深圳市田东中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．在ABC中，若
2
1
cos|1tan|0
2
A B
⎛⎫
-+-=
⎪
⎝⎭
，则C
∠的度数是（）
A．45︒B．60︒C．75︒D．105︒2．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）
A．1
2
B．
5
5
C．2 D．
25
5
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，tan∠B＝2，则AC的长为（）
A．1 B．2 C．5D．25
4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（）
A．23B．33C．63D．9
3 2
5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的对角线AC在x轴上，点A的坐标是()
1,0，把正方形ABCD绕原点O旋转180︒，则点B的对应点B'的坐标是（）
A ．(-1,-1)
B ．()2,1
C ．()2,1--
D ．()2,1-- 6．在ABC 中，(2sinA-1)2+1cos 2B -
=0，则ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 7．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB 的值等于（ ）
A ．43
B ．34
C ．45
D ．
35
8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ） A ．a•tanα B ．a•cotα C ．a•sinα D ．a•cosα
9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③ 10．点
E 在射线OA 上，点
F 在射线OB 上，AO ⊥BO ，EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，则tan ∠EMF 的值为( )
A ．12
B ．33
C ．1
D ．3
11．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（ ）
A ．86
B ．64
C ．54
D ．48
12．如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，AD ∥BC ，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么
△ACD 的面积是（ ）
A ．3
B ．32
C ．3
D ．934
二、填空题
13．计算：02cos 45|13|(3)π︒+---＝_____．
14．如图，点O 为正八边形ABCDEFGH 的中心，连接DA 、DB ，则=ADB ∠______度；若4OA =，则该正八边形的面积为______．
15．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，直径AD 交BC 于点E ，若1DE =，2cos 3
BAC ∠=，则弦BC 的长为______．
16．已知AD 是△ABC 的高，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则∠BAC ＝_______．
17．如图所示，菱形ABCD 的边长为8，且AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠B=60°，则菱形的面积为____．
18．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠D=60°，∠A ＝105°，∠B ＝120°，则
AD BC 的值为__________．
19．如图，边长为6的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，则DH =____________．
20．如图，O 的直径2AB =，弦1AC =，点D 在O 上，则D ∠的度数是______．
三、解答题
21．如图，有一个半径为3cm 球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来，两个三角形与球的接触点分别是点P 和Q ，已知70α=，40β=，一侧接触点离地面距离PM 是4cm
（
sin 700.94,cos700.34,tan 70 2.75;sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84≈≈≈≈≈≈）
（1）求圆心O 距离地面的高度；
（2）直接写出QOP ∠与α、β的关系；
（3）另一侧接触点离地面距离QN 又是什么？
22．已知ABC 为等边三角形，6,AB P =是AB 上的一个动点，（与A B 、不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在ABC 内作正方形DEFG ，其中D E 、在BC 上，F 在AC 上，
（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域；
（2）当2BP =时，求CF 的长；
（3）GDP △是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由．
