2020年湖北省荆门市胡集中学高三数学文测试题含解析

2020年湖北省荆门市胡集中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “”是“”的
（A）充分必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分而不必要条件（D）既不充分也不必要条件
参考答案：
C
【考点】充分条件与必要条件
【试题解析】
若，则成立；
反过来，若，不一定成立，还可能
所以“”是“”的充分而不必要条件。

2. 双曲线的实轴长是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
参考答案：
C
本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属简单题.
双曲线方程可变为，所以,.故选C.
3. 数列首项为，为等差数列且，若则
A．3 B． 5 C．8 D．11
参考答案：
A 略
4. 某班由24名女生和36名男生组成，现要组织20名学生外参观，若这20名学生按性别分层抽样产生，则参观团的组成法共有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
参考答案：
A
5. 在中, ,，为的中点,则=（）
A．3 B．C．-3 D．
参考答案：
D
6. 函数,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是( )
A． B．
C． D．
参考答案：
B
略
7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的
A．外接球的半径为 B．体积为
C．表面积为 D．外接球的表面积为
参考答案：
D
略
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）
A． [，+∞）B．[2，+∞）C．D．（1，2]
参考答案：
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．
解答：解：设P点的横坐标为x
∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）
根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣）=e（x+）
∴ex=2a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴2a≥ea，∴e≤2
∵e＞1，∴1＜e≤2故选D．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．9. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液
中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系（、
为常数），用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效.则服药一次，治疗疾病有效的时间为
（）
A．4小时 B．小时 C．小时 D．5小时
参考答案：
答案：C
10. 已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
B
【考点】GT：二倍角的余弦；GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．
【解答】解：∵sina=，
∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．
故选B ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知
，则
____________.
参考答案：
12. 已知正项等比数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n （n∈N*），且，则S 4
= ．
参考答案：
15
【考点】89：等比数列的前n 项和．
【分析】由题意先求出公比，再根据前
n 项和公式计算即可．
【解答】解：正项等比数列{a
n }中，a 1=1，且
，
∴1﹣
=，
即q 2
﹣q ﹣2=0，
解得q=2
或q=﹣1（舍去），
∴S 4=
=15，
故答案为：15．
13. 已知，，若同时满足条件：
①，
或
； ②
,。

则m 的取值范围是_______。

参考答案：
14. 已知函数
的最小值为
，则实数的值为 .
参考答案：
（1）当
时，
，
；(2)当
时，①若
时，
，
，
，
，无解.
②时，，，，解得，综上所述，实
数的值为，故答案为.
15. 已知椭圆
是该椭圆的左、右焦点，点，P 是椭圆上的一个动点，当
的周长取最大值时，
的面积为 ．
参考答案：
16. 某算法的程序框图如右图，若输出的
的值为
，则正整数的值为 .
参考答案：
第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，满足条件，;第五次循环，满足条件，第六次循环，不满足条件，输出,所以此时。

17. 比较大小：
参考答案：
解析：设，则，得
即，显然，则
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆：的右焦点在圆上，直线
交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若(为坐标原点)，求的值；
(3)设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解(1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为，
故圆与轴交与两点，. 所以，在椭圆中或，又，所以，或 (舍去，∵),于是，椭圆的方程为.（3分） (2)设，；直线与椭圆方程联立,
化简并整理得.∴，,
∴，
.
∵，∴,即得
∴，，即为定值（7分）
(3)∵，, ∴直线的方程为.
令，则
,
∴
当且仅当即时等号成立.
故的面积存在最大值.
(或: ,
令，
则.
当且仅当时等号成立，此时.
故的面积存在最大值.解法二：
. 点到直线的距离是
. 所以，
.令，
,
当且仅当时，此时,故的面积存在最大值，其最大值为.
（12分）
略
19. 已知，函数，（其中为自然对数的底数）．（1）求函数在区间上的最小值；
（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：∵，∴．
令，得．
①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．
②若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值．
③若，则，函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最小值．
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
（2）解：∵，，
∴
．
由（1）可知，当时，．
此时在区间上的最小值为，即．
当，，，
∴．
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．
而，即方程无实数解．
故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直．
略
20. 已知抛物线上一点到焦点F的距离．
（1）求E的方程；
（2）过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线与E相交于C，D两点，若，求直线l的方程．
参考答案：
（1）由抛物线的定义，得，又，
∴，即，∴．
∵在抛物线上，
∴，解得（舍去）或．
故的方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不等于0，故可设的方程为，由
消去并整理，得．
其判别式
设，，则
∴．
∴的中点的坐标为，．又的斜率为，其方程为即
由消去并整理，得，
其判别式
设，，则，
∴．∴的中点的坐标为
∵，∴即，∴．
又，∴，
即
化简，得解得．
故所求直线的方程为，即或．
解法二：由得：，
．
，，，．
∴，
∴
由对称性有，所以也有．
即，是方程的两根，所以
，又因为，∴，解得：．
故所求直线的方程为，即或．
（21）解：
21. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣，0），F2（，0），直线
x+y=0与椭圆C的一个交点为（﹣，1），点A是椭圆C上的任意一点，延长AF交椭圆C于点B，连接BF2，AF2
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△ABF2的内切圆的最大周长．参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得c=，把点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a2=4，b2=2．则椭圆方程可求；
（2）设出AB所在直线方程x=ty﹣，联立直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系得到A，B的纵坐标的和与积，求出|y1﹣y2|取最大值时的t值，得到A的坐标，由圆心到三边的距离相等求得最大内切圆的半径，则答案可求．
【解答】解：（1）由题意得，c=，
由点（﹣，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，
得，①
又a2=b2+c2，∴a2=b2+2，②
联立①②解得：a2=4，b2=2．
∴椭圆方程为：；
（2）如图，设AB所在直线方程为x=ty﹣，
联立，消去x得：．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
==
==．
当且仅当，即t=0时上式等号成立．
∴当AB所在直线方程为x=﹣时，△ABF2的面积最大，内切圆得半径最大，
设内切圆得圆心为（m，0），
AF2所在直线方程为，整理得．
由，解得m=﹣．
∴△ABF2的内切圆的最大半径为，
则△ABF2的内切圆的最大周长为2π?．
22. 在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1,短轴的两个端点分别为A，
B，且，点在C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆C和圆O分别相切于P,Q两点，当面积取得最大值时，求直线l的方程.
参考答案：
(Ⅰ) .(Ⅱ) .
【分析】
(Ⅰ) 由，可得；由椭圆经过点，得，求出后可得椭圆的方程．
(Ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立消元后根据判别式为零可得，解方程可得切点坐标为，再根据直线和圆相切得到，然后根据在直角三角形中求出，进而得到，将代入后消去再用基本不等式可得当三角形面积最大时，于是可得，于是直线方程可求．
【详解】(Ⅰ)由，可得，①
由椭圆经过点，得，②
由①②得，
所以椭圆的方程为．
(Ⅱ)由消去整理得（*），
由直线与椭圆相切得，
，
整理得，
故方程（*）化为，即，
解得，
设，则，故，
因此．
又直线与圆相切，可得．
所以，
所以，
将式代入上式可得
，
由得，
所以，当且仅当时等号成立，即时取得最大值．
由，得，
所以直线的方程为．
【点睛】解决解析几何问题的关键是将题中的信息坐标化，然后再利用一元二次方程根与系数的关系进行转化处理，逐步实现变量化一的目的．由于解题中要涉及到大量的计算，所以要注意计算的合理性，通过“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解，考查转化和计算能力，属于难度较大的问题．。