实数的完备性及其应用毕业论文

题目：实数的完备性及其应用
姓名： *** 学号： 200704010133 系别：数学与信息科学系
专业：数学与应用数学
年级班级： 2007级数应（二）班
指导教师： *** 2011年 5 月 10日
毕业论文（设计）作者声明
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论文题目: 实数的完备性及其应用
作者单位：***
作者签名： ***
2011年5 月10 日
目录
摘要 (1)
引言 (3)
1.实数的完备性 (4)
2. 实数完备性的证明 (4)
3.实数完备性的应用 (9)
结束语 (12)
参考文献 (13)
致谢 (14)
实数的完备性及其应用
摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性,因此有多个实数集的完备性基本定理,包含六个实数集完备性基本定理.本文通过证明这六个基本定理的等价性,来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述,让我们获得了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.
关键词：完备性；反证法；等价性
Completeness of the system of real numbers and applications Abstract：Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. It contains six basic theorems. That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it, and makes us acquire more recognition and understanding.
Key Words:Completeness; Proof by contradiction; Equivalence
引言
众所周知,数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性,可微性以及可积性）,所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限,不仅与数列本身的结构有关,而且也与数列所在数集有关.如果在有理数集Q上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.
例如,单调有界的有理数列
1
1
n
n
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
就不存在极限,因为它的极限是e,是无理数.
由于实数集关于极限的运算是封闭的,是实数集的优点,是有别于有理数集的重要特征.因此,将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置.
1.实数集的完备性
定理1 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． 定理3 (区间套定理） 设[]{},n n a b 为一区间套： 1.[][]11,,,1,2,n n n n a b a b n ++⊃= 2.()0lim n n n b a →∞
-=.
则存在唯一一点[],,1,2,n n a b n ξ∈= .
定理4 (有限覆盖定理) 设(){},H αβ=是闭区间[],a b 的一个无限开覆盖,即[],a b 中每一点都含于
中至少一个开区间(),αβ内．则在H 中必存在有限个
开区间,它们构成[],a b 的一个有限开覆盖．
定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ,即在
ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ,也可以不属于S ）．
定理 6 (柯西准则) 数列{}n α收敛的充要条件是：0,N N ε+∀>∃∈,只要
,n m N >, 恒有m n ααε-<．（后者又称为柯西（Cauchy ）条件,满足柯西条件
的数列又称为柯西列,或基本列．）
2. 实数集完备性的证明
定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 证 我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下届的 数集必有下确界可类似证明。

由数学分析可知任何一个实数x 都可以表示成下列形式
[]()x x x =+.
其中[]x 表示x 的整数部分,()x 表示x 的非负小数部分.我们将()x 表示成无限小数的形式：()x =120.,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中1a ,2a ,⋅⋅⋅n a ⋅⋅⋅的每一个数字都是0,1,2,⋅⋅⋅,9中的一个,若()x 是有限小数,则在后面接上无限个0.这称为实 数的无限小数表
示.注意无限小数()120.0000p p a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≠与无限小数()120.1999p a a a ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅是相等的,为了表示的唯一性,我们约定在()x 的无限小数表示中不出现后者.这样任何一个实数集合S 都可以由一个确定的无限小数的集合来表示：
[](){}
120120.,0.,.n n a
a a a a x a a a x x S +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈
设数集S 有上界,则可令S 中元素的整数部分的最大者为0α（0α一定存在,否者的话,S 就不可能有上界）,并记
[]{}
00=S x x S x α=∈并且
显然0S 不是空集,并且对于任意x S ∈,只要0x S ∉,就有0x α<.
再考察数集0S 中元素的无限小数表示中第一位小数的数字,令它们中最大的为1α,并记{}101S x x S x α=∈并且的第一位小数为。

显然1S 也不是空集,并且对于任意x S ∈,只要1x S ∉,就有010.x αα<+. 如此下去,考察数集n-1S 中元素的无限小数表示中第n 位小数的数字,令它们中的最大者为n α,并记{}n n-1n n S x x S x α=∈并且的第位小数为。

显然n S 也不是空集,并且对于任意x S ∈,只要n x S ∉,就有
012n
0.x αααα<+⋅⋅⋅. 不断地做下去,我们得到一列非空数集01n S S S S ⊃⊃⊃⋅⋅⋅⊃⊃⋅⋅⋅,和一列数012n αααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，满足0α∈Z , {}k 0,19k N α+∈⋅⋅⋅∈，，，. 令
012n =0.βαααα+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
下面我们分两步证明β就是数集S 的上确界.