23．如图，矩形ABCD 中，33,sin ,5
AB ACB =∠=E 为边BC 上一点，将ABE △沿AE 翻折，使点B 恰好落在对角线AC 上，记作B '，
（1）求BE 的长；
（2）联结DB '，求cot B DC '∠的值．
24．如图，在A 处的正东方向有--港口B ．某巡逻艇从A 处沿着北偏东60︒方向巡逻，到达C 处时接到命令，立刻在C 处沿东南方向以20海里/时的速度行驶3小时到达港口B ．求A B ，间的距离．
25．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转
得ADE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 上，
（1）求DBC ∠的度数；
（2）求tan ∠BDE 的值．
26．计算或解方程：
（111754640.583⎛ ⎝ （2360245cos 60︒+︒-︒
（3）2430x x -+=
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】 根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02
A -
=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】 解：2
1cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝
⎭， 1cos 02
A ∴-=，1tan 0
B -=，则1cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，
则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．
【详解】
解：过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，
22
1310
+=
22
2222
+=
cosA=
2225
5
10
AD
AB
==
故选D．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据正切的定义得到BC=1
2
AC，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，∴AC
BC
=2，
∴BC=1
2
AC，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC252=AC2+（1
2
AC）2，
解得，AC=2，故选B．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF 是菱形，所以可求出BE ，AE ，进而可求出BC 的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
//,DE BF ∴
,,DEO BFO EDO FBO ∴∠=∠∠=∠ EF 垂直平分BD ，
OB OD ∴=，
BOF DOE ∴∆∆≌，
,OE OF ∴=
∴ 四边形BEDF 是菱形，
∵四边形ABCD 是矩形，四边形BEDF 是菱形，
∴∠A=90°，AD=BC ，DE=BF ，OE=OF ，EF ⊥BD ，∠EBO=FBO ，
∴AE=FC ．又EF=AE+FC ，
∴EF=2AE=2CF ，
又EF=2OE=2OF ，AE=OE ，
∴△ABE ≌OBE ， ∴∠ABE=∠OBE ，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE= cos30BO ︒＝ ∴BF=BE=
∴
∴BC=BF+CF=
故选B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°． 5．D
解析：D
【分析】
根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论．
解：把正方形ABCD绕原点O旋转180︒，如图所示，连接BD，交x轴于E
∵四边形ABCD2
∴2，BD⊥x轴，AE=BE，∠BAE=45°
∴AE=BE=AB·sin∠BAE=1
∴OE=OA＋AE=2
∴点B的坐标为（2,1）
∴点B绕点O旋转180°的对应点B'的坐标（-2，-1）
故选D．
【点睛】
此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质可得sinA和cosB的值，进而可得∠A和∠B的度数，即可知△ABC的形状．
【详解】
解：∵(2sinA-1)2
1
cos
2
B-=0，
∴2sinA-1=0，cosB-1
2
=0，
∴sinA=1
2，cosB=
1
2
，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
故△ABC为直角三角形．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键．
7．C
解析：C
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，
∴sinB=45AC AB = ， 故选C. 8．B
解析：B
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，
∵cotαAC BC
=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
9．A
解析：A
