七年级下月考数学试卷(含解析)

2018-2019学年江苏省无锡市羊尖中学七年级（下）月考数学试卷（5
月份）
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（）
A．a+2a2=3a3B．a8÷a2=a4C．a3•a2=a6D．（a3）2=a6
2．把一个不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式组的解集为（）
A．0＜x≤1 B．x≤1 C．0≤x＜1 D．x＞0
3．甲型H1N1流感病毒的直径大约为0.00000008米，用科学记数法表示为（）A．0.8×10﹣7米B．8×10﹣8米C．8×10﹣9米D．8×10﹣7米
4．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（）
A．7 B．8 C．5 D．7或8
5．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）
A．x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1 B．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
C．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4
6．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）
A．中线B．角平分线
C．高D．连接三角形两边中点的线段
7．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10颗”．如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组是（）
A．B．
C．D．
8．从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，若要使该不等式组的解集为x≥1，则可以选择的不等式是（）
A．x＞0 B．x＞2 C．x＜0 D．x＜2
9．如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（）
A．∠B+∠C+∠E=180°B．∠B+∠E﹣∠C=180°
C．∠B+∠C﹣∠E=180°D．∠C+∠E﹣∠B=180°
10．方程5x+3y=54共有（）组正整数解．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：（本大题共10小题，每空2分，共24分）
11．一个n边形的内角和是1260°，那么n=．
12．已知m x=2，m y=4，则m x+2y=．
13．如果a＜b．那么3﹣2a3﹣2b．（用不等号连接）
14．计算：（﹣2x3y）•（﹣x2y2）=．（x﹣1）（x+1）（x2+1）=．
15．不等式3x﹣9＞0的解集为，不等式14﹣2x＞6的解集为．
16．若（x+k）（x﹣4）的积中不含有x的一次项，则k的值为．
17．关于x、y的方程组，则x+y的值为．
18．4根小木棒的长度分别为2cm、3cm、4cm和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出不同的三角形．
19．若m2+n2﹣6n+4m+13=0，m2﹣n2=．
20．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条
件，若加条件∠B=∠C，则可用判定．
三、解答题：（本大题共9小题，共46分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）．
21．计算：
（1）（﹣a）2•（a2）2÷a3
（2）（x+2）（4x﹣2）+（2x﹣1）（x﹣4）
22．把下列各式分解因式：
（1）2x2﹣8xy+8y2
（2）4x3﹣4x2y﹣（x﹣y）
23．解方程组：
（1）
（2）．
24．代数式的值不小于的值，在数轴上表示出x的取值范围并求出x的最大整数值．25．解不等式组：．
26．先化简，再求值：（2a+b）2+5a（a+b）﹣（3a﹣b）2，其中a=3，b=﹣．
27．已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．
求证：AB=DC．
28．为了科学使用电力资源，我市对居民用电实行“峰谷”计费：8：00～21：00为峰电价，每千瓦时0.56元；其余时间为谷电价，每千瓦时0.28元，而不实行“峰谷”计费的电价为每千瓦时0.52元．小丽家某月共用电200千瓦时．
（1）若不按“峰谷”计费的方法，小丽家该月原来应缴电费元；
（2）若该月共缴电费95.2元，求小丽家使用“峰电”与“谷电”各多少千瓦时？
（3）当峰时用电量小于总用电量的几分之几时，使用“峰谷”计费法比原来的方法合算？
29．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；
（1）求证：CD⊥AB，并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题；
（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于E．求证：∠AEC=∠CFE；
（3）如图3，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、△ADF 的面积分别为S△ABC、S△CEF、S△ADF，且S△ABC=36，则S△CEF﹣S△ADF=．（仅填结果）
2014-2015学年江苏省无锡市羊尖中学七年级（下）月考数学试卷（5
月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（）
A．a+2a2=3a3B．a8÷a2=a4C．a3•a2=a6D．（a3）2=a6
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
专题：计算题．
分析：A、经过分析发现，a与2a2不是同类项，不能合并，本选项错误；
B、利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即可计算出结果；
C、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可计算出结果；
D、根据积的乘方法则，底数不变，指数相乘，即可计算出结果．
解答：解：A、因为a与2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项错误；
B、a8÷a2=a6，故本选项错误；
C、a3•a2=a5，故本选项错误；
D、（a3）2=a6，故本选项正确．
故选：D
点评：此题考查了同底数幂的乘法、除法法则，以及积的乘方法则的运用，是一道基础题．
2．把一个不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，则该不等式组的解集为（）
A．0＜x≤1 B．x≤1 C．0≤x＜1 D．x＞0
考点：在数轴上表示不等式的解集．
