山东省莱芜市公清中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

山东省莱芜市公清中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，在圆O中，若，，则的值等于
A．－8B．C．D．8
参考答案：
C
2.
命题p：函数的图象必过定点（－1，1）；
命题q：如果函数的图象关于（3，0）对称，那么函数的图象关于原点对称，则有（）
A．“p且q”为真 B．“p或q”为假 C．p真q假 D．p假q真
参考答案：
答案：C
3. 正方体的棱长为，半径为的圆在平面内，其圆心为正方形
的中心，为圆上有一个动点，则多面体的外接球的表面积为
．．．．
参考答案：
设多面体的外接球的半径为，依题意得
，故其外接球的表面积为．故答案选
4. 已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若，则cosS9的值为( )
A. B. C． D．
参考答案：
D
略
5. 某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．
可获得的最大利润为（）
A．40万元B ．45万元C．50万元D．55万元
参考答案：
C
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大
值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而
求出最优解．
【解答】C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，
约束条件是
目标函数是z=0.4x+0.3y
由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分
由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，
由可得A（50，100），
此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，
故选：C．
6. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足（），则（）A．B．
C．D．
参考答案：
B
设g（x）=，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，x＞0时，g′（x）=，
因为函数f（x）满足2f（x）﹣xf'（x）＞0（x＞0），所以g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，g
（﹣）=＜，
可得：．
故选：B．
7. 设=（）
（A）（B）（－1，1）（C）（D）
参考答案：
D
8. 在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，若，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
参考答案：
C
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理可得sinA=cosA，sinB=cosB，利用两角差的正弦函数公式，角的范围，正弦函数的图象和性质可求A=B，即可得解．
【解答】解：∵，
又∵由正弦定理可得：，
∴sinA=cosA，sinB=cosB，
∴sin（A﹣）=0， sin（B﹣）=0，
∵A，B∈（0，π），可得：A﹣，B﹣∈（﹣，），
∴A﹣=0，B﹣=0，
∴A=B=．
故选：C．
9. 如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）
A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长
参考答案：
D
对于选项A：年月的业务量，月最高，月最低，差值为，接近万件，所以A是正确的；
对于选项B：年月的业务量同比增长率分别为，，，，
均超过，在月最高，所以B是正确的；
对于选项C：年、、月快递业务量与收入的同比增长率不一致，
所以C是正确的．
10. 已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数x从小到大排成数列{x n}，，则数列的通项公式是（）
A．B． C. D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设对所有实数x，不等式＞0恒成立，则a的取
值范围为．
参考答案：
0＜a＜1
分析：
由二次不等式的性质可得，且
×4＜0，解不等式可求a的范围解答：
解：∵不等式＞0恒成立
由二次不等式的性质可得，且
×4＜0
令t=log2
即
整理可得，
∵
∴
解可得，0＜a＜1
12. 曲线方程，其图像与直线有两个不同的交点，则a的取值范围是_______ ___.
参考答案：
略
13. 甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了，甲
说：“是乙不小心闯的祸”乙说：“是丙闯的祸”，丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是
我闯的祸．”如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是．
参考答案：
丙
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】运用反证法，假设结论成立，再经过推理与证明，即可得出正确的结论．
【解答】解：假设甲说的是实话，则“是乙不小心闯的祸”正确，丙、丁说的都是实话，
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误；
假设乙说的是实话，则“是丙闯的祸”正确，丁说的也是实话，
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误；
假设丙说的是实话，则“乙说的不是实话”正确，甲、乙、丁说的都是不实话，
得出丁闯的祸，符合题意；
假设丁说的是实话，则“反正不是我闯的祸”正确，甲、乙、丁中至少有一人说的是实话，
这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误．
故答案为：丙．
14. 若复数z满足（i为虚数单位），则|z|= ．
参考答案：
【考点】复数求模．
【专题】方程思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用行列式的性质可得z﹣i（1﹣2i）=0，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得
出．
【解答】解：∵复数z满足（i为虚数单位），
∴z﹣i（1﹣2i）=0，
化为z=i+2．
则|z|==．
故答案为：．
【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
15. 已知实数x，y满足条件，则z=y﹣2x的最小值为．
参考答案：
﹣2
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由z=y﹣2x，则y=2x+z
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=2x+z，由图象知当直线y=2x+z，经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时m最大，
当直线y=2x+z经过点B时，直线y=2x+z的截距最小，
此时z最小，
由，得，即B（1，0），
此时z=0﹣2=﹣2，
即z=y﹣2x的最小值﹣2，
给答案为：﹣2．
16. 已知定义域是的函数满足：
（1）对任意成立；
（2）当
给出下列结论：
①对任意；②函数的值域为；
③存在；
④“函数在区间上单调递减”的充要条件是
“.”
