数学命题的认识及其教学
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是培养人的事业，有责任发展学生的认识观念，要有意识地 引导学生构建或大或小的命题系统。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（2）从形式逻辑的层面看
数学命题是表示数学对象性质或关系的判断语句，表达
论域中有多少对象具有或不具有某种性质或关系。命题可以 参与逻辑运算，由公理出发可以得到一系列命题.
生展开充分的联想，从碧波万顷的湖面意象中体味平面三公
理所描述的平面的“平”“滑”“无限延展性”，但是绝不 是让学生“发现”此类命题。
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又如，由于负数的超验性，有理数乘法的“负负得正”
法则一直不易为学生接受。虽然在整数环公理系统中，可以
严格证明该法则，但在数学教学设计中，只能用一些恰当的 模型建立一种和谐的模式直观，以解释该法则的合理性，而 不是创设情境，发现了命题。
把握数学的思想。许多数学定理是人类精神文明的共同瑰宝
，凸显了数学的人文性。如，勾股定理是东西方数学文化的 一朵奇葩，其历史意义、文化意义早已超出了定理本身。
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（2）从形式逻辑的层面看
从形式逻辑的层面思考命题，就要把其置于系统中，在其
中认识内蕴的关系。我们总是在系统中考虑命题，离开了系
例如，三角变换公式按一定的线索组织起来，使学生明白 “数学用以简化问题的等价变换”思想，则对公式及其间蕴
含的关系、思想方法的认识就有了实质性的深入。
建构认知图式整体把握数学内容的最终目标应在于此。
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（3）从教育心理学的角度看
数学有一套提出问题和解决问题的方法，在这个过程中 产生了众多的概念和命题。但不能孤立地学习一个又一个的
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
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1 2 4 3 4
引言
数学命题的认识
数学命题的教学设计 结语
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
1、引言
概念是数学思维方式建构或转变的基石，核心概
念更是数学教学的重大关切。然而，只有概念并没有什
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（3）从教育心理学的角度看
命题学习还可以是发现式的，那就是命题的形成。在命 题的学习中，要尽量减少并列结合学习，尽可能地使命题形
成串联状链，先行命题为后续命题的认知固着点，发现推理
关系的枢纽，从一个枢纽直接推出许多命题，解决大量问题
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故而，公理、定义性法则的教学设计就是要帮助学生在认知 结构中建立起一些自明之理、人为约定的合理性的心理意义 。根据弗赖登塔尔“现实数学教育”的观点，数学并非完全
是一个有着内在密切逻辑关联的形式系统，相反，每一个数
学命题都有其产生的现实背景。
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数学知识根植于一定的情境脉络之中，如，教师可以让学
（3）从教育心理学的角度看
强调理解，强调为数学命题“析理以辞，解体用图”是
学习心理规律的经验表现。长时记忆中的命题如果能编织成
网络状，形成一定的结构图式，有利于知识的有序检索和综 合融会贯通，这正是命题关联性特征的体现。
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（3）从教育心理学的角度看
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统，命题在其中的地位就会发生变化，甚或真假性发生变化
例如，祖暅原理在立体几何中处于公理的地位，不需证明， 只须承认，但在微积分中却降格成了定理。在欧氏几何中， 三角形内角和为180度是正确的，但在非欧几何中不再正确
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（2）从形式逻辑的层面看
虽然教科书没有明确指出命题赖以存在的系统，但教育教学
感受不同的数学文化。
重大而深刻概念的提出，可能开启了一个学科、一个新的研 究方向。如无穷小概念的提出就开辟了微积分这门伟大的学 科。而一门学科由童年走向成熟的重要标志之一就是一些重 要命题的发现、证明和应用。许多优秀成果以定理的形式记
载下来，推动着数学的发展。
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CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
提出问题、提出猜想、验证猜想、证明猜想、建模应用才是
一个完整的数学活动过程，因此，命题的教学设计可分为命
题发现的、证明的和运用的教学设计。
从历史、逻辑和心理的角度对命题进行深刻解读之后，可以 进行融合知识发生发展、逻辑取向和心理取向的教学设计实 践了。
题，是一种思想上的规定；定义性法则是对运算合理性的约