()1设x S ∈,则或者存在整数0n 0≥,使得0n x S ∉,或者对于任何整数n 0≥,有n x S ∈.
若0n x S ∉,便有0012n 0.x ααααβ<+⋅⋅⋅≤；
若()n n x S N ∈∀∈,由n S 的定义并逐个比,较x 与β的整数部分及每一位小数,即知x =β.所以对任意的x S ∈,有x β≤,即β是数集S 的上界. ()2对于任意给定的0ε>,只要将自然数0n 取得充分大,便有
1
10n ε<. 取00n x S ∈,则β与0x 的整数部分及前0n 位小数是相同的,所以
01
10
n x βε-≤
<,即0x βε>-, 所以任何小于β的数都不是数集S 的上界.即证β是数集S 的上确界.
同理可证明非空有下界数集必有下确界.
定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
证 不防设数列{}n x 单调递减且有下界,根据确界原理有{}n x 必有下确界α,满足：
()1:n n N x α+∀∈≥ ()0020,:n n x x εαε∀>∃<+ 取N=0n ,n N ∀>：α<n x <0n x αε<+ 所以n x αε-<于是lim n n x α→+∞
=即证
同理可证单调递增有上界数列也有极限
定理3 (区间套定理） 设[]{},n n a b 为一区间套： 1. [][]11,,,1,2,n n n n a b a b n ++⊃= 2.()0lim n n n b a →∞
-=.
则存在唯一一点[],,1,2,n n a b n ξ∈=
证 由1。

有1221n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤
则{}n a 为单调递增数列且有上界,{}n b 为单调递减数列,且有下界,则由单调有界定理有{}n a ,{}n b 的极限都存在
不妨设lim n n a ξ→∞
=则lim n n b →∞
= lim[()]n n n n b a a →∞
-+= lim()n n n b a →∞-+ lim n n a →∞
= ξ
则ξ既是{}n a 的上确界,又是{}n b 的下确界,所以,1,2,3,n n a b n ξ≤≤= 若还有一点ξ'也满足,1,2,n n a b n ξ'≤≤= 则由上可知
--1,2,3,n n b a n ξξ'≤= ，
则有2。

有-lim
-=n n n b a ξξ→∞
'≤（）0所以=ξξ'即证 定理4 (有限覆盖定理) 设(){},H αβ=是闭区间[],a b 的一个无限开覆盖,即[],a b 中每一点都含于H 中至少一个开区间(),αβ内．则在H 中必存在有限个开区间,它们构成[],a b 的一个有限开覆盖
证 反证法.假设区间[a,b]不能被H 中有限个开区间覆盖.将[],a b 等分成两个子区间,则这两个子区间中至少有一个不可以被H 中有限个开区间覆盖,记这个区间为[]11,a b ,且()111
2
b a b a -=
- 再将[]11,a b 等分成两个子区间,同样至少有一个子区间不可以被H 中有限个开区间覆盖,记这个区间为[]22,a b ,且()2221
2
b a b a -=
- 如此进行下去,得到一个闭区间列[]{},n n a b ,它满足
[],n n a b ⊃[]11,n n a b ++,1,2,n =
且()1
2
n n n b a b a -=
-则[]{},n n a b 是区间套,且每一个闭区间都不可以由H 中有限个开区间来覆盖.
有区间套定理得,存在唯一的一点ξ[],n n a b ∈,1,2,n = 由于H 是[],a b 的一个开覆盖,所以存在开区间(),αβH ∈,使得ξ∈(),αβ则当n 充分大时有
[],n n a b (),αβ⊂,这说明[],n n a b 可以由H 中的一个开区间覆盖,矛盾.即证.
