需要准备这种“钢板仓”的个数为10个，故选：C 4．D
【分析】作图，根据条件，解直角三角形即可.
【详解】
依题意作上图，其中E 是BC 的中点，D 是正三角形ABC 的中心，并且SD ⊥平面ABC ，SE BC ⊥，
则有SD SE ==，在Rt SDE
中，
3ED AE ED ==
=AB BC AE ∴==
=，
在Rt SBE
中，4SB ===；
故选：D.5．A
【分析】根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出1
1V S 和22
V S ，分析即可得答案.
【详解】设底面面积为S ，底面周长为C ，则11V S AA =⋅，11S C AA =⋅，所以
11V S
S C
=，设斜棱柱的高为h ，则2V S h =⋅，
2AB BC CD DE EF FA S AB h BC h CD h DE h EF h FA h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()AB BC CD DE EF FA h Ch >+++++⨯=,
所以
21
21
V V Sh S S Ch C S <==.故选：A 6．D
【分析】画出轴截面，设内切球的半径为r ，则OD OE r ==，6OCD π∠=，CD =，从而可求出OD ，进而可求出内切球体积
【详解】轴截面如图所示，设内切球的半径为r ，则OD OE r ==，
由题意可得6OCD π∠=
，CD 在Rt OCD △中，tan OD
OCD CD
∠=，
所以1
tan 2
OD CD OCD =⋅∠=
，即12r =，
所以内切球体积为3
34413326
r π
ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
故选：D
7．C
【分析】先根据底面A BD '面积为定值，确定四面体ABCD 的体积最大时，
C B
D '⊥平面A BD ',再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果.【详解】因为底面A BD '为正三角形，所以底面A BD '面积为定值，所以当C BD '⊥平面A BD '时，四面体ABCD 的体积最大.
设A BD ' 外接圆圆心为1O ,则四面体ABCD 的外接球的球心O 满足1//OO C D ',且
11322
OO C D '==，三角形A BD '的外接圆半径为3
2sin 60r r =⇒=︒
因此外接球的半径R 满足22222
3321()()()224
R r =+=+=
从而外接球的表面积为2421R ππ=.故选：C.
8．D
【分析】先利用条件判断平面ACD ⊥平面ABC 时体积最大，再计算空间中边AB 所对的角90ADB ACB ∠=∠=︒，即判断AB 为外接球的直径，计算表面积即可.
【详解】
因为ABC 的面积不变，要使体积最大，需D 到平面ABC 的距离最大，
即当平面ACD ⊥平面ABC 时，体积最大，
因为ACD 等腰直角三角形，取AC 中点E ,则DE ⊥平面ABC ，高为DE =2
最大，AC =
则Rt ABC 中，60B ︒∠=，BC ，AB =EB =
2
，故Rt BDE 中BD 所以ABD △中222AD BD AB +=，即得空间中90ADB ACB ︒
∠=∠=即AB 为球的直径，故半径22424R AB ==，所以外接球的表面积24π24πS R ==.故选:D.9．BCD
【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A 选项；由梯形面积公式即可判断B 选项；由圆台体积公式即可判断C 选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D 选项.
【详解】
如图，作BE CD ⊥交CD 于E ，易得22
CD AB
CE -==，则12B O E O ==
圆台的高为，A 错误；
圆台的轴截面面积为2
1(48)2+⨯，B 正确；
圆台的体积为31π(4168)πcm 33
=++⨯V ，C 正确；
将圆台一半侧面展开，如图中ABCD ，设P 为AD 中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD ，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm ，底面半径为4cm ，侧面展开图的圆心角为2π4
π8
θ⋅=
=，连接CP ，可得∠COP ＝90°，OC ＝8，OP ＝4＋2＝6，则
10CP ==，所以沿着该圆台表面从点C 到AD 中点的最短距离为10cm ，故D 正确．故选：BCD.10．ABD
【分析】设这个四面体的棱长为a ，利用分割补形法求出其外接球的半径，由等体积法求其内切球半径，再由已知列式求解a ，然后逐个分析判断即可
【详解】设这个四面体的棱长为a ，则此四面体可看作棱长为
2
a 的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，设外接球的半径为R ，内切球的半径为r ，则
2R ==，所以R =，
四面体的高为3h a =，则等体积法可得11
433Sh Sr =⨯，
所以1412
r h ==，
由题意得R r -，
所以
412
a -=6a =所以A 正确，
所以6R ==
，所以外接球的体积为3
344332R ππ⎛=⋅= ⎝⎭
，所以C 错误，
因为内切球半径为6r ==2
24462r πππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
，所以B 正确，
线段MN 的最大值为22
R r +==，所以D 正确，故选：ABD
11．
3
R
【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离.
