数学北师大版必修2课件：第一章1.1简单旋转体 (35张)
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•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 10:42:08 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
2．例题导读 P4知识点二“圆柱、圆锥、圆台”．通过该知识点的学习,了 解圆柱、圆锥、圆台的概念及其结构，需要注意的是圆台也 可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．
1．旋转体 (1)概念：一条__平__面__曲__线___绕着它所在的平面内的一条定直线 旋转所形成的____曲__面_____叫作旋转面；____封__闭_____的旋转面
的面积．
解：(1)作出圆锥轴截面如图所示，
由题知SO1∶SO＝1∶3， 所以O1B∶OA＝1∶3. 所以S⊙O1∶S⊙O＝1∶9. (2)球的截面如图，设球的半径为R cm，
由题意知OB⊥AC，
且 AC＝24＝12 cm，AB＝8 cm，故 OA＝(R－8)cm， 2
在 Rt△OAC 中，有 OC2＝OA2＋AC2，
所围成的几何体 侧面：不垂直于旋转
叫作圆柱
轴的边旋转而成的 ____曲__面_____；
第一章 立体几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
2．下列命题中正确的个数是( B )
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；
②圆柱不是旋转体；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的；
④在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线是
圆柱的母线．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②错误；③正确；④错误．故选B.
3．用一个平面去截以下几何体，所得截面一定是圆面的是
[解] (1)如图为几何体的轴截面，设圆柱的底面 半径为 r cm，则2r＝6－6 x， 得 r＝6－3 x，3 分 所以 S＝－23x2＋4x.6 分 (2)S＝－23x2＋4x＝－23(x－3)2＋6， 10 分 所以当 x＝3 时，Smax＝6 cm2.12 分
[规范与警示] 处利用相似三角形确定圆柱底面半径和高是 解题的关键点．
围成的几何体叫作旋转体．
(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．
2．球 (1)概念： 以半圆的____直__径_____所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形 成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作____球__体_____， 简称球．半圆的____圆__心_____叫作球心，如图中的O.连接球心 和球面上任意一点的线段叫作球的半径，如图中的OA，OE 等．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径，如图
(C ) A．圆柱
B．圆锥
C．球
D．圆台
4．给出下列命题：
①球的半径是球面上任意一点与球心连成的线段；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．
正确命题的序号是_____①___．
解析：连接球心和球面上任意一点的线段，叫球的半径，显 然①正确；球面上的两点连线经过球心时，这条线段才是球 的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一 个面而不是一条曲线，所以③错误；④中的点的集合是一个 球面，而不是一个球体，所以④错误．
1．剖析圆柱的结构特征 (1)圆柱的底面是圆面而不是圆，且两个底面互相平行． (2)圆柱的任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意 两条母线相互平行且相等． (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面 是全等的矩形．
2．剖析圆锥的结构特征 (1)底面是圆面． (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点． (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面 是全等的等腰三角形． 3．剖析圆台的结构特征 (1)圆台的上、下底面互相平行且是不等的圆面． (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点． (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的 截面是全等的等腰梯形． 4．剖析球的结构特征 球是旋转体，球面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空 间组成的几何体．
在 Rt△SA′O′中，SAr′＝sin 30°，
则 SA′＝2r.
在
Rt△SAO
中，2r ＝ SA
sin
30°，则
SA＝4r，有
SA－SA′＝AA′，
即 4r－2r＝2a，r＝a，
所以圆台的上、下底面半径分别为 a，2a.
在本例条件不变的前提下，试求圆台的高． 解：过 A′作 A′B⊥AO 于 B，则在 Rt△A′BA 中，
图形表示
名
定义
相关概念
称
以_直__角__梯__形__垂__直__ _于__底__边__的__腰___所在
母线：无论 转到什么位
圆 的直线为旋转轴，
置，这条边
台 其余各边旋转而形
都叫作侧面
成的曲面所围成的
的母线
几何体叫作圆台
图形表示
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何 体是圆柱．( √ ) (2)直角三角形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成 的几何体是圆锥．( × ) (3)直角梯形绕其腰所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体是圆台．( × ) (4)圆以一条直径所在的直线为轴，旋转180°围成的几何体是 球．( √ )
中的BC，EF等． (2)球的表示：用表示球心的字母表示球， 如图中的球体表示为球O.