【分析】
证明AC ∥DE ，再由条件CE ∥AD 可证明四边形ACED 是平行四边形；根据线段的垂直平分线证明AE=EB 可得△BCE 是等腰三角形；首先利用三角函数计算出AD=4，CD=23出AB 长可得四边形ACEB 的周长是10+213
【详解】
①∵∠ACB=90°，DE ⊥BC ，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴AC ∥DE ，
∵CE ∥AD ，
∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确；
②∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，
∴EC=EB ，
∴△BCE 是等腰三角形，故②正确；
③∵AC=2，∠ADC=30°，
AD⋅︒=23，
∴AD=4，CD=cos30
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=4，
∵CE=EB，
∴EB=4，DB=23，
∴BC=43，
∴AB=()2
222
243213
+=+=，
AC BC
+，故③正确；
∴四边形ACEB的周长是10213
综上，①②③均正确，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、特殊角三角函数、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法．
10．C
解析：C
【分析】
根据三角形外角的性质求得∠AEF+∠BFE=270°，由角平分线定义可求得
∠MEF+∠MFE=135°，根据三角形内角和定理可求出∠EMF=45°，从而可得出结论．
【详解】
如图，
∵AO⊥BO
∴∠AOB=90°
∴∠OEF+∠OFE=90°
∵∠AEF和∠BFE是△EOF的外角
∴∠AEF=90°+∠OFE，∠BFE=90°+∠OEF
∴∠AEF+∠BFE=90°+90°+∠OFE+∠OEF=270°
∵EM平分∠AEF，FM平分∠BFE，
∴∠MEF+∠MFE=12(∠AEF+∠BFE) =135°， ∵∠MEF+∠MFE+∠M=180° ∴∠M=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-135°=45° ∴tan ∠EMF=tan45°=1
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质及三角函数，求出
∠MEF+∠MFE=135°是解答此题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．
【详解】
解：如图，1S 对应ACD ∆的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，
ACD ∆为等边三角形，
160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=︒==
= sin 60,DH AD ∴︒=
33,22DH AD AC ∴=
= 2113,2S AC DH AC ∴=•=
同理：222333,,44
S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=
如图2，同理可得：456S S S =+，
∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．
12．A
解析：A
【分析】
如图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ．构建矩形AEFD 和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE 的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．
【详解】
解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ．设AB=AD=x ．
又∵AD ∥BC ，
∴四边形AEFD 是矩形，
∴AD=EF=x ．
在Rt △ABE 中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，
∴BE=12AB=12
x ， ∴22AB BE -3， 在Rt △CDF 中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=
32x ． 又∵BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即
12x+x+32x=6， 解得 x=2
∴△ACD 的面积是：12AD•DF=12x×32323
故选：A ．
【点睛】
此题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形．解题的关键是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC 的底边AD 以及该边上的高线DF 的长度．
二、填空题
13．﹣1【分析】原式利用特殊角的三角函数值绝对值的代数意义以及零指数幂法则计算即可得到结果【详解】解：原式＝＝故答案为：﹣1【点睛】此题考查了实数的运算特殊角的三角函数值以及零指数幂熟练掌握运算法则是解 解析：3﹣1 【分析】 原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】