【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O ，
则60AOO '∠= ,故32
AO R '=
,即北纬30°，
由题意可知2π
1203
AO B '∠==
,故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的 AB 的长，
故 AB 的长为2π323R
R =
,
故答案为：3
R 12．9π
【分析】将鳖臑11A CBC -外接球即为堑堵111ABC A B C -的外接球，从而求出外接球直径为
13A B ==，根据球的表面积公式可求其外接球表面积，
【详解】堑堵111ABC A B C -的外接球即为鳖臑11A CBC -外接球，又可将堑堵111ABC A B C -补成长方体，长方体的外接球即为堑堵111ABC A B C -的外接球，
长方体的外接球直径为13A B ==，所以鳖臑11A CBC -的外接球的半径为
32
，∴鳖臑11A CBC -的外接球表面积为2
34π×=9π2S ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
故答案为：9π.13．(1)异面
(2)不是棱台，理由见详解(3)18
【分析】（1）根据三角形中位线定理，异面直线的定义进行判断即可；（2）根据棱台的定义进行判断即可；
（3）根据棱锥和棱柱的体积公式进行求解即可.（1）
因为水面恰好过AC ，BC ，11B C ，11A C 的中点E ，F ，G ，H ，所以111111
//,//,,,22
HG A B EF AB HG A B EF AB ==又11//,A B AB 且11,
A B AB =因此//HG EF ，且HG EF =，所以四边形EFGH 是平行四边形，
故//FG EH ，而1A H EH H = ，所以直线FG 与直线1A H 不可能平行，而面EFGH 平面111A B C HG =，所以直线FG 与直线1A H 不可能是相交直线，所以直线FG 与直线1A H 是异面直线；（2）
因为棱台各侧棱交于一点，易知1AE A H 无交点，所以该几何体不是棱台；（3）
设此三棱锥的高为h ，底面面积为S ，容器中水的形状为棱柱，体积为
3864
S
S ⨯=所以有1
63
S h S ⋅⋅=，解得18h =，即三棱锥的高为18
14．(1)75π2
(2)15π
【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；
（2）ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可
【详解】（1）由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==，可得圆柱的底面圆的半径为5
2
R =
，则圆柱的底面积为2
2
1525πππ24S R ⎛⎫
==⨯= ⎪⎝⎭，
圆柱的侧面积为25
2π2π525π
2
S Rl ==⨯⨯=所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42
S S S =+=⨯
+=．（2）由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，所以以ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：22221111
πππ55π4515π3333
V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=．
15．ABD
【分析】求得正四棱台的侧棱长判断选项A ；求得侧棱与底面所成的角判断选项B ；求得正四棱台的侧面积判断选项C ；求得正四棱台的外接球体积判断选项D.
【详解】设正四棱台的高为k ，由题意可知该四棱台的上下底面面积分别为1和4，则(
)112436V h =
++=
，得2
h =．如图，过1A 作1A G ⊥底面ABCD
，易知点G 在线段AC
上，则12
A G =
又由11AC
AC =
AG =，
所以1AA ==A 正确；
在1Rt A GA 中，111
cos 2
AG A AG A A ∠=
=，所以160A AG ∠=︒，即侧棱与下底面所成的角为60︒，故B 正确；在梯形11ABB A 中，2AB =，111A B =
所以梯形11ABB A
的面积为(
)112224
⨯+
⨯=
，
4=C 错误；设正方形ABCD 的中心为O
，易知1AAO 为等边三角形，
11OA OA AA ===
点O 到正四棱台的8
，
则正四棱台的外接球体积为3
4ππ3
3
⨯
=
，故D 正确．故选：ABD
16．五,
【分析】作出截面图求解即可.