分析：根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
解答：解：∵0处是空心圆点且折线向右；1处是实心圆点且折线向左，
∴该不等式组的解集为：0＜x≤1．
故选A．
点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心原点的区别是解答此题的关键．
3．甲型H1N1流感病毒的直径大约为0.00000008米，用科学记数法表示为（）A．0.8×10﹣7米B．8×10﹣8米C．8×10﹣9米D．8×10﹣7米
考点：科学记数法—表示较小的数．
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.00 000 008=8×10﹣8，
故选：B．
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（）
A．7 B．8 C．5 D．7或8
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：因为腰长没有明确，所以分①2是腰长，②3是腰长两种情况求解．
解答：解：①2是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7，
②3是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8，
所以，它的周长是7或8．
故选：D．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解．
5．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）
A．x2+5x﹣1=x（x+5）﹣1 B．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
C．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4
考点：因式分解的意义．
分析：根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
解答：解：A、右边不是积的形式，故A错误；
B、右边不是积的形式，故B错误；
C、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），故C正确．
D、是整式的乘法，不是因式分解．
故选：C．
点评：此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
6．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）
A．中线B．角平分线
C．高D．连接三角形两边中点的线段
考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．
分析：根据等底等高的三角形的面积相等解答．
解答：解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选：A．
点评：本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并灵活应用．
7．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10颗”．如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组是（）
A．B．
C．D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
分析：设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，根据题意，列方程组即可．
解答：解：设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，
由题意得，
x+y=10，x+y=10
化简得，．
故选A．
点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
8．从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，若要使该不等式组的解集为x≥1，则可以选择的不等式是（）
A．x＞0 B．x＞2 C．x＜0 D．x＜2
考点：不等式的解集．
分析：首先计算出不等式x+1≥2的解集，再根据不等式的解集确定方法；大大取大可确定另一个不等式的解集，进而选出答案．
解答：解：x+1≥2，
解得：x≥1，
根据大大取大可得另一个不等式的解集一定是x不大于1，
故选：A．
点评：此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不着．
9．如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（）
A．∠B+∠C+∠E=180°B．∠B+∠E﹣∠C=180°
C．∠B+∠C﹣∠E=180°D．∠C+∠E﹣∠B=180°
考点：平行线的性质．
分析：过点E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠1，两直线平行，内错角相等表示出∠2，再根据∠E=∠1+∠2整理即可得解．
解答：解：如图，过点E作EF∥AB，
则∠1=180°﹣∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠2=∠C，
∵∠1+∠2=∠E，
∴180°﹣∠B+∠C=∠E，
∴∠B+∠E﹣∠C=180°．
故选B．
点评：本题考查了平行线的性质，此类题目，过拐点作辅助线是解题的关键．
10．方程5x+3y=54共有（）组正整数解．
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：解二元一次方程．
分析：求出y=18﹣x，取3的倍数即可得出答案．
解答：解：5x+3y=54
y=18﹣x，
共有3组正整数解：是，，．
故选B．
点评：本题考查了二元一次方程的解的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
二、填空题：（本大题共10小题，每空2分，共24分）
11．一个n边形的内角和是1260°，那么n=9．
考点：多边形内角与外角．
分析：根据多边形的内角和公式：（n﹣2）．180 （n≥3）且n为整数）可得方程：（n﹣2）×180=1260，再解方程即可．
解答：解：由题意得：（n﹣2）×180=1260，
解得：n=9，
故答案为：9．
点评：此题主要考查了多边形的内角和公式，关键是掌握内角和公式．
12．已知m x=2，m y=4，则m x+2y=32．
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析：根据积的乘方和幂的乘方的运算法则求解即可．
解答：解：∵m x=2，m y=4，
∴m x+2y=m x（m y）2=2×16=32．
故答案为：32．
点评：本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