定。它们都是建立理论的逻辑前提，离开了它们，定理公式 将无法导出，无从谈起。
公理、定义性法则具有根本重要的地位，其基础性一般无须 置疑，只要切实体味其内在合理性就行了。
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例子：过直线外一点只能作一条平行直线，就被欧氏几何奉 为圭臬；当人们置疑这种规定时，就无意间闯进了非欧几何 的大门。
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（3）从教育心理学的角度看
教育心理学讨论了命题学习的条件、过程和心理表征。 根据奥苏伯尔有意义言语学习理论，命题的学习过程就是命
题的逻辑意义向个体心理意义转化的过程，以符号表征学习
和概念学习为前提，有下位类属学习、上位总括学习、并列 结合学习三种方式。这是命题学习的同化过程，是接受式的 。
（3）从教育心理学的角度看
例如，在三角变换的学习中，诱导公式与两角和与差的正、 余弦公式是两个并列的内容，是分开学习的。但根据同化学
习理论，有必要把诱导公式看成两角和与差正、余弦公式的
特例，以减少并列结合学习；也要把诱导公式看作两角和与 差正、余弦公式的认知固着点。两角和与差的正、余弦公式 其实是圆旋转任意角还依然对称的解析表达，是诱导公式的 推广。沟通公式了间的内在联系，个体的认知结构也发生了
概念、定理，而要把它们置于整体结构中学习。
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（3）从教育心理学的角度看
正如庞加莱指出的，数学是这样一个“实体”，它们之间的 元素和谐地配置，以致精神能毫无费力地包容它们的整体， 同时，又能认清细节。这种和谐同时是我们审美需要的满足
以及支持、指导我们思想的助手。而且，一个次序井然的整
也可根据认知的历史发生原理，借鉴命题的历史发生过
程，寻找合适的认知负荷路径，使命题出现的合理性和必要
性自然地同化到学生已有的认知结构中。
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还有一些命题的地位稍逊于公理和定义性法则，在对这些命
题进行教学设计时，要着眼于命题出现的必要性、必然性。
如，对与自然数有关的命题，仅仅考察事物的一部分，得到 的结论不一定可靠；对事物的每一部分逐一考察，得到的结 论可靠，但（有时）又做不到。怎样做到既操作可行，又结 论可靠？迫使人们从方法论上探索新归纳法。新归纳法既要
（1）从数学史的角度看
例如微分中值定理开辟了用导函数研究函数的方向， 是里程碑式的工作，一直主导着微分学的发展，但其表现形
式却经历了几何的、前分析的、分析的微分中值定理等多阶
段的演化和嬗变。
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（1）从数学史的角度看
又如哥德尔不完备性定理的提出是绝对主义数学观破灭的 标志，经验主义数学观从此复兴。
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2、数学命题的认识
可以从数学史的、形式逻辑的、教育心理学等角度认识命
题。从不同角度得到的见解，可以相互参照，有利于在比较
中选择适宜的教学决策。
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（1）从数学史的角度看
从数学史的角度看，将命题置于数学发生发展的大背景下， 有助于学生知晓数学的来龙去脉、数学思想的变迁，体会和
产这些知识的数学家的观念、思想和方法，这些都构成了境
域性的“心理场”。
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例子：初等数论的一些知识，在没有应用于密码之前，人们
没有看到其实际用途。在介绍同余方程时，可以创设这样的 逻辑境遇性情境：方程历来是数学中的好问题，那么，在整
数剩余类环中如何解方程？同余方程就是Fra bibliotek究此类问题的。
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（2）从形式逻辑的层面看
以至于逻辑主义、形式主义认为数学命题完全可以用一
般性的逻辑命题、形式命题来表达；
是否成立可以从形式，而不用特定情境下的具体解释确定 。但这些观点最终破灭了，因为数学是不能脱离情境的。数 学命题的真假性取决于数学本身和实践的双重检验。
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（2）从形式逻辑的层面看
这触及观念变化：数学有经验的来源，不可能存在绝对 的、脱离所有人经验的严密性概念，要保持数学理论同物理
学及其他自然科学中日益增长的复杂现象之间的联系；在教
学中，从情境中引出问题、命题， 并在实践中检验命题才 是完整的数学命题教学流程。
变化。
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（3）从教育心理学的角度看
认知负荷理论认为，教学目的是在人类的长时记忆中建 立知识。在长时记忆中，保持的不是命题本身而是命题表达
的意义，同时对命题进行言语和意象双重编码，有利于知识
的长时记忆。------多元表征
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这个深刻的定理昭示了数学观念及数学教育观念的变迁：
数学也可能犯错，不是一帆风顺地发展的；数学的生长，依 靠猜想、证明、批判、反驳，不断地改进结论和推理的过程 。