3．圆柱、圆锥、圆台的比较
名 称
定义
相关概念
图形表示
高：在旋转轴上这条
以_矩__形__的__一__边__所 边的长度；
在的直线为旋转 底面：垂直于旋转轴
圆 轴，其余各边旋 的边旋转而成的
柱 转而形成的曲面 ____圆__面_____；
即 R2＝(R－8)2＋122，
得 R＝13.故填 13 cm.
(3)设圆柱的底面半径为 r，则 2πr＝a，r＝ a ，故轴截面的长 2π
为
a，宽为a
，面积为a
·a＝
a2 .
π
ππ
规范解答
旋转体中的计算问题
(本题满分12分)一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm, 在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱． (1)用x表示圆柱的轴截面面积S； (2)当x为何值时，S最大？
如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围 成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个 圆锥．
旋转体中有关元素的计算问题
圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底 面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径分别为 ___a_____、___2_a____. [解析]不妨设圆台上底面半径为r，下底面半径为2r，如图作 出圆台的轴截面，并延长母线交于S，∠ASO＝30°
[解] (1)正确．由于等腰直角三角形的两条直角边相等，所 以分别绕两条直角边旋转得到的两个圆锥的底面大小及母线 长度、高等都相等，所以是两个相同的圆锥． (2)错误．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个 圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不 能得到一个圆锥和一个圆台． (3)正确．由球的定义易知该说法正确． (4)正确．由圆锥母线的定义知，圆锥顶点与底面圆周上任意 一点的连线都是母线．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
[方法归纳] 圆柱、圆锥、圆台、球的简单性质如下表所示：
圆柱
两底面平行且
底面 半径相等的圆
面
侧面展开 图
矩形
母线 平行且相等
平行于底 与两底面半径 面的截面 相等的圆面
轴截面
矩形
圆锥 圆面
圆台
两底面平行且 半径不相等的 圆面
扇形
扇环
相交于顶点
延长线交于一 点
与底面半径 不相等的圆 面
与两底面半径 不相等的圆面
处求 S 最大值时容等腰梯形
球 无 不可展 开 无
无 圆面
1.(1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成 的( B )
这个几何体由上到下可分为3部分，分别是圆锥、圆台、圆 柱，故选B.
(2)以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周而形成的旋转体是 ___圆__台___． 等腰梯形的对称轴为两底中点的连线所在的直线，此线把等腰 梯形分成两个全等的直角梯形，旋转后形成圆台．故填圆台. (3)一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周 所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转 180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？ 如图①和②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体 是圆锥． 如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同 底相对的圆锥．
栏目 导引
名 称
定义
相关概念
圆 锥
以直角三角形的 __一__条__直__角__边___ 所在的直线为旋 转轴，其余各边 旋转而形成的曲 面所围成的几何 体叫作圆锥
高：在旋转轴上这 条边的长度；
底面：垂直于旋转
轴的边旋转而成的 ____圆__面_____； 侧面：不垂直于旋 转轴的边旋转而成 的__曲__面_______；
第一章 立体几何初步
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体
1．问题导航 (1)连接圆柱(圆台)两底面的圆心的连线与其底面有怎样的位 置关系？ (2)有同学说：“直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周所 形成的几何体是圆锥．”这种说法对吗？ (3)圆台中，上底面半径r、下底面半径R、高h与母线l之间有 怎样的关系？
2．(1)点 O1 为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点，过 O1 与底
面平行的截面面积是底面面积的( D )
A.1
B.2
3
3
C.1
D.1
4
9
(2)湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个
直径为 24 cm，深为 8 cm 的空穴，则球的半径为_1_3__c_m___．
(3)将一个边长为 a 的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面
旋转体的概念及其结构特征
判断下列说法是否正确，请说明理由： (1)一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一 周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥； (2)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； (3)球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周 形成的旋转体； (4)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．
A′A＝2a，由例题解析中结论可知： AB＝2a－a＝a，解得 A′B＝ 4a2－a2 ＝ 3a，即圆台的高是 3 a.
