组合几何-问题与练习

组合数学
—组合几何问题（陶平生）
1、矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩
形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上（包括原矩形的四个顶点），其余10点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝（两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示）. 试求该矩形台板所碎裂成的各种类型（指三角形、四边形、五边形等等）的碎片块数. （若凸多边形的周界上有n 个点，就将其算作n 边形）.
2、将圆周2011等分于点122011,,,A A A ，在以其中每三点为顶点的三角形中，求含
有圆心的三角形的个数．
3、在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三
角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边．
4、在一个圆周上给定8个点128,,,A A A ．求最小的正整数n ，使得以这8个点为
顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形．
5、试确定，是否能将1,2,,10 这十个数分别标于五角星的十个结点上，使得每一条
边上的四个数之和都相等？证明你的结论．
6
、两个正三角形交叠成一个六角星（如图），现将前12个正整数1,2,,12 分别填于
图中的12个结点处，使得每条直线上所填的四数之和相等．
()0
1、试求六角星的六个顶点1
2
6,,,a a
a 处填数之和的最小值；
()0
2、证明适合条件的不同填数方案有偶数个．
（对于填数方案π与T ，若方案π经旋
转、翻转后能与方案T 重合，则认为是相同的填数方案）
7、P 是单位正方体内部或表面上的点，满足条件：
()1、正方体有一条棱的两个端点到P 的距离分别是815与17
15
；
()2、正方体中至少有两个顶点到P 的距离相等．
试求满足条件的点P 的个数．
8、以任意方式，把空间染成五种颜色（每点属于一色，每色的点都有）；
()1、证明：存在一个平面，至少含有四种不同颜色的点；
()2、是否一定存在五色平面？
9、正六边形被平行于边的三组直线分成24个全等的正三角形，总共有19个交点，
今在这些交点处分别填上19个不同的数1,2,,19 ；
证明：在这24个小三角形中，至少有7个，它们的顶点处所填的数按逆时针方向递增的顺序排列．
10、平面上放置有n 个圆形铁片，其中每两个圆都有公共点，
证明：至多只需7颗钉，便可以将它们全部钉住（即存在7个点，使得每个圆至少含有这7个点中的一个）．
11、平面上任给16个点，每两点间的距离不超过1；
．
12、边长为n 的菱形A B C D , 其顶角A 为o
60,今用分别与,AB AD 及B D 平行的三
组等距平行线，将菱形划分成22n 个边长为1的正三角形(如图所示).
试求以图中的线段为边的梯形个数()s n .
13、在一个正六边形的每个顶点上分别写着一个非负整数，6个整数的和为2003．伯
特可以做如下操作：他可以选出一个顶点，把它上面的数擦去，然后写上相邻两个顶点上数的差的绝对值．证明：伯特可以进行一系列操作，使得最后每个顶点的数都为0．
14、从圆周的九等分点中，任取五点染为红色；证明：存在以红点为顶点的不同的六
个三角形126,,,∆∆∆ ，满足：1∆≌2∆；3∆≌4∆；5∆≌6∆．
15、原点处有一只马，它第一步可以跳到()()1,2,2,1±±±±这八个点中的任一点;问这
马跳到整点(),m n 的最少步数如何？
16、在单位面积的凸图形内部或周界上任取五点，证明：以这五个点之中每三点为顶
10
，并且这个常数是最好的．。