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（1）从数学史的角度看
学生的任务，不只是从外部欣赏数学家创造的现成理论， 接受它的意义，而是要理解和掌握数学，需要进入数学产生 和形成的内部动态过程，弄清它生长的动力、原因和方法，
么实际意义，也不能表达一个完整的思想。只有将概念
和概念按一定的规则联接起来，才能形成命题，表达一 个完整的思想。命题彩线串珠般把概念联接起来，共同
编织光辉灿烂的数学理论体系。深化对数学命题的认识，
加强对数学命题课堂教学设计的研究，不仅是数学概念 的认识及其课堂教学设计等研究的继续，也是数学教育
关注的核心问题之一。
从数学史的角度切入。数学不仅要讲推理，更要讲道理。对 于架构学科基本体系的命题更要把其中的“理趣”说清楚， 此处往往涉及初创某一学科体系的数学家的数学观、价值观 等观念系统，是挖掘数学教育价值之所在的源泉。
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⑵继发性命题的教学设计
继发性命题，要着眼于命题发生、发现的必然性。数学命题 是在问题解决过程中获得的最后成果，无论问题是源于生产 、生活实践，还是源于数学自身内部。因此，对数学知识境 遇性的理解就不能过于狭隘，数学知识的境遇性还可以表现 为由相关知识组成的体系，在这个体系背后，隐隐跃动着生
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3.1 命题发现的教学设计
⑴原发性命题的教学设计
原发性命题是建立某一学科知识体系不可缺少的命题，是最
基本的命题，如公理、定义性法则等。对原发性命题而言，
教学设计要着眼于命题出现的合理性、必要性。
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公理在演绎系统中不需证明，是判断其它命题真假的初始命
克服不完全归纳法得出的结论不可靠的缺陷，又要能克服完
全归纳法在涉及无限时的无奈，做到取两者之长，去两者之 短。这正是数学归纳法教学设计的关键所在。
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数学归纳法被视作原理，在教学设计时要把其中原本之理作 为关键教学事件看待。
如Fischbein等从心理的角度寻找学生的认知困难，也可
体摆在我们的双目之下，促使我们预见数学定律。”正如概 念教学一样，树立整体结构观，在一个体系中认识命题，是 命题教学所必须遵循的基本原则之一。
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3、数学命题的教学设计
问题和问题解决是教学设计的逻辑生长点。数学命题的 教学设计，应体现数学发生、发展的完整过程，而不是“掐 头-去尾-烧中段”；应表现数学逻辑推理之美，方法之美； 应有助于学生形成完整的认知图式，为学生的长远发展计。
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（2）从形式逻辑的层面看
数学命题是表示数学对象性质或关系的判断语句，表达
论域中有多少对象具有或不具有某种性质或关系。命题可以 参与逻辑运算，由公理出发可以得到一系列命题.
生展开充分的联想，从碧波万顷的湖面意象中体味平面三公
理所描述的平面的“平”“滑”“无限延展性”，但是绝不 是让学生“发现”此类命题。
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又如，由于负数的超验性，有理数乘法的“负负得正”
法则一直不易为学生接受。虽然在整数环公理系统中，可以
严格证明该法则，但在数学教学设计中，只能用一些恰当的 模型建立一种和谐的模式直观，以解释该法则的合理性，而 不是创设情境，发现了命题。
把握数学的思想。许多数学定理是人类精神文明的共同瑰宝
，凸显了数学的人文性。如，勾股定理是东西方数学文化的 一朵奇葩，其历史意义、文化意义早已超出了定理本身。
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（2）从形式逻辑的层面看
从形式逻辑的层面思考命题，就要把其置于系统中，在其
中认识内蕴的关系。我们总是在系统中考虑命题，离开了系
例如，三角变换公式按一定的线索组织起来，使学生明白 “数学用以简化问题的等价变换”思想，则对公式及其间蕴
含的关系、思想方法的认识就有了实质性的深入。
建构认知图式整体把握数学内容的最终目标应在于此。
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（3）从教育心理学的角度看
数学有一套提出问题和解决问题的方法，在这个过程中 产生了众多的概念和命题。但不能孤立地学习一个又一个的
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1 2 4 3 4
引言
数学命题的认识
数学命题的教学设计 结语
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1、引言
概念是数学思维方式建构或转变的基石，核心概
念更是数学教学的重大关切。然而，只有概念并没有什
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（3）从教育心理学的角度看
命题学习还可以是发现式的，那就是命题的形成。在命 题的学习中，要尽量减少并列结合学习，尽可能地使命题形