[方法归纳] 轴截面在计算中的应用 (1)明确旋转体边角的关系，画出其轴截面，实现立体几何中 “化立体为平面”的转化思想． (2)对于与旋转体有关的组合体的问题，也常常借助于轴截面 来解决． (3)画轴截面时，要尽可能体现边与角的关系，使交点尽可能 出现在边界上．
2．例题导读 P4知识点二“圆柱、圆锥、圆台”．通过该知识点的学习,了 解圆柱、圆锥、圆台的概念及其结构，需要注意的是圆台也 可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．
1．旋转体 (1)概念：一条__平__面__曲__线___绕着它所在的平面内的一条定直线 旋转所形成的____曲__面_____叫作旋转面；____封__闭_____的旋转面
的面积．
解：(1)作出圆锥轴截面如图所示，
由题知SO1∶SO＝1∶3， 所以O1B∶OA＝1∶3. 所以S⊙O1∶S⊙O＝1∶9. (2)球的截面如图，设球的半径为R cm，
由题意知OB⊥AC，
且 AC＝24＝12 cm，AB＝8 cm，故 OA＝(R－8)cm， 2
在 Rt△OAC 中，有 OC2＝OA2＋AC2，
所围成的几何体 侧面：不垂直于旋转
叫作圆柱
轴的边旋转而成的 ____曲__面_____；
第一章 立体几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
2．下列命题中正确的个数是( B )
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面；
②圆柱不是旋转体；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的；
④在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线是
圆柱的母线．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②错误；③正确；④错误．故选B.
3．用一个平面去截以下几何体，所得截面一定是圆面的是
[解] (1)如图为几何体的轴截面，设圆柱的底面 半径为 r cm，则2r＝6－6 x， 得 r＝6－3 x，3 分 所以 S＝－23x2＋4x.6 分 (2)S＝－23x2＋4x＝－23(x－3)2＋6， 10 分 所以当 x＝3 时，Smax＝6 cm2.12 分
[规范与警示] 处利用相似三角形确定圆柱底面半径和高是 解题的关键点．
围成的几何体叫作旋转体．
(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．
2．球 (1)概念： 以半圆的____直__径_____所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形 成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作____球__体_____， 简称球．半圆的____圆__心_____叫作球心，如图中的O.连接球心 和球面上任意一点的线段叫作球的半径，如图中的OA，OE 等．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径，如图
(C ) A．圆柱
B．圆锥
C．球
D．圆台
4．给出下列命题：
①球的半径是球面上任意一点与球心连成的线段；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．
正确命题的序号是_____①___．
解析：连接球心和球面上任意一点的线段，叫球的半径，显 然①正确；球面上的两点连线经过球心时，这条线段才是球 的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一 个面而不是一条曲线，所以③错误；④中的点的集合是一个 球面，而不是一个球体，所以④错误．
1．剖析圆柱的结构特征 (1)圆柱的底面是圆面而不是圆，且两个底面互相平行． (2)圆柱的任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意 两条母线相互平行且相等． (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面 是全等的矩形．
2．剖析圆锥的结构特征 (1)底面是圆面． (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点． (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面 是全等的等腰三角形． 3．剖析圆台的结构特征 (1)圆台的上、下底面互相平行且是不等的圆面． (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点． (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的 截面是全等的等腰梯形． 4．剖析球的结构特征 球是旋转体，球面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空 间组成的几何体．
在 Rt△SA′O′中，SAr′＝sin 30°，
则 SA′＝2r.
在
Rt△SAO
中，2r ＝ SA
sin
30°，则
SA＝4r，有
SA－SA′＝AA′，
即 4r－2r＝2a，r＝a，
所以圆台的上、下底面半径分别为 a，2a.
在本例条件不变的前提下，试求圆台的高． 解：过 A′作 A′B⊥AO 于 B，则在 Rt△A′BA 中，
图形表示
名
定义
相关概念
称
以_直__角__梯__形__垂__直__ _于__底__边__的__腰___所在
母线：无论 转到什么位
圆 的直线为旋转轴，
置，这条边
台 其余各边旋转而形
都叫作侧面
成的曲面所围成的
的母线
几何体叫作圆台
图形表示
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何 体是圆柱．( √ ) (2)直角三角形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成 的几何体是圆锥．( × ) (3)直角梯形绕其腰所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体是圆台．( × ) (4)圆以一条直径所在的直线为轴，旋转180°围成的几何体是 球．( √ )
中的BC，EF等． (2)球的表示：用表示球心的字母表示球， 如图中的球体表示为球O.
