江苏省海安市2021-2022学年高三上学期学业质量监测(期末)数学试卷

2021~2022学年度第一学期学业质量监测
高三数学注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卷交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。

4．作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i(i 为虚数单位)，则z ＝
A ．－12＋52i
B ．12＋52i
C ．12－52
i D ．－12－52i 2．设集合A ，B 均为U 的子集，如图，
表示区域
A ．Ⅰ
B ．II
C ．III
D ．IV
3．某校高三年级的700名学生中，男生有385名，女生有315名．从中抽取一个容量为60的样本，则抽取男生和女生的人数分别为
A ．31，29
B ．32，28
C ．33，27
D ．34，26
4．通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h km(轨道高度是指卫星到地球表
面的距离)．将地球看作是一个球(球心为O ，半径为r km)，地球上一点
A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点
A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线(仰
角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角)，若点A 的纬度为北纬30°，
则tan θ＝
A ．3－2r r ＋h
B ．3＋2r r ＋h
C ．3－2h
r ＋h D ．3＋2h
r ＋h 5．(1＋2x
2)(1＋x )6展开式中x 3的系数为A ．26B ．32C ．46D ．50
6．设数列{a n }为等比数列，若a 2＋a 3＋a 4＝2，a 3＋a 4＋a 5＝4，则数列{a n }的前6项和为
A ．18
B ．16
C ．9
D ．7
7．函数f (x )＝cos(ωx ＋π6
)的部分图象如图，则下列选项中是其一条
对称轴的是A ．x ＝7π24B ．x ＝
3π8C ．x ＝5π12D ．x ＝11π248．已知a ln2＋2ln a ＝0，b ln3＋3ln b ＝0，c ln x ＋x ln c ＝0，则
A ．c ＜a ＜b
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列函数在区间(0，1)上单调递增的是
A ．y ＝(x －1)2
B ．y ＝1
1－x C ．y ＝1－|x －1|D ．y ＝2－|x |
10．设α，β为两个平面，下列是“α∥β”的充分条件是
A ．α，β与平面γ都垂直
B ．α内有两条相交直线与平面β均无交点
C ．异面直线a ，b 满足a ∥α，b ∥β
D ．α内有5个点(任意三点不共线)到β的距离相等
11．关于直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ：x 2＋y 2＝4，下列说法正确的是
A ．若l 与圆C 相切，则m 2－4k 为定值
B ．若m 2－k 2＝1，则l 被圆
C 截得的弦长为定值
C ．若l 与圆C 有公共点，则－2≤m ≤2
D ．若k ＝m ＋1，则l 与圆C 相交
12．一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关系，则称这次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得分为ξ，则
A ．抛掷一次，“漂亮”的概率为112
B ．ξ＝2时，“漂亮”的次数必为8
C ．E (ξ)＝－10
D ．D (ξ)＝2003
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－1)，试写一个非零向量c ＝，使得a ·c ＝b ·c ．
14．若椭圆x 2＋y 2cos θ＝1(0＜θ＜π2)的焦距为2，则该椭圆的离心率为．
15．已知函数f (x )
＋1，x ≤0，
－1)2，x ＞0．若f (a )＝f (b )，则|a －b |的最大值为
．16．如图，ABCD 是一块直角梯形加热片，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ＝4dm ．现将△BCD 沿BD 折起，成为二面角A －BD －C 是90°的加热零件，则AC 间的距离是dm ；为了安全，把该零件放进一个球形防护罩，则球形防护罩的表面积的最小值是
dm 2．
(所有器件厚度忽略不计)
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知数列{a n }满足2a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，且a 1＝1，a 2＝－1．
(1)请你在①，②中选择一个证明：
①若b n ＝a n －a n ＋1，则{b n }是等比数列；
②若b n ＝2a n ＋a n ＋1，则{b n }是等差数列．
注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．
(2)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ．
A B
C D
在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝6－2，CD＝13．
(1)求∠ACB的大小；
(2)求四边形ABCD的面积．
19．(本小题满分12分)
如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一点，DC垂直于圆O所在的平面，DC ∥EB，DC＝2EB＝2，AB＝4．
(1)求证：平面ACD⊥平面EBCD；
(2)若∠ABC＝30°，求平面ADE与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．
为保护生态环境，减少污染物排放，某厂用“循环吸附降污法”减少污水中有害物，每次吸附后污水中有害物含量y (单位：mg/L)与吸附前的含量x (单位：mg/L)有关，该有害物的排放标准是不超过4mg/L ．现有一批污水，其中该有害物含量为2710mg/L ，5次循环吸附降污过程中的监测数据如下表：第1次
第2次第3次第4次第5次吸附前的含量x mg/L
27108802909030吸附后的含量x mg/L 880290903010
(1)已知y 关于x 的经验回归方程为ŷ＝0.325x ＋．请你预测首次达到排放标准时有害物的含量；
(2)视(1)中所求的预测含量为实际排放含量，排放前，取n 份处理后的污水样品检测该有害
物的含量．已知检测结果的误差z n ~N (0，1n
)(z n 单位：mg)，至少要取多少份样品检测，才能确保检测结果符合排放标准的概率不小于0.9987．
附：若X ~N (μ，σ2)，则P (|X －μ|≤3σ)≈0.9974)．
21．(本小题满分12分)
已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线互相垂直，且过点D (2，1)．(1)求双曲线C 的方程；
(2)设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q (异于点P )，且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于M ，N (M ，N 不在坐标轴上)两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．
已知函数f(x)＝e x－a x(a∈R)．
(1)若f(x)是单调增函数，求a的取值范围；
(2)若x1，x2是函数f(x)的两个不同的零点，求证：1＜x1＋x2＜2ln a－ln2．。