解：原式＝223112
⨯
+-- ＝31-
故答案为：3﹣1
【点睛】
此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值,以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．225【分析】连接OAOB 由正八边形的性质求出得到过A 作于K 可证得是等腰直角三角形利用正弦的定义求出AK 由三角形面积公式即可得出答案【详解】解：连接OAOB ∵ABCDEFGH 是正八边形∴∴过A 作于K
解析：22.5 322
【分析】
连接OA 、OB ，由正八边形的性质求出45AOB ∠=︒，得到22.5ADB ∠=︒，过A 作AK OB ⊥于K ，可证得AKO ∆是等腰直角三角形，利用正弦的定义求出AK ，由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：连接OA 、OB ，
∵ABCDEFGH 是正八边形，
∴360845AOB ∠=︒÷=︒， ∴122.52ADB AOB ∠=∠=︒， 过A 作AK OB ⊥于K ，
∴90AKO ∠=︒，
∵45AOB ∠=︒，，
∴AKO ∆是等腰直角三角形， ∵4OA =，
∴2242222AK OA =
=⨯=， ∴114224222
OAB S OB AK ∆=⋅=⨯⨯=， ∴正八边形ABCDEFGH 8842322OAB S ∆==⨯=．
故答案为：22.5，322．
【点睛】
本题考查的是正多边形的有关计算以及锐角三角函数，掌握正多边形的中心角的计算方法、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．【分析】连接OBOC 由题意易得AE ⊥BC 则有BE=EC ∠BOD=∠BAC 设OB=3rOE=2r 然后根据勾股定理可求解【详解】解：连接OBOC 如图所示：∵内接于AD 过圆心O ∴AE ⊥BC ∴BE=EC ∴∠
解析：25
【分析】
连接OB 、OC ，由题意易得AE ⊥BC ，则有BE=EC ，∠BOD=∠BAC ，设OB=3r ，OE=2r ，然后根据勾股定理可求解．
【详解】
解：连接OB 、OC ，如图所示：
∵ABC 内接于O ，AB AC =，AD 过圆心O ，
∴AE ⊥BC ，
∴BE=EC ，BD DC =，
∴∠BAD=∠CAD ，
∵∠BOD=2∠BAD ，
∴∠BAC=∠BOD ， ∵2cos 3BAC ∠=
， ∴2cos 3
BOD ∠=
， ∵DE=1，
∴设OB=3r ，OE=2r ，则有： 321r r =+，解得：1r =，
∴3,2OB OE ==，
∴
在Rt △BEO 中，
BE =， ∴BC =
故答案为
【点睛】
本题主要考查垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理是解题的关键．
16．75°或15°【分析】分两种情形求高的位置然后再根据三角函数的定义求出∠BAD ∠CAD 的度数最后再相加或相减即可求出∠BAC 的度数【详解】解：如图所示：①tan ∠BAD ＝＝1∴∠BAD ＝45°tan
解析：75°或15°
【分析】
分两种情形求高的位置，然后再根据三角函数的定义求出∠BAD 、∠CAD 的度数，最后再相加或相减即可求出∠BAC 的度数．
【详解】
解：如图所示：
①tan ∠BAD ＝
BD AD
＝1， ∴∠BAD ＝45°，
tan ∠CAD ＝CD AD ∴∠BAD ＝30°，
∴∠BAC ＝45°+30°＝75°；
②tan ∠BAD ＝
BD AD
＝1， ∴∠BAD ＝45°，
tan ∠CAD ＝CD AD ∴∠BAD ＝30°，
∴∠BAC ＝45°﹣30°＝15°．
故∠BAC＝75°或15°．
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，灵活应用三角函数求角和分类讨论思想是解答本题的关键．17．【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长再由菱形的面积等于底×高计算即可【详解】∵菱形ABCD的边长为8∴AB=BC=8∵AE⊥BC于
E∠B=60°∴sinB=即∴AE∴菱形的面积故答案
解析：323
【分析】
根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．【详解】
∵菱形ABCD的边长为8，
∴AB=BC=8，
∵AE⊥BC于E，∠B=60°，
∴sinB=AE
AB ，即
3
28
AE
=，
∴AE43
=，
∴菱形的面积843323
=⨯=
故答案为：323
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及特殊角的三角函数值，菱形面积公式的运用．关键是掌握菱形的性质．
18．【分析】沿AB作垂线与C的延长线相交于M点可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形根据三角函数求解即可【详解】解：如图连接AC并过B点作BM⊥CM设BM=k∵AD＝CD∠D=60°∴△ACD是
6
【分析】
沿AB作垂线与C的延长线相交于M点，可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形，根据三角函数求解即可.
【详解】
解：如图
连接AC 并过B 点作BM ⊥CM ，设BM=k ，
∵AD ＝CD ，∠D=60°,
∴△ACD 是等边三角形，AD=AC ，
∵∠A ＝105°，∠B ＝120°，∠DAC=60°,
