北师大版数学九年级 相似三角形的典型考点的剖析

北师大版数学九年级 相似三角形的典型考点的剖析
相似是中考的重要考点之一，下面就一起欣赏相似的典型考题.
代表1； 折叠线段构造三角形，建坐标系，平移三角形生成轴对称图形，探求点的横坐标 例1 在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，
如图１－１；将AB 折成正三角形，使点A 、B 重合于点P ，如图１－２；建立平面直角坐 标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0,2），PM 的延长线与x 轴交 于点N(n ，0)，如图１－３，当m=3时，n 的值为 ( )
A
．4- B ．432- C ．332- D ．33
2
解析：根据题意，得 AB=3,AM=m ，AD=PD=BE=PE=DE=1，DM=m-1，因为三角形PDE 关于y 轴对 称，所以AB ∥ON ，DF=FE=12，所以FM= m-1-12=m-32
,因为三角形PDE 是等边三角形，且 PD=1，DF=12，由勾股定理，得
2
.因为点P 的坐标 为（0,2），点N(n ，0)，所以PO=2，ON=n.因为AB ∥ON ，所以△PFM ∽△PON,所以
FM PF ON PO =,
所以3222
m n -
=，因为m=3，所以
n=4-，所以选A. 点评：准确理解每一个环节，要作什么，转化为数学知识应该对应什么，如何把知识有机巧 妙的连接起来，连接的方式是什么，这些都是数学平时学习必须要强化训练的重要数学技能, 也是解题的关键.
代表2；定义相似新图形，根据定义辨析结论的正误
例2 若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似.如图2，如果扇形AOB 与扇形111A O B 是相似扇形，且半径11:OA O A =k(k 为不等于0的常数).那么下面四个结论：
①∠AOB ＝∠111A O B ；②△AOB ∽△111A O B ；③
11AB A B =k ； ④扇形AOB 与扇形111A O B 的面积之比为2k .成立的个数为：( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
解析：把相似三角形的性质迁移到相似扇形中，仍然是成立的，根据相似三角形的对应角相等，迁移应用，可以得出∠AOB ＝∠111A O B ，所以结论①是正确的；利用两边对应成比例且夹角向相等的两个三角形相似，可以得到△AOB ∽△111A O B ，所以结论②是正确的； 根据相似三角形对应边成比例的性质，得到11OA O A =11
AB A B =k ，所以结论③是正确的； 扇形AOB 的面积为：12
l OA 创，扇形111A O B 的面积为：11112l O A 创， 所以扇形AOB 与扇形111A O B 的面积之比为：12
l OA 创：11112l O A 创=2k ，所以结论④是正确的；因此成立的结论的个数为4，所以选择D.
点评：正确理解相似扇形的定义是解题的关键.解答时，可以通过进行公式的灵活变形得出结论，也可以迁移相似三角形的性质判断结论的正误.解题最好的方法是性质的迁移运用. 代表3；借助相似，一题多解探求线段的比
例3 如图3，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过 点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD＝∠BGC．
(1)求证：AD ＝BC ；(2)求证：△AGD∽△EGF；(3)如图4，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求
AD
EF
的值．
解析：
（1）因为CE是AB的垂直平分线，所以GA=GB，因为GF是CD的垂直平分线，所以GD=GC. 在△AGD和△BGC中，GA=GB,∠AGD＝∠BGC,GD=GC，所以△AGD≌△BGC，所以AD=BC. （2）因为∠AGD＝∠BGC，所以∠AG B＝∠DGC，在△AGB和△DGC中，因为GA=GB,GD=GC，所
以GA GB
GD GC
=，且∠AG B＝∠DGC，所以△AGB∽△DGC，所以
AG
DG
=
EG
FG
,（相似三角形对
应中线的比等于相似比），因为△AGB∽△DGC，所以∠GA B＝∠G DC，
所以90°-∠GA B＝90°-∠G DC，所以∠AGE＝∠DGF，所以∠AGD＝∠EGF，
所以△AGD∽△EGF.（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
（3）解法1，如图5所示，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，因为AD、BC所在直线互相垂直，所以AH⊥BH，因为△AGD≌△BGC，所以∠GAD＝∠GBC，在△GAM和△HBM中，因为∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，所以△AGM∽△BHM，所以∠AGM＝∠AGB=∠BHM=90°，
所以∠AGE＝1
2
∠AGB=45°，所以
AG
EG
AGD∽△EGF，所以
AD
EF
=
AG
EG
解法2，如图6所示，连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点,所以EH
∥AD，且 EH=1
2
AD. 因为F是DC的中点,所以FH∥BC，且 FH=
1
2
BC. 因为AD=BC，AD、BC
所在直线互相垂直，所以∠FHE=90°，EH=FH，所以
，所以
AD
EF
解法3，如图7所示，连接BF，并延长到点H，使得BF=FH，因为DF=FC，∠DFH＝∠CFB，FH=BF，所以△DFH≌△CFB，所以∠DHF＝∠CBF，所以DH=CB,DH∥CB.因为AD=BC，AD、BC
所在直线互相垂直，所以∠ADH=90°，AD=DH，所以
，因为E是AB的中点,所以
EF∥AH，且 EF=1
2
AH.所以
AD
EF
=
2
1
2
AH
AH。