巧用力矩解平衡问题

巧用力矩解平衡问题
王云波 （上海市育诚高级中学 200233）
限于知识的难度和学生的实际情况等，中学物理中，物体在平面力系作用下保持平衡的问题，常细化为二力平衡、共点力平衡及有固定转动轴物体的平衡。

而重点研究二力平衡、共点力平衡问题。

力矩知识主要用来解决有固定转动轴物体的平衡问题或必须选定转动轴才能解决的问题。

但是需要指明，物体在平面力系作用下保持平衡的充要条件是：作用于物体的平面力系矢量和为零，对和力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零。

处于平衡状态的的物体，可以是静平衡，即物体既无平动也无转动保持静止；也可以是动平衡，即物体做匀速直线运动或匀速转动。

因此，受平面力系而处于平衡状态的物体，其所受的共点力平衡与力矩平衡是统一在一起的。

在学生学习过程中，碰到既可以用共点力平衡解决又可以用力矩平衡解决的问题时常常比较迷茫，认为共点力平衡与力矩平衡是互相排斥的。

其实不然，只是平时我们接触到的问题要么突出共点力，要么突出力矩，而淡化另一方面。

当有些问题同时需要满足两方面条件比较明显时，平衡的充要条件就突出了。

这两方面是相辅相成的，甚至看似用共点力解决的问题，若换一个角度，用力矩来解则可以独辟蹊径，事半功倍。

特别在以下几个方面用力矩往往有独到的用法。

1、共点力平衡问题可以转换为力矩平衡问题情况。

当物体受力复杂时且作用点不在一点（此时作用线仍交于一点）时，取受力最复杂的点为转动轴可以减小分析力的个数（过转动轴的力矩为零，可以不分析其力）；特别是有两个以上的物体系统，整体法用力矩平衡解答更简洁。

例1、两球A 、B 带同种电荷，A 质量为ｍ1，带电为q 1，B 质量为m 2，带电为q 2。

平衡如图所示，两球处于同一水平线上，两边θ1=θ2。

则(1)两小球的质量关系为 ；(2)若A 质量为ｍ1=m ，B 质量为m 2=2ｍ，则θ1和θ2
A ，受绳拉力T 、库仑力F 1、重
力m 1g 作用，建立水平和竖直方向坐标系，有F 1-Tsin θ1=0；Tcos θ1-m 1g=0，得tg θ1=g m F 11=2
121gr m q kq 。

同理，对B 有tg θ2=g m F 22=2221gr m q kq 。

因为θ1=θ2，F 1=F 2，所以tg θ1=tg θ2，可得m 1= m 2。

此法较繁，若用力矩平衡则很简。

取A 、B 整体对象，以悬挂点为转动轴，则可以回避两球间的库仑力、绳对两球的拉力，对系统由力矩平衡条件有：m 1gLsin θ1=m 2gLsin θ2,因为θ1=θ2,所以有m 1=m 2。

特别对于第二问，用共点力平衡很繁，用力矩平衡有：m 1gLsin θ1=m 2gLsin θ2，m 1=m ，m 2=2m 可得：2
1sin sin θθ=2。

由此看，用力矩平衡解答此类问题，既减少了分析力的个数，又可以大大简化数学运算。

例2、如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。

α
β
A B O
解析：此题可以分别分析小球A 、B 所受共点力，对每个球列共点力平衡方程求解，但是很繁琐。

若换一个角度，以O 为轴用力矩求解则较方便。

如右下图，小球A 受到N 1、N 2、 m 1g 三个力作用，B 受到N 1’、N 3、m 2g 三个力作用。

与弹簧一起看作绕过O 点的转动轴平衡问题，其中N 2、N 3没有力臂，N 1和N 1’的力矩互相抵消。

于是有：m 1gRsin α=m 2gRsin β，所以有：βαsin sin m m 21= 。

2、用于求极值情况。

一般情况下，由某一物理规律建立的函数关系，再求某一物理量极值问题，函数关系要具有非单调性。

因此常见的要么是二次函数求极值，要么是三角函数求极值。

如此就要建立二次方程或三角方程，然后经过数学运算求极值。

碰到三角函数，求极值又很难，并且加重了数学知识得运用而淡化了物理思想和方法。

而用力矩解可以将过转动轴的力不用考虑，不仅减少分析力的个数，也使建立的方程或函数关系由二次变为一次，从而简化运算，更突出了物理思维。

例3. 如图所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角
尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。

