高考数学理一轮总复习必修部分开卷速查63二项式定理(含解析)新人教A版

开卷速查(六十三) 二项式定理
A 级 基础巩固练
1．设(1＋x)n
＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n
，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大项是( )
A ．15x 2
B ．20x 3
C ．21x 3
D ．35x 3
解析：令x ＝0，得a 0＝1，再令x ＝1，得2n
＝64，∴n＝6，故展开式中系数最大项是T 4
＝C 36x 3
＝20x 3
.
答案：B
2．已知二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n
中x 2
项的系数为( )
A ．－19
B ．19
C ．20
D ．－20
解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式T r ＋1＝C r n (x)n －r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13x r ＝C r
n x n 2－5r 6，由题意知n 2－5×36
＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2
项的系数为C 2
2＋C 2
3＋C 2
4＋C 2
5＝1＋3＋6＋10＝20.
答案：C
3．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012
＋a 能被13整除，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．11
D ．12
解析：512 012
＋a ＝a ＋(1－13×4)
2 012
＝a ＋1－C 12 01213×4＋C 22 012(13×4)2＋…＋C 2 012
2 012
(13×4)
2 012
，又51
2 012
＋a 能被13整除，又∵0≤a ＜13，
∴a ＋1＝13，故a ＝12. 答案：D 4．若(1－2x )2 014
＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x
2 013
＋a 2 014x
2 014
(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 014
2
2 014的
值为( )
A ．2
B ．0
C ．－1
D ．－2
解析：令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝1
2，
则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 014
2
2 014＝0，
∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 014
22 014＝－1，故选C. 答案：C
5．若(x ＋2＋m )9
＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2
＋…＋a 9(x ＋1)9
，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2
－(a 1
＋a 3＋…＋a 9)2
＝39
，则实数m 的值为( )
A ．1或－3
B ．－1或3
C ．1
D ．－3
解析：令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9
，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9
，所以有(2＋m )9m 9
＝39
，即m 2
＋2m ＝3，解得m ＝1或－3，故选A.
答案：A
6．设a ＝⎠
⎛1
2(3x 2
－2x)d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( )
A ．－1 280x 3
B ．－1 280
C ．240
D ．－240
解析：由微积分基本定理知a ＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2－1x 6展开式中的第4项为T 3＋1＝C 36(4x 2)3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－1 280x 3
，故选A .
答案：A
7．[2014·课标全国Ⅰ](x－y)(x ＋y)8
的展开式中x 2y 7
的系数为__________．(用数字填写答案)
解析：(x ＋y)8
中，T r ＋1＝C r 8x 8－r y r
，令r ＝7，再令r ＝6，得x 2y 7的系数为C 7
8－C 68＝8－
28＝－20.
答案：－20
8．[2014·课标全国Ⅱ](x＋a)10
的展开式中，x 7
的系数为15，则a ＝__________.(用数字填写答案)
解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r
，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7
，
则C 310a 3
＝15，故a ＝12
.
答案：12
9．若将函数f(x)＝x 5
表示为f(x)＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2
＋…＋a 5(1＋x)5
，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________.
解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5
＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2
＋a 3t 3
＋a 4t 4
＋a 5t 5
，则a 3＝C 2
5(－1)2
＝10.
答案：10
10．已知(a 2
＋1)n
展开式中的各项系数之和等于⎝
⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a
2
＋1)n
的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．
解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r
·⎝
⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1655－r C r 5x 20－5r
2
，令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 4
5×165
＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n
，由题意得2n
＝16，∴n＝4.
∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2
＝54，解得a ＝ 3.
B 级 能力提升练
11．[2014·浙江]在(1＋x)6
(1＋y)4
的展开式中，记x m y n
项的系数为f(m ，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
A ．45
B ．60
C ．120
D ．210
解析：由题意知f(3,0)＝C 36C 0
4，f(2,1)＝C 26C 1
4，f(1,2)＝C 16C 2
4，f(0,3)＝C 06C 3
4，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝120，选C .
答案：C
12．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x ＜0，－x ，x≥0，则当x ＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数
项为( )
A ．－20
B ．20
C ．－15
D ．15
解析：当x ＞0时，f(x)＝－x ＜0，则
f[f(x)]＝⎝
⎛
⎭⎪⎫－x ＋
1x 6＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6
. T r ＋1＝C r 6(x)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 6－r 2 ·x －
r
2 ＝(－1)r C r 6x 3－r
.令3－r ＝0，得r ＝3，
此时T 4＝(－1)3C 3
6＝－20.
答案：A
13．已知⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋124x n 的展开式中，前三项系数成等差数列． (1)求n ；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．
解析：(1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2
n 成等差数列．
∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2
－9n ＋8＝0.
∴n＝8或n ＝1(舍)．
(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 41x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 8·x 4－3
4r ，r ＝
0,1， (8)
∴第三项的二项式系数为C 2
8＝28.
第三项系数为⎝ ⎛⎭
⎪⎫122·C 2
8＝7.
(3)令4－3
4r ＝1，得r ＝4，
∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358.
14．若某一等差数列的首项为C 11－2n
5n
－A 2n －2
11－3n ，公差为⎝
⎛⎭
⎪⎫52x －253x 2m
的展开式中的常数项，其中m 是7777
－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．
解析：设该等差数列为{a n }，公差为d ，前n 项和为S n .
由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
11－2n≤5n，
2n －2≤11－3n ，
又n ∈N *
，∴n ＝2. ∴C 11－2n
5n
－A 2n －211－3n ＝C 710－A 2
5
＝C 310－A 2
5＝10×9×83×2－5×4
＝100， ∴a 1＝100.
∵7777
－15＝(76＋1)77
－15
＝7677
＋C 1
77·7676
＋…＋C 76
77·76＋1－15 ＝76(7676
＋C 1
77·7675
＋…＋C 76
77)－14 ＝76M －14(M ∈N *
)，
∴7777
－15除以19的余数是5，即m ＝5.
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2m 的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－253x 2r ＝(－1)r C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫525－2r
x 5
3r －5r
(r ＝0,1,2,3,4,5)，
令5
3
r －5＝0，得r ＝3，代入上式，得T 4＝－4，即d ＝－4， 从而等差数列的通项公式是a n ＝100＋(n －1)×(－4)＝104－4n .
设其前k 项之和最大，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
104－4k ≥0，
104－4k ＋1≤0，
解得k ＝25或k ＝26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，
S 25＝S 26＝a 1＋a 252
×25＝100＋104－4×25
2
×25＝1 300.。