13．如果a＜b．那么3﹣2a＞3﹣2b．（用不等号连接）
考点：不等式的性质．
分析：根据不等式的性质3，可得﹣2a＞﹣2b，根据不等式的性质1，可得3﹣2a与3﹣2b的大小关系．
解答：解：∵a＜b，
两边同乘﹣2得：﹣2a＞﹣2b，
不等式两边同加3得：3﹣2a＞3﹣2b，
故答案为：＞．
点评：本题考查了不等式的性质，注意计算顺序，先根据不等式的性质3，两边同乘﹣2，在根据不等式的性质1，不等式两边同加3．
14．计算：（﹣2x3y）•（﹣x2y2）=2x5y3．（x﹣1）（x+1）（x2+1）=（x4﹣1）．
考点：平方差公式；单项式乘单项式．
分析：利用单项式的乘法法则进行运算即可；
两次运用平方差公式即可求得答案．
解答：解：（﹣2x3y）•（﹣x2y2）=2x5y3；
（x﹣1）（x+1）（x2+1）
=（x2﹣1）（x2+1）
=（x4﹣1）．
故答案为：2x5y3、（x4﹣1）．
点评：本题考查了平方差公式及单项式的乘法，属于基础运算，解题的关键是牢记平方差公式和单项式乘法的运算法则，难度较小．
15．不等式3x﹣9＞0的解集为x＞3，不等式14﹣2x＞6的解集为x＜4．
考点：解一元一次不等式．
分析：先移项，然后将系数化为1，可得出不等式的解集．
解答：解：3x﹣9＞0，
移项得：3x＞9，
系数化为1可得：x＞3；
14﹣2x＞6，
移项得：2x＜8，
系数化为1得：x＜4．
故答案为：x＞3，x＜4．
点评：本题考查了解一元一次不等式的知识，解答本题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤．
16．若（x+k）（x﹣4）的积中不含有x的一次项，则k的值为4．
考点：多项式乘多项式．
专题：计算题．
分析：利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，令一次项系数为0即可求出k的值．
解答：解：（x+k）（x﹣4）=x2+（k﹣4）x﹣4k，
∴k﹣4=0，即k=4．
故答案为：4．
点评：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．关于x、y的方程组，则x+y的值为﹣1．
考点：解二元一次方程组．
分析：方程组的两个方程相加，再两边都除以3，即可求出答案．
解答：解：，
①+②得：3x+3y=﹣3，
x+y=﹣1，
故答案为：﹣1．
点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，主要考查学生能否选择适当的方法求出结果，题目比较好，难度适中．
18．4根小木棒的长度分别为2cm、3cm、4cm和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出3不同的三角形．
考点：三角形三边关系．
分析：先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解．解答：解：任取3根可以有一下几组：
①2cm，3cm，4cm，能够组成三角形，
②2cm，3cm，5cm，
∵2+3=5，
∴不能组成三角形；
③2cm，4cm，5cm，
能组成三角形，
③3cm，4cm，5cm，
能组成三角形，
∴可以搭出不同的三角形3个．
故答案为：3．
点评：本题考查了三角形的三边关系，按照一定的顺序进行分组才能做到不重不漏．
19．若m2+n2﹣6n+4m+13=0，m2﹣n2=﹣5．
考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
专题：计算题．
分析：已知等式常数项13变形为9+4，结合后利用完全平方公式变形，根据两非负数之和为0，两非负数分别为0求出m与n的值，即可求出所求式子的值．
解答：解：∵m2+n2﹣6n+4m+13=（m2+4m+4）+（n2﹣6n+9）=（m+2）2+（n﹣3）2=0，
∴m+2=0，n﹣3=0，即m=﹣2，n=3，
则m2﹣n2=4﹣9=﹣5．
故答案为：﹣5
点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件AB=AC，若加条件∠B=∠C，则可用AAS判定．
考点：直角三角形全等的判定．
分析：要使△ABD≌△ACD，且利用HL，已知AD是直边，则要添加对应斜边；已知两角及一对应边相等，显然根据的判定为AAS．
解答：解：添加AB=AC
∵AD⊥BC，AD=AD，AB=AC
∴△ABD≌△ACD
已知AD⊥BC于D，AD=AD，若加条件∠B=∠C，显然根据的判定为AAS．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题：（本大题共9小题，共46分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）．21．计算：
（1）（﹣a）2•（a2）2÷a3
（2）（x+2）（4x﹣2）+（2x﹣1）（x﹣4）
考点：整式的混合运算．
分析：（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算同底数幂的乘除；
（2）利用整式的乘法展开，进一步合并得出答案即可．
解答：解：（1）原式=a2•a4÷a3
=a3；
（2）原式=4x2+6x﹣4+2x2﹣9x+4
=6x2﹣3x．
点评：此题考查整式的混合运算，掌握运算顺序于计算方法是解决问题的关键，注意符号的判断．
22．把下列各式分解因式：
（1）2x2﹣8xy+8y2
（2）4x3﹣4x2y﹣（x﹣y）
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：（1）首先提取公因式2，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
（2）首先把前两项组合提取公因式4x2，然后再提取公因式（x﹣y）进行二次分解，最后利用平方差公式进行三次分解即可．
解答：解：（1）2x2﹣8xy+8y2=2（x2﹣4xy+4y2）=2（x﹣2y）2；
（2）4x3﹣4x2y﹣（x﹣y）=4x2（x﹣y）﹣（x﹣y）=（x﹣y）（4x2﹣1）=（x﹣y）（2x+1）（2x﹣1）．点评：此题主要考查了公因式法与公式法的综合运用，解题关键是注意分解因式的步骤：①首先考虑提取公因式，②再考虑公式法，③观察是否分解彻底．
23．解方程组：
（1）
（2）．
考点：解二元一次方程组．
专题：计算题．
分析：（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
解答：解：（1）方程组整理得：，
①﹣②得：4y=16，即y=4，
把y=4代入①得：x=10，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②×5得：7x=﹣7，即x=﹣1，
把x=﹣1代入②得：y=3，
则方程组的解为．
点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
24．代数式的值不小于的值，在数轴上表示出x的取值范围并求出x的最大整数值．
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的整数解．