其中正确结论的序号是__________.
参考答案：
【知识点】抽象函数及其应用．B1
【答案解析】①②④解析：①∵对任意，恒有成立，
当∴f（3m）=f（3?3m﹣1）=3f（3m﹣1）=…=3m﹣1f（3）=0，
故①正确；
②取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，
f（）=3﹣，f（）=…=3m f（）=3m+1﹣x，从而函数f（x）的值域为[0，+∞）；即②正确；
③∵x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3n+1）=3n f（1+）=3n[3﹣（1+）]=3n（2﹣）≠0，故③错误；④令3k≤a＜b≤3k+1，则1≤＜≤3，
∴f（a）﹣f（b）=f（3k?）﹣f（3k?）=3k[f（）﹣f（）]=3k[（3﹣）﹣（3﹣
）]=3k（﹣）=b﹣a＞0，
∴函数f（x）在区间（a，b））?（3k，3k+1）上单调递减，
故④正确；
综上所述，正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．
【思路点拨】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第①②个条件得到②正确，③错误；对于④，令3k≤a＜b≤3k+1，
利用函数单调性的定义判断即可．
17. 非零向量与，对于任意的的最小值的几何意义
为 .
参考答案：
点A到直线的距离
设向量与的夹角为，
，
所以，所以当时，有最
小值，此时，所以的最小值的几何意义为点A 到直线的距离。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是
的中点
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：⊥平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积的体积．
参考答案：
（1）证明：连结，显然过点
∵分别是的中点, ∴∥
又平面,平面∴∥平面
（2）证明：∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，
∴四边形是正方形∴,
由（1）知∥∴⊥
连结,由知
∴，又易知是的中点, ∴,
∴⊥平面
(3)因为∥,所以三棱锥与三棱锥的体积相等,
故
略19. （本题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，
从而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）法一：由已知：，
由余弦定理得：
（当且仅当时等号成立）∴（，又，
∴，从而的取值范围是.．．．．．．．．．．12分
法二：由正弦定理得：.∴，，
.
∵，∴，
20. （本小题满分12分）
已知函数
（I）求的值域；
（II）试画出函数在区间[-1，5]上的图象。

参考答案：
略
21. 已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．参考答案：
（Ⅰ）因为
．…………………… 4分
所以的最小正周期…………………… 6分
（Ⅱ）因为，所以.
所以当，即时，函数取得最大值
当，即时，函数取得最小值
所以在区间上的最大值和最小值分别为和……………… 13分
22. 已知向量，，设函数+b．
（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解出函数+b，利用函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求解ω，可求函数f（x）的单调增区间．
（2）当时，求出函数f（x）的单调性，函数f（x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b的取值范围．
【解答】解：向量，，函数+b．
则
==
．
（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，
∴（k∈Z），
解得：ω=3k+1（k∈Z），
∵ω∈[0，3]，
∴ω=1，
∴，
由，
解得：（k∈Z），
所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．
（2）由（1）知，
∵，
∴，
∴，即时，函数f（x）单调递增；
，即时，函数f（x）单调递减．又，
∴当或时函数f（x）有且只有一个零点．即sin≤﹣b﹣＜sin或，
所以满足条件的．。