【详解】解：延长EF 交DA 的延长线于M ,连接MC 交AB 于N ,延长FE 与DD1的延长线相交于点P,连接PC 交C1D1于Q ,连接EQ ,则五边形EFNCQ 即为平面CEF 截正方体所得的截面.如图所示：
则有A1F =FA =AM =3,
又因为MAN ∆与MDC ∆相似，所以
MA AN
MD CD
=，解得AN=2,
所以FN ==NC ==
同理可得：QD 1=2,QC 1=4,
所以QC =，EQ =
又因为EF =
所以五边形EFNCQ 的周长为
故答案为：五；
17．
9
729
【分析】由两个同底且棱长都为1的正三棱锥构成的几何体求解.【详解】解：如图所示：
易知该几何体是侧棱长为1，以边长为1的等边三角形ABD △为底的两个正三棱锥组成，O 为ABD △的中心，即内切球的球心，M 为FB 的中点，连接HM ，作ON HM ⊥，则ON 为内切球的半径，
因为,,623OM HM HO ====
，所以11
22
HOM
S OH OM HM ON =⋅=⋅ ，
所以内切球的半径为OH OM
R ON HM ⋅===，
内切球的体积为343729
V R ππ==，
18．
5
-
203π##203π
【分析】（1）取DE 的中点P ，EF 的中点Q ，AB 中点G ，则二面角C AB E --为CGE ∠，再根据几何关系分别计算,GE OE 即可得
（2）取外接球球心O ，设ABC 中心为P ，DEF 中心为Q ，根据3OP OQ PQ +==列式求解可得球半径，进而得到表面积即可
【详解】取DE 的中点P ，EF 的中点Q ，故,AP DE BQ EF ⊥⊥，根据面面垂直的性质可得AP ⊥平面DEF ，BQ ⊥平面DEF ，故//AP BQ ，且AP BQ =，故矩形APQB .所以
1
12
AB PQ FD ===.根据图形的对称性，易得ABC 为正三角形，取AB 中点G ，因为
EA EB =，CA CB =，则CG AB ⊥，EG AB ⊥，则二面角C AB E --为CGE ∠，且
2
22
2
115
222
GE AE AG ⎛⎫=-=
-=
⎪⎝⎭
，作GO PQ ⊥，易得3GO AP ==，且CGE CGO OGE ∠=∠+∠，22153
342
OE GE GO =-=
-=
，故()3
52cos cos 90sin 515
2
CGE OGE OGE ∠=∠+=-∠=-
=-o ，即二面角C AB E --的余弦值
为5
5
-
（2）设几何体ABC DEF -的外接球球心为O ，设ABC 中心为P ，DEF 中心为Q ，易得,,P O Q 共线，如图，设外接球半径OC OD R ==，根据正三角形中的关系，3
CP =3
DQ =因为3OP OQ PQ +==22223OC CP OD DQ --，即
2214333R R -
-=222144323333R R R -=+--⋅-24
233
R =-，解得25
3
R =，故外接球表面积为22043S R ππ==
故答案为：5
-；
203π
19．
4【分析】确定四棱锥P －ABCD 的外接球球心的位置，进而根据外接球表面积求得正四棱锥棱长；先求得四棱锥P －ABCD 的内切球的半径，那么在四棱锥P －ABCD 内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，由此可求得答案.【详解】连接AC ，BD 交于点O ，
则易得,APC BPD 是等腰直角三角形，
则O 是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x ，
则外接球的半径是OA =
2
x ，
所以2
464x ππ⎫
=⎪⎪⎝⎭
，x =PA =，
因此PO OA ==
42
x =，
故四棱锥P －ABCD 的体积22
111284333
x PO ⋅=⨯⨯=.
设四棱锥P －ABCD 的内切球半径为R ，
四棱锥的表面积：((224432
4
PAB ABCD S S S =+=⨯⨯+=+ ，所以四棱锥的体积1281
1
()33
3
S ABCD SAB ABCD V S S R SR -=
=+= ，
则
R =
在四棱锥P －ABCD 内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，设放入四棱锥S －ABCD 内部的小正方体棱长为a ，
24
R ≤=-，故4a ≤-
故a 最大为4
故答案为：4-20．
4π
【分析】首先找到外接球的球心，再利用勾股定理计算即可；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小，然后根据正四面体内切球的相关计算求解即可.
所以该半正多面体外接球的半径1R =，故其表面积为4π.
若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.
此时，设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为
3
a ，考查轴截面，则有22
2
11
33a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得a =
所以(2
min 134
3V ⎛=⋅⋅⋅= ⎝
故答案为：4π；
答案第15页，共15
页【点睛】关键点点睛：本题第②空的关键点是探究出结论：若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.。