配方法2名师教案

21.2.1 配方法解一元二次方程〔王鹏鹏〕
第二课时
一、教学目标
〔一〕学习目标
3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.
〔二〕学习重点
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程.
〔三〕学习难点
配方法的综合应用.
二、教学设计
〔一〕课前设计
1.预习任务
用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一般步骤：
〔1〕化二次项系数为1：两边同除以 二次项的系数 ；
〔2〕移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
〔3〕配方：方程两边同时加上一次项系数 一半的平方 ；
〔4〕将原方程变成()2
x m n +=的形式；
〔5〕判断右边代数式的符号，假设0n ≥，可以直接开方求解；假设0n <原方程无解.
2.预习自测
〔1〕()22________8+=++x x x 【知识点】配方法
【思路点拨】常数项是一次项系数一半的平方.
【答案】()2
28164x x x ++=+
1.进一步理解配方法和配方的目的.
2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
〔2〕()2
2________-=+-x x x 【知识点】配方法
【思路点拨】常数项是一次项系数的一半的平方.
(3)()222___82____x x x ++=+
【知识点】配方法
【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进展配方.
【解题过程】()()2
2228824422x x x x x ±+=±+=± 【答案】82±±， (4)()22
33___3____4x x x -+=- 【知识点】配方法
【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进展配方.
【解题过程】 【答案】132
±±，
(二)课堂设计
1.知识回忆
(1).根据平方根的意义，用直接开平方法解形如〔m*+n 〕2=p 〔p ≥0〕的一元二次方程.
(2).用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，特别地，移项前方程两边同加一次项系数的一半的平方.
(3).在用方程解决实际问题时，方程的根不一定全是实际问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.
2.问题探究
●活动①以旧引新
(1)()2
29________x x x ++=+
能用上节课学过的二次项系数为1的二次三项式的配方法将问题〔1〕解决吗？ 学生答：常数项等于一次项系数的一半的平方，是814，所以结果为：
教师问：根据二次项系数为1的二次三项式的配方法，小组讨论一下我们怎么将系数不为1的二次三项式配方？
学生答：先将二次项的系数提出来，将括号的二次三项式的二次项系数化为1.再按照二次项系数为1的二次三项式的配方法进展配方.
那我们请一位同学给大家演示一下.
(2)23612x
x -- 解：
【设计意图】由二次项系数为1的二次三项式配方得出二次项系数不为1的二次三项式配方的方法.
●活动② 大胆猜测，探究新知
那我们试着解一下方程：
〔3〕236120x x --=
有的学生采用的方法〔一〕： 有的学生采用方法〔二〕：
比拟两种方法哪种更简单
【设计意图】问题〔3〕学生联想、尝试、比照在教师设置的问题情境引导下，解决了一个新问题，激发了学生的学习热情，也锻炼了学生的思维能力.通过比照、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，理解数学化归思想重要意义.
●活动③ 集思广益，归纳方法
用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一般步骤：
〔1〕二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
〔2〕移项：将含有x 的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
〔3〕配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
〔4〕将原方程变成()2x m n +=的形式；
〔5〕判断右边代数式的符号，假设0n ≥，可以直接开方求解；假设0n <原方程无解.
【设计意图】体会数学思想方法在数学中的地位和作用
探究二利用配方法解一元二次方程
●活动① 配方法的练习
例1．()
22212x x a b x c ++=+，求,,a b c 的值. 【知识点】 配方法
【解题过程】()()222
212269232918,2,3
x x a
x x x a b c ++=++=+∴=⨯===
【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号局部再按照常数项为一次项系数一半的平方.
【答案】 〔1〕18，2，3
【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.
练习1.()
224x x a b x c --+=+，求,,a b c 的值.
【知识点】 配方法 【解题过程】()
()
()222244424,1,2
x x a b x c x x x a b c --+=+=-++=-+∴=-=-=
【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号局部再按照常数项为一次项系数一半的平方.
【答案】 〔1〕-4，-1，2
【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.
例2. 二次三项式2243x x ++的值〔 〕
A.小于1
B.大于1
C.大于等于1
D.不大于1
【知识点】 配方法
【解题过程】()()()2222243
221213
211
210
1x x x x x x ++=++-⨯+=+++≥∴≥原式
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值.