定理 5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ,即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ,也可以不属于
S ）．
证 反证法.设A 为有界集.即[],A a b ⊂.设A 无聚点.则对于任意的
[],x a b ∈,x 不为A 的聚点,故必有开区间x I ,使得x x I ∈,且x I 中至多只含有A 的一个点x ,这样开区间族∆=[]{},x I x a b ∈覆盖了[],a b ,由有限覆盖定理得,存在
{}
[]1
1
,,m k n x x x k I
I a b I =⊂∆⊂ 使,当然1
k n x k I = 也覆盖A,再有k x I 的构造知1
k n
x k I = 至多
含有A 的有限个点,因此A 为有限集,这与A 为无限集矛盾.即证.
推论：（致密性定理）有界数列比含有收敛子列.
证 设数列{}n a 有界,即,n a a b n N ≤≤∀∈.若{}n a n N ∈为有限集,则数列
{}n a 必有无穷项相同,把这些相同的项依下标从小到大排列得到{}n a 的一个收敛
子列；若A={}n a n N ∈为无限集,由聚点定理得,A 必有一个据点a ,由据点定义可得一收敛子列收敛于a .即证.
定理 6 (柯西准则) 数列{}n α收敛的充要条件是：0,N N ε+∀>∃∈,只要 ,n m N >, 恒有m n ααε-<．（后者又称为柯西（Cauchy ）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．）
证 先正必要性.设{}n a 收敛于a ,则对于任意的0ε>,,,N n m N ∃∀>,有 ,2
2
n m a a a a ε
ε
-<-<
于是2
m n m n m a a a a a a a a ε
ε-<
-≤-+-<
再证充分性.先证数列{}n a 有界.取01ε=,则由定理知
0001,1n N N n N a a +∃∀>-<有
令{}
00121max ,,,,1,N N M a a a a +=+ 则对一切n,成立n a M ≤,由致密性定理,在{}n a 中必有收敛子列：lim k n k a a →∞
=由定理得0,N N ε+∀>∃∈,只要,n m N >，恒
有n m a a -2
ε
<
．在上式中令k m n a a =,当k 充分大时,满足k n N >再令k →∞于是
得到2
n a a ε
ε-≤
<.即证.
要证明实数完备性定理的等价性,还必须由定理6证明出定理1.
用柯西收敛准则证明确界原理.
证 只用柯西准则证明上确界,下确界同理可证.
设A 有上界,我们来证它有上确界.不妨找A 的一个上界M.先在集合A 中取一点,记为1x ,从1x 开始以下列方式取点：
在[1x ,M]中取A 中的一点记作2x ,一定可以做到,因为1x 本身是A 中的点.如是再三,可取得A 中的点列{n x },下面来证明它是柯西序列.
若从某一项开始数列恒为一个值,则必定是柯西序列.对于非此情况的数列,由取法可知,数列随着n 趋近于无穷,对于任意的ε,从某项k x 起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于ε,所以点列{n x }是柯西序列.（注意,如果在k x 之后有有限个差值大于ε,则把最后的一项定为k x ；若有无限项差值大于ε,那么若干个ε就比[1x ,M]还长,不可能出现.）
由此可知,无论何种情况,点列{n x }都是柯西序列,所以收敛到一点c.从点列的选法来看,c 是A 的一个上界,因为它大于等于A 中所有的元素.同时,对于任意的e>0,由收敛序列的性质可知存在A 中的一点n x 使得c+e>n x >c-e 由此证明了c 就是A 的上确界.
以上定理即证明了实数完备性定理的等价性.
3. 实数完备性的应用
实数的完备性在闭区间上连续函数性质的证明以及积分学中都有很广泛的应用我们将通过一系列例题阐述实数完备性定理得应用.认识实数完备性定理得重要作用和地位.
例1 证明 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则它在[],a b 上有界. 证 反证法.若()f x 在[],a b 无界,将[],a b 等分为两个小区间
,,22a b a b a b ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
与,则()f x 至少在其中一个区间上无界,把它记为[]11,a b ；再把[]11,a b 等分为两个小区间,同样()f x 至少在一个区间上无界,记为[]22,a b .如此
进行下去,得到一个闭区间套[]{}n n ,a b ,且()f x 在任何一个区间上都是无界的.