3．圆柱、圆锥、圆台的比较
名 称
定义
相关概念
图形表示
高：在旋转轴上这条
以_矩__形__的__一__边__所 边的长度；
在的直线为旋转 底面：垂直于旋转轴
圆 轴，其余各边旋 的边旋转而成的
柱 转而形成的曲面 ____圆__面_____；
即 R2＝(R－8)2＋122，
得 R＝13.故填 13 cm.
(3)设圆柱的底面半径为 r，则 2πr＝a，r＝ a ，故轴截面的长 2π
为
a，宽为a
，面积为a
·a＝
a2 .
π
ππ
规范解答
旋转体中的计算问题
(本题满分12分)一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm, 在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱． (1)用x表示圆柱的轴截面面积S； (2)当x为何值时，S最大？
如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围 成的几何体是两个半圆锥，旋转360°围成的几何体是一个 圆锥．
旋转体中有关元素的计算问题
圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底 面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径分别为 ___a_____、___2_a____. [解析]不妨设圆台上底面半径为r，下底面半径为2r，如图作 出圆台的轴截面，并延长母线交于S，∠ASO＝30°
[解] (1)正确．由于等腰直角三角形的两条直角边相等，所 以分别绕两条直角边旋转得到的两个圆锥的底面大小及母线 长度、高等都相等，所以是两个相同的圆锥． (2)错误．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个 圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不 能得到一个圆锥和一个圆台． (3)正确．由球的定义易知该说法正确． (4)正确．由圆锥母线的定义知，圆锥顶点与底面圆周上任意 一点的连线都是母线．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
[方法归纳] 圆柱、圆锥、圆台、球的简单性质如下表所示：
圆柱
两底面平行且
底面 半径相等的圆
面
侧面展开 图
矩形
母线 平行且相等
平行于底 与两底面半径 面的截面 相等的圆面
轴截面
矩形
圆锥 圆面
圆台
两底面平行且 半径不相等的 圆面
扇形
扇环
相交于顶点
延长线交于一 点
与底面半径 不相等的圆 面
与两底面半径 不相等的圆面
处求 S 最大值时容等腰梯形
球 无 不可展 开 无
无 圆面
1.(1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成 的( B )
这个几何体由上到下可分为3部分，分别是圆锥、圆台、圆 柱，故选B.
(2)以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周而形成的旋转体是 ___圆__台___． 等腰梯形的对称轴为两底中点的连线所在的直线，此线把等腰 梯形分成两个全等的直角梯形，旋转后形成圆台．故填圆台. (3)一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周 所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转 180°得到什么几何体？旋转360°又得到什么几何体？ 如图①和②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体 是圆锥． 如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同 底相对的圆锥．
栏目 导引
名 称
定义
相关概念
圆 锥
以直角三角形的 __一__条__直__角__边___ 所在的直线为旋 转轴，其余各边 旋转而形成的曲 面所围成的几何 体叫作圆锥
高：在旋转轴上这 条边的长度；
底面：垂直于旋转
轴的边旋转而成的 ____圆__面_____； 侧面：不垂直于旋 转轴的边旋转而成 的__曲__面_______；
第一章 立体几何初步
第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体
1．问题导航 (1)连接圆柱(圆台)两底面的圆心的连线与其底面有怎样的位 置关系？ (2)有同学说：“直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周所 形成的几何体是圆锥．”这种说法对吗？ (3)圆台中，上底面半径r、下底面半径R、高h与母线l之间有 怎样的关系？
2．(1)点 O1 为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点，过 O1 与底
面平行的截面面积是底面面积的( D )
A.1
B.2
3
3
C.1
D.1
4
9
(2)湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个
直径为 24 cm，深为 8 cm 的空穴，则球的半径为_1_3__c_m___．
(3)将一个边长为 a 的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面
旋转体的概念及其结构特征
判断下列说法是否正确，请说明理由： (1)一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一 周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥； (2)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； (3)球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周 形成的旋转体； (4)圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．
A′A＝2a，由例题解析中结论可知： AB＝2a－a＝a，解得 A′B＝ 4a2－a2 ＝ 3a，即圆台的高是 3 a.
[方法归纳] 轴截面在计算中的应用 (1)明确旋转体边角的关系，画出其轴截面，实现立体几何中 “化立体为平面”的转化思想． (2)对于与旋转体有关的组合体的问题，也常常借助于轴截面 来解决． (3)画轴截面时，要尽可能体现边与角的关系，使交点尽可能 出现在边界上．