【全程复习方略】(福建专版)高考数学 第八章 第八节曲线与方程课件 理

则点P的轨迹方程是__________.
(2)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3,
则顶点A的轨迹方程为__________.
【解析】(1)由题意得 PA=(-2-x,-y),
PB =(-3-x,-y)，
所以 PA PB =(-2-x,-y)·(-3-x,-y), 又因为 PA PB =x2+1,
所以去掉点(4,0)和(16,0).
答案:(1)y2+5x+5=0
(2)(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0))
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直接法求轨迹方程
【方法点睛】
1.直接法
如动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而
得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.
2.运用直接法应注意的问题 (1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方 程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不 能忽视的. (2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.
第八节 曲线与方程
1.曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种
条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实
数解建立了如下的关系:
点在曲线上⇔点的坐标满足方程.即：
这个方程的解 ； (1)曲线上的点的坐标都是_____________
曲线上的点 (2)以这个方程的解为坐标的点都是___________.
2.圆锥曲线的离心率与准线 图形 离 心 率
c e=___ a
准线方程
a2 c x=______ a2 c x=______
< e__1
c e=___ a
> e__1
= e__1
p 2 x=____
3.圆锥曲线的统一定义
F 的距 任意给定常数e(e＞0)、点F和直线l(F l)，设动点P到__
2 2 2 1 3 ( 2 ,0),半径为 的圆. 2 1 | 1|
【反思·感悟】1.从两个题目的求解可以看出，求轨迹的方程， 其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程； 2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.
【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于 原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 ，求 动点P的轨迹方程. 【解析】因为点B与点A(-1，1)关于原点O对称， 所以点B的坐标为(1，-1)， 设点P的坐标为(x,y)， 由题意得 y 1 y 1 1 ,
离和到__ l 的距离之比等于e，则P的轨迹是圆锥曲线.其中F是这 焦点 ，l称为它的_____. 准线 条圆锥曲线的_____
椭圆 ，当e=1时是_______ 抛物线 ，当e＞1时是 当e＜1时，P的轨迹是_____
双曲线 _______.
4.求曲线方程的基本步骤
【即时应用】
(1)已知点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足 PA PB =x2+1，
方程的曲线 曲线的方程 ，曲线叫___________. 此时方程叫___________
【即时应用】 (1)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足 “曲线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲
线的方程吗？
提示:不一定是. 因为只满足“曲线上点的坐标都是这个方程
的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非
整个方程的曲线.
(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足
“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，那么该曲线 是这个方程的曲线吗？ 提示:不一定是. 因为只满足“以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非 整个曲线的方程.
(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是____________. 【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或 x+y-1=0，它们表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为两 条直线. 答案:两条直线
【例1】(1)已知点M、N为两个定点，|MN|=6,且动点P满足
PM PN =6，求点P的轨迹方程.
(2)已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆 C的切线长与|MQ|的比等于常数λ (λ ＞0)，求动点M的轨迹方程.
【解题指南】(1)先建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，
所以(-2-x,-y)·(-3-x,-y)=x2+1,
化简得：y2+5x+5=0.
(2)设点A(x,y)，因为B(0,0)， 所以AB的中点D( x , y ),
2 2
又C(5,0),|CD|=3，所以 (5 x )2 (0 y ) 2 3,
2 2
化简得：(x-10)2+y2=36. 又∵△ABC中的三点A、B、C不能共线，
依据 PM PN =6得出轨迹方程；
(2)可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与|MQ|的比
等于常数λ(λ＞0)即可得出方程.
【规范解答】(1)以点M、N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标
原点，建立平面直角坐标系，则M(-3,0)、N(3,0),设P(x,y)， 则 PM =(-3-x,-y)， PN =(3-x,-y), PM PN =(-3-x,-y)· (3-x,-y)， 又因为 PM PN =6, 所以(-3-x,-y)·(3-x,-y)=6， 化简整理得：x2+y2=15.
(2)设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为： P={M||MN|=λ|MQ|}，因为圆C的半径|CN|=1, 所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1， 设点M的坐标为M(x,y)，则
x 2 y2 1
化简整理得：
x 2
2
y 2，
(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ＞0).
【互动探究】本例(2)中的条件不变，求动点M的轨迹.
【解析】由例题解析可知：曲线的方程为：
(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0， 因为λ＞0,所以当λ=1时，方程化为4x-5=0,它表示一条直线；
2 2 2 1 3 2 2 当λ≠1时，方程化为： 它表示圆心为 (x 2 ) y 2 ， 2 1 ( 1)