新课标高中数学公式大全

高中数学公式与知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么
],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间可导，假设0)(>'x f ，那么)(x f 为增函数；假设0)(<'x f ，那么)
(x f 为减函数.
、函数的奇偶性
对于定义域任意的x ，都有)()(x f x f =-，那么)(x f 是偶函数； 对于定义域任意的x ，都有)()(x f x f -=-，那么)(x f 是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数
①'
C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；
⑤a a a x x ln )('=；⑥x
x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '
=
；⑧x
x 1)(ln '
= 5、导数的运算法那么
〔1〕'
'
'
()u v u v ±=±. 〔2〕'
'
'
()uv u v uv =+. 〔3〕''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的根本关系式
22sin cos 1θθ+=，tan θ=
θ
θ
cos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式
απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；
απ
π±+
2
k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。

10、和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=.
11、二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
22tan tan 21tan α
αα
=-.
公式变形： ;
2
2cos 1sin ,2cos 1sin 2;
2
2cos 1cos ,2cos 1cos 22222α
αααα
ααα-=-=+=+=
12、三角函数的周期
函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 与函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期
2T π
ω
=
；函数tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω
=
. 13、 函数sin()y x ωϕ=+的周期、最值、单调区间、图象变换
14、辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中a
b =
ϕtan 15、正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===. 16、余弦定理
2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.
17、三角形面积公式
111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B =
==. 18、三角形角和定理
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+ 19、a 与b 的数量积(或积)
θcos ||||b a b a ⋅=⋅
20、平面向量的坐标运算
(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,那么2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，那么b a ⋅=2121y y x x +. (3)设a =),(y x ，那么22y x a +=
21、两向量的夹角公式
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且0≠b ，那么
2
2
2
22
12
12121cos y x y x y y x x b
a b a +⋅++=
⋅=
θ
22、向量的平行与垂直
b a //⇔a b λ=12210x y x y ⇔-=.
)0(≠⊥a b a ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=. 三、数列
23、数列的通项公式与前n 项的和的关系
11
,
1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨
-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).
24、等差数列的通项公式
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；
25、等差数列其前n 项和公式为
1()2n n n a a s +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-. 26、等比数列的通项公式
1*11()n n
n a a a q q n N q
-==
⋅∈； 27、等比数列前n 项的和公式为
11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11
,11,1n n a a q
q q s na q -⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩.
四、不等式
28、y x ,都是正数，那么有xy y
x ≥+2
，当y x =时等号成立。

〔1〕假设积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2；
〔2〕假设和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值2
4
1s .
五、解析几何
29、直线的五种方程
〔1〕点斜式11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． 〔2〕斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
〔3〕两点式
11
2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).
(4)截距式1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)
〔5〕一般式0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
30、两条直线的平行和垂直
假设111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. 31、平面两点间的距离公式
,A B
d =A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).
32、点到直线的距离
d =
(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).
33、 圆的三种方程
〔1〕圆的标准方程222()()x a y b r -+-=.
〔2〕圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(2
2
4D E F +-＞0). 〔3〕圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ=+⎧⎨
=+⎩
.
34、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0<∆⇔⇔>相离r d ;
0=∆⇔⇔=相切r d ;
0>∆⇔⇔<相交r d . 弦长=222d r -
其中22B
A C
Bb Aa d +++=.
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，2
22b c a =-，离心率1<=a c e ，参数方程是cos sin x a y b θθ
=⎧⎨=⎩.
双曲线：12222=-b
y a x (a>0,b>0)，2
22b a c =-，离心率1>=a c e ，渐近线方程是x a b y ±=.
抛物线：px y 22=，焦点)0,2(p ,准线2
p
x -=。

抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1〕假设双曲线方程为12222=-b
y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b
y ±=.
(2)假设渐近线方程为x a b
y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b
y a x .
(3)假设双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x 〔0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦
点在y 轴上〕.
37、抛物线px y 22
=的焦半径公式
抛物线2
2(0)y px p =>焦半径2
||0p
x PF +
=.〔抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。

〕 38、过抛物线焦点的弦长p x x p
x p x AB ++=+++=21212
2.
六、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法
〔1〕三角形中位线 〔2〕平行四边形〔一组对边平行且相等〕 40、证明直线与平面平行的方法
〔1〕直线与平面平行的判定定理〔证平面外一条直线与平面的一条直线平行〕 〔2〕先证面面平行
41、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理〔一个平面的两条相交．．．．
直线分别与另一平面平行〕
42、证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法
〔1〕直线与平面垂直的判定定理〔直线与平面两条相交．．．．
直线垂直〕 〔2〕平面与平面垂直的性质定理〔两个平面垂直，一个平面垂直交线的直线垂直另一个平面〕 44、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理〔一个平面有一条直线与另一个平面垂直〕 45、柱体、椎体、球体的侧面积、外表积、体积计算公式 圆柱侧面积=rl π2，外表积=2
22r rl ππ+ 圆椎侧面积=rl π，外表积=2
r rl ππ+
1
3V Sh =柱体〔S 是柱体的底面积、h 是柱体的高〕.
1
3
V Sh =锥体〔S 是锥体的底面积、h 是锥体的高〕.
球的半径是R ，那么其体积343
V R π=,其外表积2
4S R π=．
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义与计算 47、点到平面距离的计算〔定义法、等体积法〕
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
平均数:n
x x x x n ++=21 方差:])()()[(12
22212x x x x x x n s n -+-+-=
标准差:])()()[(1
22221x x x x x x n
s n -+-+-=
50、回归直线方程
y a bx =+，其中()()()1122211n n
i i i i i i n n
i i
i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx
====⎧
---⎪
⎪==⎨--⎪⎪
=-⎩∑∑∑∑. 51、独立性检验 )
)()()(()(22
d b c a d c b a bd ac n K ++++-=
52、古典概型的计算〔必须要用列举法．．．、列表法．．．、树状图．．．的方法把所有根本事件表示出来，不重复、不遗漏〕
八、复数
53、复数的除法运算
2
2)()())(())((d
c i
ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a +-++=-+-+=++. 54、复数z a bi =+的模||z =||a bi +。