2020届高三数学第二次教学质量检测试题理

2020届高三数学第二次教学质量检测试题理
本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，，则
A．B．C．D．
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限
D．第四象限
3．已知函数与它的导函数的定义域均为，则下列命题中，正确的是
A．若是的极值点，则
B．若是偶函数，则一定是偶函数
C．若，则
D．若的图象在区间连续不断，则在上一定有最大值
4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有
第6题图
A．10种B．40种
C．80种D．240种
5．已知非零向量，满足，
则与的夹角为
A．B．
C．D．
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A．4 B．5
C．6 D．7
7．关于函数有下述四个结论：
①在区间上是减函数；②的图象关于直线
对称；
③的图象关于点对称；④在区间上的值域为．
其中所有正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知外接圆面积为，，则周长的最大值为A．B．C．3 D．
9．已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上且位于轴上方，点，若直线平分线段，则的大小为
A．B．C．D．无法确定
第10题图
10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是
A．该三棱柱的侧视图一定为矩形
B．该三棱柱的侧视图可能为菱形
C．该三棱柱的表面积一定为
D．该三棱柱的体积一定为
11．设，若和被除得的余数相同，则称和模
同余，
记为，已知，
则的值可能是
A．B．C．D．
12．梯形中，，，，，现将沿折起，使得二面角的大小为，若四点在同一个球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若变量满足约束条件，则的最大值
为．
14．百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼
图．相传是纪念哥伦布所制作的蛋形拼图，故又有哥
伦布蛋形拼图一称．如图，九巧板由2个不规则四边
形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成．在拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠．九巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼
板．已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为．
15．已知函数，（为自然对数的底数），若函数有且只有三个零点，则实数的值为．16．已知双曲线的离心率为，过的左焦点作直线，直线与双曲线分别交于点，与的两渐近线分别交于点，若，则．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
已知数列、、中，，，，．（1）求证：数列是等比数列，并求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（12分）
如图，多面体中，面面，面面，面，，，．（1）求的大小；
（2）若，求二面角的余弦值．
19．（12分）
已知为抛物线的焦点，以为圆心作半径为的圆，圆与轴的负半轴交于点，与抛物线分别交于点．（1）若为直角三角形，求半径的值；
（2）判断直线与抛物线的位置关系，并给出证明．
20．（12分）
随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中．国家统计局数据显示，2019年有4亿国人经常参加体育锻炼．某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有
消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：
若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”．该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员．
（1）已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；
（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？
（3）该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：
方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元，288元，888元的幸运奖励；
方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励．规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）．
请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由．
附：，其中为样本容量．
0.50
0.455
21．（12分）
已知函数（）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在两个极值点，，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于，两点，求．
23．[选修4-5 不等式选讲]（10分）
已知为实数，且满足.证明：
（1）；
（2）.
2020年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测理科数学参考答案
一、选择题
二、填空题
13．14．15．或16．
三、解答题
（一）必考题：共60分。