根据闭区间套定理,存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[]n n ,a b ,并且
lim lim n n n n a b ξ→∞
→∞
==
因为[],a b ξ∈,而()f x 在点ξ连续,则0,0M δ∃>>对于一切
()[],,x U a b ξδ∈⋂有()f x M ≤.
由于lim lim n n n n a b ξ→∞
→∞
==对于充分大的n 有[]()[]n n ,,,a b U a b ξδ⊂⋂于是得到
()f x 在[]n n ,a b （n 充分大）上有界.矛盾.即证.
例2 （零点存在定理）若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()f a *()f b <0,则一定
存在ξ∈[],a b ,使得()0f ξ=.
证 不失一般性,设()f a <0, ()0f b >,定义集合
V ：
[]{}
()0,,V x f x x a b =<∈.显然,集合V 有界,非空,所以必有上确界.令
sup V ξ=,
下面证 明(),a b ξ∈且()0f ξ=
由()f x 的连续性及()f a <0,[]110,,:()0;x a a f x δδ∃>∀∈+<
再由()0f b >[]220,,:()0x b b f x δδ∃>∀∈->于是可知：12a b δξδ+≤≤-即
(),a b ξ∈
取()()1,2,,n n x V n x n ξ∈=→→∞ ,因为()0n f x <,可以得到
()lim ()0n n f f x ξ→∞
=≤
若()0f ξ<,由()f x 在点ξ的连续性,()0,,:()0x U f x δξδ∃>∀∈<. 这就与sup V ξ=产生矛盾.于是必然有()0f ξ=.即证.
例3 (一致连续性定理) 若函数f 在闭区间[],a b 上连续,则f 在[],a b 上一致续.
证 反证法.
假设()f x 在[],a b 上非一致连续,则存在00ε>及两点列{}n
x '，{}n
x '',[],,n n x x a b '''∈满足()()()01
1,2n
n n
x x f x f x n n
ε''''''-<-≥= . 因为{}n
x '有界,由聚点定理的推论有,存在收敛子列{}
k n x '：[]lim ,,k n n x a b ξξ→∞
'=∈. 在点列{}n
x ''中取子列{}k n x '',其下标与{}
k n x '下标相同,则由1
,1,2k k n
n k
x x k n '''-<= ,又得到()
lim lim lim k k
k k k n
n n n n n n n x x x x x ξ→∞→∞→∞⎡⎤'''''''=+-==⎣⎦ 由于函数()f x 在点ξ连续,因而有()()
()lim lim k k n
n n n f x f x f ξ→∞
→∞
'''== 于是得到： ()()
()lim lim k k n
n n n f x f x f ξ→∞
→∞
'''==但是这与()()0n f x f x ε'''-≥矛盾. 所以假设错误.即证.
结束语
实数集的完备性是实数集的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础.在证明闭区间上连续函数性质的时候,由于实数的完备性定理是等价的,所以可以用任何一个实数的完备性定理证明闭区间上连续函数的性质,只是证明的难度有所区别罢了.在平常的学习过程中我们一定要注重实数的完备性的重要性.
参考文献
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[8]陈传璋.数学分析第二版[M].北京：高等教育出版社，2007:125-134.
致谢
本文得以顺利完成,非常感谢我的指导教师***老师.从论文的选题直到论文的最终完成,他都给予我尽心尽力的指导.***严谨的治学态度深深地影响着我,对我今后的学习,工作,生活必将产生影响.借此机会,特向孙老师表示最诚挚的感谢.
感谢***的所有领导和老师.他们严谨的学风,渊博的知识,诲人不倦的品格一直感染和激励着我不断上进,使我大学四年的时光充实而有意义,“海纳百川,取则行远”,在这里我所学到的一切,必将使我受益终生.
在本论文的写作中,我也参照了大量的著作和文章,许多学者的科研成果及写作思路给了我很大的启发,在此向这些学者们表示由衷的感谢,感谢我的家人,同学,朋友对我的大力支持,他们的无私奉献,关爱和支持使我能够继续去追求自己的人生理想和目标.感谢所有关心,帮助和支持我的人.。