简论抛物线之没有渐近线

简论抛物线之没有渐近线
数学组 封荣旭
在圆锥曲线这一章的教学中，首先我们从几何角度，由圆锥侧面被平面所截得的圆锥曲线认识到了数学的魅力和美妙，然后有从代数角度，说明了圆锥曲线都满足到定点的距离与到定直线的距离之比等于一个常数。

圆锥曲线所具备的性质的特殊性决定了它的应用领域的广泛性，它来源于生活，而又应用于生活，充分体现了代数和几何的紧密联系以及数与形的辩证统一，也正因此，它成了高中教学要求的重点，也成了学生不易掌握的一个难点。

无庸置疑，在解决圆锥曲线题目的过程中，第一步就是作图，借助图形体现已知条件和其中的联系，而很多学生在作抛物线的草图时，常常因作图不够标准而导致抛物线上的点并不满足到焦点的距离和到准线的距离相等。

更有一些同学错误地将抛物线看成是双曲线的一支，这些错误致使我们在解题过程中对图形语言有了错误的感官认识，会直接影响对题目的破解。

下面就用反证法来说明抛物线的一个特殊的几何特征——无渐进线。

假设抛物线2
2(0)y px p =>存在渐近线，则由其对称性可知，它必有关于x 轴对称的两条渐近线。

不妨设其中一条为(0)y kx b k =+>， 在已知抛物线和其渐近线y kx b =+上分别取横坐标均为22pt 的两点2(2,2)A pt pt 、
22(2,2)B pt pkt b +， 记22()(2)222f t AB pkt b pt pkt pt b
==+-=-+
0,0p k >> ，∴函数()f t 的图像为开口向上的抛物线，
当点A 逐渐向x 轴正方向移动时，t →∞，()f t →+∞，即AB →+∞，
∴直线(0)y kx b k =+>不可能是抛物线22(0)y px p =>的渐近线，
∴假设不成立，从而抛物线22(0)y px p =>无渐近线。

由上自然会引起我们以下的思考：既然直线(0)y kx b k =+>不是已知抛物线的渐近线，那么二者究竟有怎样的位置关系呢？抛物线与直线的位置关系，特别是抛物线与直线相交的情形是教材中所要求重点掌握的内容，下面我们就来探讨直线(0)y kx b k =+>与抛物线22(0)y px p =>的几种位置关系。

22min 1()222(),()222p p f t AB pkt pt b pk t b f t b k k k ==-+=-
+-=- ① 若02p b k ->，则min ()0f t >，()0f t ∴>， ∴点B 恒在点A 上方，直线与抛物线相离，如下图1。

② 若02p b k
-=，则min ()0f t =，()0f t ∴≥， 当12t k
=时，()0f t =，点A 与点B 重合； 当12t k
≠时，()0f t >，点B 恒在点A 上方，∴直线与抛物线相切，如下图2。

③ 若02p b k -<，则min ()0f t <，令()0f t =⇒t =，
当t =时，()0f t =，点A 与点B 重合；
t <<()0f t <，点B 在点A 下方；
当t <
t >时，()0f t >，点B 在点A 上方。

∴直线与抛物线相交，如下图3。

通过以上探究，从理论角度说
明了抛物线没有渐近线，对事物的追本溯源更加形象的体 现了抛物线的对称美，这种辩证唯物主义思想是发现美的重要动力，能够激发我们为美好事物去放手追寻，直抵成功。

做事情不但要知道什么是该做的，还要知道什么是不该做的，这样才能将事情做好。

学习抛物线的性质也是一样，既要掌握它所具备的性质，也应探索它不具备的性质，这样能从多个角度更加全面的认识抛物线，从而能够更加灵活准确的解决与抛物线有关的问题。

图1 图2 图3。