高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2.1 两角和与差的正弦、余弦公式课时作业(含解析)新人教A

课时作业25 两角和与差的正弦、余弦公式
——基础巩固类——
一、选择题
1．cos 5π12cos π12＋sin 5π12sin π
12的值为( A )
A ．12
B ．0
C ．
32
D ．1
解析：由两角差的余弦公式，得cos 5π12cos π12＋sin 5π12sin π12＝cos ⎝⎛⎭⎫5π12－π12＝cos π3＝1
2，故选A ．
2．cos(80°＋2α)cos(65°＋2α)＋sin(80°＋2α)sin(65°＋2α)的值为( C ) A ．2－6
4 B ．
32
C ．
6＋2
4
D ．12
解析：原式＝cos[(80°＋2α)－(65°＋2α)] ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝2＋64.
3．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎫x －π
4是(D) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数
D ．周期为2π的奇函数
解析：因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x －⎝⎛⎭⎫22cos x ＋2
2sin x ＝－2sin x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π
1＝2π.又f (－x )＝－2sin(－x )＝2sin x ＝－f (x )，所以函
数f (x )为奇函数，故选D ．
4．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( A ) A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
解析：∵在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ．
∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0，即sin(B －A )＝0，∴A ＝B ．故选A ． 5．若3sin x ＋cos x ＝4－m ，则实数m 的取值X 围是( A ) A ．2≤m ≤6 B ．－6≤m ≤6 C ．2<m <6
D ．2≤m ≤4
解析：∵3sin x ＋cos x ＝4－m ，∴32sin x ＋1
2cos x ＝4－m 2，
∴sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝4－m 2，∴cos(x －π3)＝4－m
2.
∵|cos(x －π
3)|≤1，∴|4－m 2|≤1，∴2≤m ≤6.
6．已知sin α＋cos α＝2
3
，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12的值为( A ) A ．
3＋226 B ．3－226 C ．1＋266 D ．1－26
6
解析：∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2
3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1
3
， ∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫
π4，54π， ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13<22，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫3
4π，π， ∴cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－22
3
. sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
12＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π6 ＝13×32＋223×12＝3＋226
.选A ．
二、填空题
7．形如⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎝ ⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc ，则行列式⎝ ⎛⎭⎪
⎫cos π
3 sin π
6sin π3 cos π6 的
值是0 .
解析：⎝ ⎛⎭
⎪
⎫cos π3sin π
6
sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6
＝cos(π3＋π6)＝cos π2
＝0.
8．式子sin68°－cos60°sin8°cos68°＋sin60°sin8°
的值是.
解析：原式＝sin (60°＋8°)－cos60°sin8°cos (60°＋8°)＋sin60°sin8°＝sin60°cos8°
cos60°cos8°＝tan60°＝ 3.
9．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，且0<α<π4<β<3π4，则sin(α＋β)＝56
65
. 解析：由sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，且0<α<π4，得cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213.由cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，π4<β<3π4，得sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45.故cos[⎝⎛⎭⎫3π4＋α＋⎝⎛⎭⎫β－π4]＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫β－π4－sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－5665，即cos ⎝⎛⎭⎫α＋β＋π2＝－sin(α＋β)＝－5665，所以sin(α＋β)＝56
65
. 三、解答题 10．化简下列各式．
(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π
3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)；
(3)(tan10°－3)·cos10°
sin50°
.
解：(1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π
3sin x
＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －3
2
sin x
＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋3
2cos x ＝0； (2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α
＝
sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin β
sin α
；
(3)原式＝(tan10°－tan60°)·cos10°
sin50°
＝⎝⎛⎭⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°
＝sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°
＝－sin (60°－10°)cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1
cos60°
＝－2.
11．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝3
2. (1)求A 的值；
(2)若f (θ)＋f (－θ)＝3
2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ. 解：(1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝3
2， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A ·32＝32. ∴A ＝ 3.
(2)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，且f (θ)＋f (－θ)＝32， ∴f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋3sin ⎝
⎛⎭⎫－θ＋π
4 ＝3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＋⎝⎛⎭⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝3×2cos θsin π4＝6cos θ＝32
， ∴cos θ＝
6
4
，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∴sin θ＝
1－cos 2θ＝
10
4
.
∵f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304
. ——能力提升类——
12．已知向量a ＝(2，2)，b ＝(cos x ，sin x )，a ·b ＝85，且π4<x <π
2，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的值为(A)
A ．－3
5
B ．3
5
C ．－45
D ．45
解析：∵a ＝(2，2)，b ＝(cos x ，sin x )， ∴a ·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝85， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝4
5
， 又∵π4<x <π2，∴π2<x ＋π4<34π，
∴cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－3
5
. 13．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是(D) A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形
D ．直角三角形
解析：∵sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1， ∴sin(A ＋B )＝1.∴sin C ＝1. ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
2
.故选D ．
14．若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－12，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝32，其中π4<α<π2，π4<β<π2，则角α＋β的值为56π. 解析：由已知可得－π4<π4－α<0，π2<π4＋β<3
4
π，
∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝32，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β＝－12
. 则cos(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎫π4－α＝－12×32＋32×⎝⎛⎭⎫－12＝－32，又∵π2
<α＋β<π，∴α＋β＝5
6
π.
15．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π
2 的图象关于直线x ＝π
3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值．
(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π
6<α<2π3，求cos ⎝
⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又因为f (x )的图象关于直线x ＝π
3对称，
所以2·π3＋φ＝k π＋π
2，k ＝0，±1，±2，….
由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π
6.
(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1
4. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π
2， 所以cos ⎝⎛⎭
⎫α－π
6＝1－sin 2⎝⎛⎭
⎫α－π
6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝15
4
. 因此cos ⎝
⎛⎭⎫α＋3π
2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158
.。