分析：根据题意列出关于x的不等式，然后利用不等式的性质来解该一元一次不等式，并将其在数轴上表示出来．
解答：解：根据题意，得：≥，
去分母得，2（x++1）≥5（2x+3），
去括号得，2x+2≥10x+15，
移项得2x﹣10x≥15﹣2，
合并同类项得﹣8x≥13，
系数化为1，得x≤﹣
所以x的最大整数值是﹣2．
数轴上表示如下：
点评：本题考查了利用不等式的性质来解一元一次不等式．不等式的性质是：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
25．解不等式组：．
考点：解一元一次不等式组．
分析：首先分别解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
解答：解：，
解不等式①得：x≥0，
解不等式②得：x＜4，
不等式组的解集为：0≤x＜4．
点评：此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
26．先化简，再求值：（2a+b）2+5a（a+b）﹣（3a﹣b）2，其中a=3，b=﹣．
考点：整式的混合运算—化简求值．
分析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解答：解：（2a+b）2+5a（a+b）﹣（3a﹣b）2
=4a2+4ab+b2+5a2+5ab﹣9a2+6ab﹣b2
=15ab，
当a=3，b=﹣时，原式=15×3×（﹣）=﹣30．
点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简能力和计算能力，题目比较好，难度适中．
27．已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．
求证：AB=DC．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：根据角平分线性质和已知求出∠ACB=∠DBC，根据ASA推出△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质推出即可．
解答：证明：∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC，∠ACB=∠DCB，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
∴AB=DC．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线性质的应用，关键是推出△ABC≌△DCB，题目比较好，难度适中．
28．为了科学使用电力资源，我市对居民用电实行“峰谷”计费：8：00～21：00为峰电价，每千瓦时0.56元；其余时间为谷电价，每千瓦时0.28元，而不实行“峰谷”计费的电价为每千瓦时0.52元．小丽家某月共用电200千瓦时．
（1）若不按“峰谷”计费的方法，小丽家该月原来应缴电费104元；
（2）若该月共缴电费95.2元，求小丽家使用“峰电”与“谷电”各多少千瓦时？
（3）当峰时用电量小于总用电量的几分之几时，使用“峰谷”计费法比原来的方法合算？
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
分析：（1）直接利用用电量×单价=总费用，得出即可；
（2）设小丽家“峰电”与“谷电”分别用了x、y千瓦时，由题意得出方程组求出即可；
（3）设“峰电”用电量占总用电量的比值为：x，总用电量为a千瓦时，由题意得出：0.56ax+0.28a（1﹣x）＜0.52a，进而求出即可．
解答：解：（1）200×0.52=104元；
故答案为：104；
（2）设小丽家“峰电”与“谷电”分别用了x、y千瓦时，由题意得：
，
解得：，
答：小丽家“峰电”与“谷电”分别用了140千瓦时、60千瓦时；
（3）设“峰电”用电量占总用电量的比值为：x，总用电量为a千瓦时，
由题意得出：当0.56ax+0.28a（1﹣x）＜0.52a时，“峰谷”计费方式便宜，
解得：x＜，
答：当峰时用电量小于总用电量的时，使用“峰谷”计费法比原来的方法合算．
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等式关系是解题关键．
29．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；
（1）求证：CD⊥AB，并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题；
（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于E．求证：∠AEC=∠CFE；
（3）如图3，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、△ADF 的面积分别为S△ABC、S△CEF、S△ADF，且S△ABC=36，则S△CEF﹣S△ADF=3．（仅填结果）
考点：命题与定理；三角形的面积；直角三角形的性质．
分析：（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，然后求出∠A+∠ACD=90°，从而得到∠ADC=90°，再根据垂直的定义证明即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠CAE=∠BAE，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CAE+∠
AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，从而得到∠AEC=∠AFD，再根据对顶角相等可得∠AFD=∠CFE，然后等量代换即可得证；
（3）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ACD和S△ACE，然后根据S△CEF﹣
S△ADF=S△ACE﹣S△ACD计算即可得解．
解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
即CD⊥AB，
证明时应用了“直角三角形两锐角互余”和“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”；
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠AFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠AEC=∠CFE；
（3）解：∵BC=3CE，AB=4AD，
∴S△ACD=S△ABC=×36=9，S△ACE=S△ABC=×36=12，
∴S△CEF﹣S△ADF=S△ACE﹣S△ACD
=12﹣9
=3．
故答案为：3．
点评：本题考查了命题与定理，三角形的面积，直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，（3）利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ACD和S△ACE是解题的关键．。