17．【解】
（1），，
，
即，
是首项为2，公比2的等比数列．（3分），（4分）0
．（6分）
（2）由（1）得，（7分）
，
，
两式相减，得，（10分）．（12分）
18．【解析】（1）分别取的中点，连接，
因为，，所以，，
因为面面，面面，
所以面，面，所以，
因为面，面面，所以，
于是是矩形，（4分）
，
又，所以为等腰直角三角形，
．（6分）
（2）因为，所以，
于是，，（7分）
过作面，以为坐标原点分别为正半轴，建立空间直角坐标系，则
，（8分）
设面的法向量，则
，令得，（9分）
设面的法向量，则
，令得，（10分）
所以，二面角的余弦值为．（12分）
19．【解析】（1）由抛物线及圆的对称性可知，故，（2分）
于是经过焦点且与轴垂直，
抛物线方程中，令得半径
．（5分）
（2）设，由抛物线定义，，
又，所以的坐标为，
直线的方程为，
（9分）
与抛物线联立得，
结合，化简得，，
所以直线与抛物线相切于点
．（12分）
20．【解析】（1）；（3分）
（2），故不能在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系；
（7分）
（3）方案一：共支出元，
方案二：设一次摸奖所获得的的奖励额为，则的所有可能取值为0,100,200，
且，，，
故一次摸奖获得的奖励额的期望值为，故方案二的总支出为元，
故而第二种方案支出较
少．（12分）
21．【解】（1）定义域为
．，（1分）
当即时，，所以函数在上单调递减；（2
分）
当即时，由，得，或，因为，所以，
从而的解为，或，（3分）
且可得时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减．（5分）
综上：时，函数在和单调递减，
在单调递增；时，在上单调递减．（6分）
（2）由（1）的解答可知，，且，．（8分）
所以
．（9分）
所以要证，即证．
不妨设，则，所以；
又由（1）知，，
所以，（10分）
令（），
则
，
所以在单调递增，所以，
即．
所以，成立，从而
．（12分）
第（2）小题简证：一方面，由（1）知，函数在单调递增，
从而；另一方面，，显然．（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为
，（3分）
直线的直角坐标方程为．（5分）
（2）由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，
以为极点，轴的正方向为极轴方向重新建立极坐标系，
在此极坐标系中，直线的方程为或（其中为直线的倾斜角，满足），
不妨设，，抛物线的方程为，将代入得，将代入得
，
所以和是方程的两根，
由韦达定理得，，（8分）
所以．（10分）
（2）另证:由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，不妨设
由
由韦达定理:（8分）
(10分)
23．【解析】（1）由已知可得：
（5分）
（2）
根据柯西不等式可得：
（10分）
注：其他正确的方法不扣分．
2020届高三数学第二次教学质量检测试题理
本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按
以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，，则
A．B．C．D．
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知函数与它的导函数的定义域均为，则下列命题中，正确的是A．若是的极值点，则
B．若是偶函数，则一定是偶函数
C．若，则
D．若的图象在区间连续不断，则在上一定有最大值
4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有
第6题图
A．10种B．40种
C．80种D．240种
5．已知非零向量，满足，
则与的夹角为
A．B．
C．D．
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A．4 B．5
C．6 D．7
7．关于函数有下述四个结论：
①在区间上是减函数；②的图象关于直线对称；
③的图象关于点对称；④在区间上的值域为．
其中所有正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知外接圆面积为，，则周长的最大值为
A．B．C．3 D．
9．已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，点在椭圆上且位于轴上方，点，若直线平分线段，则的大小为
A．B．C．D．无法确定
第10题图
10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是A．该三棱柱的侧视图一定为矩形
B．该三棱柱的侧视图可能为菱形
C．该三棱柱的表面积一定为
D．该三棱柱的体积一定为
11．设，若和被除得的余数相同，则称和模同余，
记为，已知，
则的值可能是
A．B．C．D．
12．梯形中，，，，，现将沿折起，使得二面角的大小为，若四点在同一个球面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若变量满足约束条件，则的最大值为．
14．百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图．相传是纪念哥伦布所
制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称．如图，九巧板由2个不规则四
边形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成．在
拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠．九巧板能拼摆
出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼板．已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为．
15．已知函数，（为自然对数的底数），若函数有且只有三个零点，则实数的值为．
16．已知双曲线的离心率为，过的左焦点作直线，直线与双曲线分别交于点，与的两渐近线分别交于点，若，则．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
已知数列、、中，，，，．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（12分）
如图，多面体中，面面，面面，面，，，．
（1）求的大小；
（2）若，求二面角的余弦值．
19．（12分）
已知为抛物线的焦点，以为圆心作半径为的圆，圆与轴的负半轴交于点，与抛物线分别交于点．
（1）若为直角三角形，求半径的值；
（2）判断直线与抛物线的位置关系，并给出证明．
20．（12分）
随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中．国家统计局数据显示，2019年有4亿国人经常参加体育锻炼．某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：
若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”．该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员．
（1）已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；
（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？
（3）该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：
方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元，288元，888元的幸运奖励；
方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励．规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）．
请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由．附：，其中为样本容量．
0.50
0.455
21．（12分）
已知函数（）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数存在两个极值点，，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于，两点，求．
23．[选修4-5 不等式选讲]（10分）
已知为实数，且满足.证明：
（1）；
（2）.
2020年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测
理科数学参考答案
一、选择题
二、填空题
13．14．15．或16．
三、解答题
（一）必考题：共60分。

17．【解】
（1），，
，
即，
是首项为2，公比2的等比数列．（3分）
，（4分）0
．（6分）
（2）由（1）得，（7分）
，
，
两式相减，得，（10分）
．（12分）
18．【解析】（1）分别取的中点，连接，
因为，，所以，，
因为面面，面面，
所以面，面，所以，
因为面，面面，所以，
于是是矩形，（4分）
，
又，所以为等腰直角三角形，．（6分）（2）因为，所以，
于是，，（7分）
过作面，以为坐标原点分别为正半轴，
建立空间直角坐标系，则
，（8分）
设面的法向量，则
，令得，（9分）
设面的法向量，则
，令得，（10分）
所以，二面角的余弦值为．（12分）
19．【解析】（1）由抛物线及圆的对称性可知，故，（2分）
于是经过焦点且与轴垂直，
抛物线方程中，令得半径．（5分）
（2）设，由抛物线定义，，
又，所以的坐标为，
直线的方程为，（9分）
与抛物线联立得，
结合，化简得，，
所以直线与抛物线相切于点．（12分）
20．【解析】（1）；（3分）
（2），故不能在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系；（7分）
（3）方案一：共支出元，
方案二：设一次摸奖所获得的的奖励额为，则的所有可能取值为0,100,200，
且，，，
故一次摸奖获得的奖励额的期望值为，
故方案二的总支出为元，
故而第二种方案支出较少．（12分）
21．【解】（1）定义域为．，（1分）
当即时，，所以函数在上单调递减；（2分）
当即时，由，得，或，
因为，所以，
从而的解为，或，（3分）
且可得时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减．（5分）
综上：时，函数在和单调递减，
在单调递增；时，在上单调递减．（6分）
（2）由（1）的解答可知，，且，．（8分）
所以
．（9分）
所以要证，即证．
不妨设，则，所以；
又由（1）知，，
所以，（10分）令（），
则
，
所以在单调递增，所以，
即．
所以，成立，从而．（12分）
第（2）小题简证：一方面，由（1）知，函数在单调递增，
从而；另一方面，，显然．（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，（3分）
直线的直角坐标方程为．（5分）
（2）由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，
以为极点，轴的正方向为极轴方向重新建立极坐标系，
在此极坐标系中，直线的方程为或（其中为直线的倾斜角，满足），
不妨设，，抛物线的方程为，
将代入得，将代入得，所以和是方程的两根，
由韦达定理得，，（8分）
所以．（10分）（2）另证:由（1）知，的坐标为，是抛物线的焦点，
不妨设
由
由韦达定理:（8分）
(10分)
23．【解析】（1）由已知可得：
（5分）
（2）
根据柯西不等式可得：
（10分）
注：其他正确的方法不扣分．。