成串联状链，先行命题为后续命题的认知固着点，发现推理
关系的枢纽，从一个枢纽直接推出许多命题，解决大量问题
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故而，公理、定义性法则的教学设计就是要帮助学生在认知 结构中建立起一些自明之理、人为约定的合理性的心理意义 。根据弗赖登塔尔“现实数学教育”的观点，数学并非完全
是一个有着内在密切逻辑关联的形式系统，相反，每一个数
学命题都有其产生的现实背景。
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数学知识根植于一定的情境脉络之中，如，教师可以让学
（3）从教育心理学的角度看
强调理解，强调为数学命题“析理以辞，解体用图”是
学习心理规律的经验表现。长时记忆中的命题如果能编织成
网络状，形成一定的结构图式，有利于知识的有序检索和综 合融会贯通，这正是命题关联性特征的体现。
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（3）从教育心理学的角度看
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统，命题在其中的地位就会发生变化，甚或真假性发生变化
例如，祖暅原理在立体几何中处于公理的地位，不需证明， 只须承认，但在微积分中却降格成了定理。在欧氏几何中， 三角形内角和为180度是正确的，但在非欧几何中不再正确
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（2）从形式逻辑的层面看
虽然教科书没有明确指出命题赖以存在的系统，但教育教学
感受不同的数学文化。
重大而深刻概念的提出，可能开启了一个学科、一个新的研 究方向。如无穷小概念的提出就开辟了微积分这门伟大的学 科。而一门学科由童年走向成熟的重要标志之一就是一些重 要命题的发现、证明和应用。许多优秀成果以定理的形式记
载下来，推动着数学的发展。
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CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
提出问题、提出猜想、验证猜想、证明猜想、建模应用才是
一个完整的数学活动过程，因此，命题的教学设计可分为命
题发现的、证明的和运用的教学设计。
从历史、逻辑和心理的角度对命题进行深刻解读之后，可以 进行融合知识发生发展、逻辑取向和心理取向的教学设计实 践了。
题，是一种思想上的规定；定义性法则是对运算合理性的约
定。它们都是建立理论的逻辑前提，离开了它们，定理公式 将无法导出，无从谈起。
公理、定义性法则具有根本重要的地位，其基础性一般无须 置疑，只要切实体味其内在合理性就行了。
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例子：过直线外一点只能作一条平行直线，就被欧氏几何奉 为圭臬；当人们置疑这种规定时，就无意间闯进了非欧几何 的大门。
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（3）从教育心理学的角度看
教育心理学讨论了命题学习的条件、过程和心理表征。 根据奥苏伯尔有意义言语学习理论，命题的学习过程就是命
题的逻辑意义向个体心理意义转化的过程，以符号表征学习
和概念学习为前提，有下位类属学习、上位总括学习、并列 结合学习三种方式。这是命题学习的同化过程，是接受式的 。
（3）从教育心理学的角度看
例如，在三角变换的学习中，诱导公式与两角和与差的正、 余弦公式是两个并列的内容，是分开学习的。但根据同化学
习理论，有必要把诱导公式看成两角和与差正、余弦公式的
特例，以减少并列结合学习；也要把诱导公式看作两角和与 差正、余弦公式的认知固着点。两角和与差的正、余弦公式 其实是圆旋转任意角还依然对称的解析表达，是诱导公式的 推广。沟通公式了间的内在联系，个体的认知结构也发生了
概念、定理，而要把它们置于整体结构中学习。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（3）从教育心理学的角度看
正如庞加莱指出的，数学是这样一个“实体”，它们之间的 元素和谐地配置，以致精神能毫无费力地包容它们的整体， 同时，又能认清细节。这种和谐同时是我们审美需要的满足
以及支持、指导我们思想的助手。而且，一个次序井然的整
也可根据认知的历史发生原理，借鉴命题的历史发生过
程，寻找合适的认知负荷路径，使命题出现的合理性和必要
性自然地同化到学生已有的认知结构中。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
还有一些命题的地位稍逊于公理和定义性法则，在对这些命
题进行教学设计时，要着眼于命题出现的必要性、必然性。
如，对与自然数有关的命题，仅仅考察事物的一部分，得到 的结论不一定可靠；对事物的每一部分逐一考察，得到的结 论可靠，但（有时）又做不到。怎样做到既操作可行，又结 论可靠？迫使人们从方法论上探索新归纳法。新归纳法既要
（1）从数学史的角度看
例如微分中值定理开辟了用导函数研究函数的方向， 是里程碑式的工作，一直主导着微分学的发展，但其表现形
式却经历了几何的、前分析的、分析的微分中值定理等多阶
段的演化和嬗变。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（1）从数学史的角度看