∴∠MBC=60°，∠BCM=30°，∠BAC=45°，
∵BM=k ，
∴BC=2k ，MC=BM tan 30=3， ∵∠BAC=45°，∠MCA=45°， ∴AD=AC=MC 3k sin 4522=6k ， ∴6k 6==AD BC . 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值和公式的应用，正确应用公式和作出辅助线是解题的关键.3tan 30=，sin45=22
. 19．【分析】过点F 作FI ⊥BC 于点I 延长线IF 交AD 于J 根据含30°直角三角形的性质可求出FIFJ 和JH 的长度从而求出HD 的长度【详解】解：过点F 作FI ⊥BC 于点BC 延长线AD 交AD 于J 由题意可知：CF
解析：3【分析】
过点F 作FI ⊥BC 于点I ，延长线IF 交AD 于J ，根据含30°直角三角形的性质可求出FI 、FJ 和JH 的长度，从而求出HD 的长度．
【详解】
解：过点F 作FI ⊥BC 于点BC ，延长线AD 交AD 于J ，
由题意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，
∴FI=3，CI=33
∵JI=CD=6，
∴JF=JI-FI=6-3=3，
∵∠HFC=90°，
∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，
∴∠JFH=∠FCB=30°，
设JH=x，则HF=2x，
∴由勾股定理可知：（2x）2=x2+32，
∴3
∴DH=DJ-JH=33323
=
故答案为：3
【点睛】
本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
20．【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠BCA=90°再根据特殊三角函数值可以求得∠CBA的值进而求得∠A的值然后由圆周角的定理得出答案∠D的值【详解】解：∵的直径是AB∴∠ACB=90°又∵AB=
解析：60︒
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角，得出∠BCA=90°，再根据特殊三角函数值可以求得∠CBA的值，进而求得∠A的值，然后由圆周角的定理得出答案∠D的值．
【详解】
解：∵O的直径是AB，
∴∠ACB=90°,
又∵AB=2,AC=1,
∴sin∠CBA=
1
2 AC
AB
=
∴∠CBA=30°∴∠A=60°
∴∠D=∠A=60°
【点睛】
本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，在解答时要注意特殊三角函数的取值．
三、解答题
21．（1）5.02；（2）QOP αβ∠=+ ；(3)2.71
【分析】
（1）过O 作OA ⊥PM ，与MP 的延长线交于点A ，根据互余角的性质求得∠OPA =70°，再解直角三角形得AP ，进而求AM ；
（2）根据切线的性质求出∠OPC 和∠OQB 的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB 和∠QBC ，最后根据五边形的内角和求得∠POQ ；
（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，仿（1）题方法求得DQ ，再由圆心O 距离地面的高度减去DQ 便可得QN ．
【详解】
（1）过O 作OA ⊥PM ，与MP 的延长线交于点A ，连接OP ，如图1，
则OP =3cm ，∠OAP =90°，
∵CP 是⊙O 的切线，
∴∠OPC =90°，
∴∠PCM +∠MPC =90°，∠APO +∠MPC =90°，
∴∠APO =∠PCM =70°，
∴PA =OP •cos70°≈3×0.34=1.02（cm ），
∴圆心O 距离地面的高度：AM =AP +PM =1.02+4=5.02（cm ）；
（2）∵BQ 与CP 都是⊙O 的切线，
∴∠OPC =∠OQB =90°，
∵∠PCM=α，∠QBN=β，
∴∠PCB=180α︒-，∠QBC=180β︒-，
∴∠POQ =540°﹣90°﹣90°﹣(180α︒-)﹣(180β︒-)=αβ+，
∴∠POQ =7040110αβ+=︒+︒=︒；
（3）过O 作OD ⊥NQ ，与NQ 的延长线交于点D ，如图3，
按（1）的方法得，∠OQD =∠NBQ =40°，
∴DQ =OQ •cos40°≈3×0.77=2.31（cm ），
由（1）知，圆心O 距离地面的高度5.02cm ，DN=5.02cm
∴QN =DN -DQ =5.02﹣2.31=2.71（cm ）．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线性质，多边形内角和定理，正确构造直角三角形是解题的关键所在．
22．（1）))3393303y x x =
+-<≤；（2）33322； （3）BP=
306311- 【分析】
（1）设BP 的长为 x ，正方形 DEFG 的边长为 y ，则由题意可得BD=2x ，DE=y ，33
EC y =，然后根据BC=6可以得到y 关于 x 的函数解析式； （2）若BP=2，即x=2，由（1）可得正方形 DEFG 的边长EF 的长度，解直角三角形CEF 可得CF 的长度；
（3）设△GDP 是直角三角形，则PG ⊥GD ，然后可得关于x 的方程，解方程可得x 的值，
即BP 的长度．
【详解】
解：（1）设BP 的长为 x ，正方形 DEFG 的边长为 y ，