AO 、BO 的长分别为2L 和L 。

开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。

让该系统由静止开始自由转动，求：开始转动后B 球可能达到的最大速度v m 。

解析：球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G 。

设OA 从开始转过θ角时B 球速度最大，亦即系统动能最大，有：
Ek M =()2232
12221v m v m ⋅⋅+⋅⋅=2mg ∙2L sin θ-3mg ∙L (1-cos θ)=mgL (4sin θ+3cos θ-3) 求该Ek M 的极值，得θ=530再代入原方程，11
4gL v m =。

解此方程包含求三角方程及求极值，比较繁琐。

若另辟蹊径，从力矩角度则可使问题简化。

实际上，当系统转动角速度最大时亦即两球速度最大时，此时系统所受合力矩为零(每个小球受力并不平衡，其所受
合力充当向心力)。

对系统，取O 点为轴，力矩平衡时设转过有θ
角，有：
3mgLsin θ=2mg2Lcos θ,得tg θ=4/3, θ=530再代入 ()2232
12221v m v m ⋅⋅+⋅⋅=2mg ∙2L sin θ-3mg ∙L (1-cos θ) 亦可得结果，但是避免了数学的繁杂运算，突出了物理思想。

例4．已知如图，匀强电场方向水平向右，场强E=1.5×106V/m ，丝线长l=40cm ，上端系于O 点，下端系质量为m=1.0×10-4kg ，带电量为q=+4.9×10-10C 的小球，
m 2g
B
将小球从最低点A 由静止释放，求：⑴小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？⑵摆动过程中小球的最大速度是多大？(g=9.8m/s 2)
解析：⑴设向右摆最大至ψ角，对小球应用动能定理，有：
qELsin ψ-mgL(1-cos ψ)=0,整理并代入数据得0.75sin ψ+cos ψ-1=0，可求得ψ≈740。

（2）
又设摆至θ角时速度最大，有qELsin θ-mgL(1-cos θ)=2M mV 21，引入α中间量，令tg α=qE
mg ,可得2M 22mV 21mg -sin(qE)((mg)=++）αθ，因为qE mg =75
.01，从而得α=530,即θ=370时，速度极值为v M =1.4m/s 。

显然，此法非常繁琐，且主要工作在解三角方程上了，背离物理意义太远。

在解决第二问时，若将小球看作受重力和电场力关于悬点力矩平衡求解则大大简化。

设θ角时速度最大，也即力矩平衡，有qELcos θ=mgLsin θ，得tg θ=
qE
mg =0.75,得θ=370。

由动能定理得最大速度v M =1.4m/s 。

例5．半径分别为r 和2r 的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结
在 一起，可以绕水平轴O 无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个
质量为m 的质点，小圆盘上绕有细绳。

开始时圆盘静止， 质点
处在水平轴O 的正下方位置。

现以水平恒力F 拉细绳， 使两圆盘
转动，若恒力 F=mg ，两圆盘转过的角度θ= 时，质点m 的速度最大。

若圆盘转过的最大角度θ=π/3，则此时恒力F= 。

解析：此题若用函数极值法,由动能定理有： 2mv 2
1=Fr θ-mg(2r-2rcos θ)，可得v=)22cos (2gr -+θθ,然后求极值，很难求。

换用力矩平衡条件，对盘、质点整体，以O 为轴，当Fr=mg2Rsin θ时，转速最大即质点速度最大，得sin θ=21，所以有θ=6π。

当圆盘转过最大角度θ=3
π时，由动能定理有 0)3cos 1(2mgr 3Fr =--ππ，可得F=π
3mg 。

3、有时一个平面力系不是共点力，如果不经转化，无法用共点力平衡条件，只能用力矩平衡解答。

因为选取转动轴后，可以不分析轴上的力，使得分析力的个数减少了。

而选取不同的转动轴可以避开分析不同的力，从而使问题简化。

例6、如右上图，半径为R 的均匀圆柱体重30 N ，在水平绳的拉力作用下，静止于固定斜面上，求：(1)绳子的拉力，(2)斜面对圆柱体的支持力，(3)斜面对圆柱体的摩擦力。

解析：如右下图，圆柱体受重力、斜面的支持力和摩擦力、绳拉力四
个力。

此四力不是共点力。

不可以将绳拉力T ，摩擦力f 平移到柱体重心处。

用共点力平衡条件解决较繁（将斜面对柱体的支持力N 和摩擦力f 合成为一个力R ，则R 、T 、G 共点，然后再将R 分解求得N 、f ）。

用力矩解决较好。

取接触点为轴，由力矩平衡有：T(R+Rcos370)=GRsin370,得10N 3G T ==。

取柱心为轴，有TR=fR,得10N 3G R f ===;再取拉力作用点为轴，有NRsin370=f （R+Rcos370）,得N=G=30N 。