又如哥德尔不完备性定理的提出是绝对主义数学观破灭的 标志，经验主义数学观从此复兴。
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2、数学命题的认识
可以从数学史的、形式逻辑的、教育心理学等角度认识命
题。从不同角度得到的见解，可以相互参照，有利于在比较
中选择适宜的教学决策。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（1）从数学史的角度看
从数学史的角度看，将命题置于数学发生发展的大背景下， 有助于学生知晓数学的来龙去脉、数学思想的变迁，体会和
产这些知识的数学家的观念、思想和方法，这些都构成了境
域性的“心理场”。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
例子：初等数论的一些知识，在没有应用于密码之前，人们
没有看到其实际用途。在介绍同余方程时，可以创设这样的 逻辑境遇性情境：方程历来是数学中的好问题，那么，在整
数剩余类环中如何解方程？同余方程就是Fra bibliotek究此类问题的。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（2）从形式逻辑的层面看
以至于逻辑主义、形式主义认为数学命题完全可以用一
般性的逻辑命题、形式命题来表达；
是否成立可以从形式，而不用特定情境下的具体解释确定 。但这些观点最终破灭了，因为数学是不能脱离情境的。数 学命题的真假性取决于数学本身和实践的双重检验。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（2）从形式逻辑的层面看
这触及观念变化：数学有经验的来源，不可能存在绝对 的、脱离所有人经验的严密性概念，要保持数学理论同物理
学及其他自然科学中日益增长的复杂现象之间的联系；在教
学中，从情境中引出问题、命题， 并在实践中检验命题才 是完整的数学命题教学流程。
变化。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（3）从教育心理学的角度看
认知负荷理论认为，教学目的是在人类的长时记忆中建 立知识。在长时记忆中，保持的不是命题本身而是命题表达
的意义，同时对命题进行言语和意象双重编码，有利于知识
的长时记忆。------多元表征
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
这个深刻的定理昭示了数学观念及数学教育观念的变迁：
数学也可能犯错，不是一帆风顺地发展的；数学的生长，依 靠猜想、证明、批判、反驳，不断地改进结论和推理的过程 。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
（1）从数学史的角度看
学生的任务，不只是从外部欣赏数学家创造的现成理论， 接受它的意义，而是要理解和掌握数学，需要进入数学产生 和形成的内部动态过程，弄清它生长的动力、原因和方法，
么实际意义，也不能表达一个完整的思想。只有将概念
和概念按一定的规则联接起来，才能形成命题，表达一 个完整的思想。命题彩线串珠般把概念联接起来，共同
编织光辉灿烂的数学理论体系。深化对数学命题的认识，
加强对数学命题课堂教学设计的研究，不仅是数学概念 的认识及其课堂教学设计等研究的继续，也是数学教育
关注的核心问题之一。
从数学史的角度切入。数学不仅要讲推理，更要讲道理。对 于架构学科基本体系的命题更要把其中的“理趣”说清楚， 此处往往涉及初创某一学科体系的数学家的数学观、价值观 等观念系统，是挖掘数学教育价值之所在的源泉。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
⑵继发性命题的教学设计
继发性命题，要着眼于命题发生、发现的必然性。数学命题 是在问题解决过程中获得的最后成果，无论问题是源于生产 、生活实践，还是源于数学自身内部。因此，对数学知识境 遇性的理解就不能过于狭隘，数学知识的境遇性还可以表现 为由相关知识组成的体系，在这个体系背后，隐隐跃动着生
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
3.1 命题发现的教学设计
⑴原发性命题的教学设计
原发性命题是建立某一学科知识体系不可缺少的命题，是最
基本的命题，如公理、定义性法则等。对原发性命题而言，
教学设计要着眼于命题出现的合理性、必要性。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
公理在演绎系统中不需证明，是判断其它命题真假的初始命
克服不完全归纳法得出的结论不可靠的缺陷，又要能克服完
全归纳法在涉及无限时的无奈，做到取两者之长，去两者之 短。这正是数学归纳法教学设计的关键所在。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
数学归纳法被视作原理，在教学设计时要把其中原本之理作 为关键教学事件看待。
如Fischbein等从心理的角度寻找学生的认知困难，也可
体摆在我们的双目之下，促使我们预见数学定律。”正如概 念教学一样，树立整体结构观，在一个体系中认识命题，是 命题教学所必须遵循的基本原则之一。
CAD/CAM软件应用 数学命题的认识及其教学
3、数学命题的教学设计
问题和问题解决是教学设计的逻辑生长点。数学命题的 教学设计，应体现数学发生、发展的完整过程，而不是“掐 头-去尾-烧中段”；应表现数学逻辑推理之美，方法之美； 应有助于学生形成完整的认知图式，为学生的长远发展计。