由∠B=60°，PD 垂直AB ，则BD=2x ，DE=y ，EC=tan 30EF y ⨯︒=
，
∴有26x y y ++=，整理得： )
)3903y x x =+-<≤；
（2）若BP=2，即x=2，可得3y =，
∴(3
sin 6032
CF EF =⨯︒==； （3）若△GDP 是直角三角形，则PG ⊥GD ，∴∠DPG=30°，即PD=2GD ，
)(22
329y x ==+-，解之得： x =，此即BP 的长度． 【点睛】
本题考查解直角三角形与一次函数的综合应用，根据直角三角形边和角的关系求解是解题关键．
23．（1）
32；（2）98． 【分析】
（1）先根据矩形的性质、正弦三角函数、勾股定理可求出5,4AC BC ==，再根据翻折的性质可得3,,90AB AB B E BE AB E B '''===∠=∠=︒，设B E BE x '==，然后在Rt CB E '中，利用勾股定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得CB F ACB '∠=∠，从而可得
3sin sin 5
CB F ACB '∠=∠=，再利用正弦三角函数、勾股定理、线段的和差可得,,CF B F DF '的值，然后在Rt DB F '中，利用余切三角函数的定义即可得．
【详解】
（1）四边形ABCD 是矩形，3AB =，
3,90CD AB B BCD ∴==∠=∠=︒，
在Rt ABC 中，3sin 5AB ACB AC ∠=
=，即335
AC =， 解得5AC =，
4BC ∴==，
由翻折的性质得：3,,90AB AB B E BE AB E B '''===∠=∠=︒，
2,90CB AC AB CB E '''∴=-=∠=︒，
设B E BE x '==，则4CE BC BE x =-=-，
在Rt CB E '中，222B E B C CE ''+=，即()2
22x 24x +=-，
解得
3
2
x=，
即BE的长为3
2
；
（2）如图，过点B'作B F CD
'⊥于点F，
90
B FD BCD
'
∴∠=∠=︒，
//
B F BC
'
∴，
CB F ACB
'
∴∠=∠，
3
sin sin
5
CB F ACB
'
∴∠=∠=，
在Rt CB F'
△中，sin
CF
CB F
CB
'
∠=
'
，即
3
25
CF
=，
解得
6
5
CF=，
22
89
,
55
B F B
C CF DF C
D CF
''
∴=-==-=，
则在Rt DB F'中，
9
9
5
cot
88
5
DF
B DC
B F
'
∠===
'
．
【点睛】
本题考查了矩形与折叠问题、平行线的判定与性质、正弦与余切三角函数、勾股定理等知识点，熟练掌握并灵活运用三角函数的定义是解题关键．24．(306302海里
【分析】
过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD=60°，∠BCD=45°，通过解直角三角形可求出BD，AD的长，将其相加即可求出AB的长．
【详解】
过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD=60°，∠BCD=45°，如图所示．
在Rt △BCD 中，,cos BD CD sin BCD BCD CD CD ∠=
∠=， ∴BD=BC•sin ∠BCD=20×3×22= 302 CD=BC•cos ∠BCD=20×3×22= 302 在Rt △ACD 中，AD tan ACD CD
∠=， ∴AD=CD•tan ∠ACD= 3023306=．
∴AB=AD+BD= 6302
∴A ，B 间的距离约为（6302）海里．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形，求出BD ，AD 的长是解题的关键．
25．（1）135°；（2）23
【分析】
（1）根据旋转的性质得到ABD △是等腰三角形和顶角BAD ∠的度数，再算出ABD ∠的度数，就可以算出DBC ∠的度数；
（2）设2AD AB x ==，根据特殊角的三角函数值用x 表示出BE 和DE ，就可以求出tan ∠BDE 的值．
【详解】
解：（1）∵90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，
∴30BAC DAB ∠=∠=︒，
∵AD AB =， ∴()118030752
ABD ADB ∠=∠=︒-︒=︒， ∴7560135DBC ABD ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；
（2）设2AD AB x ==，则12
DE AD x =
=，3AE x =， ∴23BE x x =-，
∴(
2tan 2x BE BDE DE x
∠===．
【点睛】
本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．
26．（1
）2）
72；（3）1231x x ==， 【分析】
（1）先将二次根式化为最简，然后去括号，合并同类二次根式即可；
（2）根据特殊角的三角函数值计算；
（3）利用因式分解法或配方法解方程．
【详解】
（1）解：原式
=．
=．
（2
）解：原式122
=-． 1312
72=+-
=
（3）解：243x x -=-．
()22441
2121
x x x x -+=-=-=±
∴21x -=或21x -=-，
∴1231x x ==，；
【点睛】
此题考查实数的混合计算和一元二次方程的计算，关键是根据一元二次方程、二次根式和三角函数进行解答．。