【答案】 C
练习2. 代数式2916x kx ++是完全平方式，则k 等于〔 〕
A.12
B.12±
C.24
D.24±
【知识点】 完全平方式
【解题过程】
【思路点拨】根据()2
222a b a ab b +=++，一次项的系数等于2倍,a b 系数乘积.
【答案】 D
【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.
●活动② 利用配方法解一元二次方程
例3 . 用配方法解方程：2213m m +=
【知识点】 配方法解一元二次方程
【解题过程】解：
【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成()2x m n -=的形式，直接开方法求解. 【答案】1211,2m m == 【设计意图】感受配方法解系数不为1的一元二次方程的本质.
练习3.用配方法解方程：22740x x +-=
【知识点】 配方法解一元二次方程
【解题过程】
【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成()2x m n -=的形式，直接开方法求解. 【答案】121,42
x x ==-
【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.
例4.在方程的两边同时加上4，用配方法可求得实数解的方程是〔 〕
A.246x x +=-
B.2245x x -=
C.245x x -=
D.222x x +=-
【知识点】 配方法解一元二次方程
【解题过程】()2
22.46,442,22A x x x x x +=-∴++=-∴+=-，无实数解； ()2222557.245,2,211,1222
B x x x x x x x -=∴-=∴-+=+∴-=，有实数解，但方程两边同时加上的数不是4；
()2
22.45,4454,29C x x x x x -=∴-+=+∴-=有实数，且方程两边同时加上的数是4；
()222.22,2121,11D x x x x x +=-∴++=-+∴+=-，无实数解.
【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2x m n -=的形式.假设0n ≥，则有实数解.同时注意所加的数是否是4.
【答案】C
练习4.以下配方有错误的选项是〔 〕
【知识点】 配方法解一元二次方程
【解题过程】
【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2x m n -=的形式.
【答案】D
【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以到达稳固的目的，最后为了进一步拓展提升，让学生用类比的方法解决问题.
●活动③ 综合应用
例5. 假设代数式22
22208580x y y x ++-+=，则x y +的值是.
【知识点】 二次项系数不为1的配方法
【解题过程】
【思路点拨】将方程化成()()22x m y n a +++=的形式.
【答案】-3
【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以到达稳固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题. 练习5. 实数,x y 满足22
24848x y xy y ++=-，求,x y 的值.
【知识点】 配方法解一元二次方程
【解题过程】
【思路点拨】将方程化成()()220x m y n +++=的形式. 【答案】22x y =-⎧⎨=-⎩
【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以到达稳固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题.
3. 课堂总结
知识梳理
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把原方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式；
2.把常数项移到方程右边；
3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
5.原方程变形为〔*+m 〕2=n 的形式；
6.假设n 为0，原方程有两个相等的实数根；假设n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；假设n 为负数，则原方程无实数根.
重难点归纳
1.用配方法解一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一般步骤:
1〕一化：化二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；*2+a b *+a
c =0 2〕二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；*2+a b *=–a
c 3〕三配：①配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为*2+
a b *+(a b 2)2 =–a c +(a
b 2)2的形式；
②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；2
22424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 4〕四解：①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数，否则原方程无
解；*+a 2b = 2a
±
②分别解这两个一元一次方程，求出两根；x = 2.配方法的理论依据是完全平方公式：a 2+2ab +b 2=(a +b )2
3.配方法解方程的步骤可以灵活运用，有时可不必将二次项系数化为1，而是将方程配成〔m*+n 〕2=n 的形式，再直接开平方降次求解.
4.一元二次方程的配方是两边同时除以a ，而二次三项式的配方是提取a ，要注意区别. 〔三〕课后作业
根底型 自主突破
1．以下方程中，一定有实数解的是〔 〕．
A ．*2+1=0
B ．〔2*+1〕2=0
C ．〔2*+1〕2+3=0
D ．2
12x a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【知识点】直接开方法判断有无实数解.
【解题过程】
【思路点拨】原方程变形为〔*+m 〕2=n 的形式；假设n 为0，原方程有两个相等的实数根；假设n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；假设n 为负数，则原方程无实数根.
【答案】B 2．将代数式*2+4*-1化成〔*+p 〕2+q 的形式〔 〕
A 、〔*-2〕2+3
B 、〔*+2〕2-4
C 、〔*+2〕2-5
D 、〔*+2〕2+4
【知识点】配方法的应用
【解题过程】解：*2+4*-1=*2+4*+4-4-1=(*+2)2-5
【思路点拨】根据配方法，假设二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，假设二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
【答案】C
3. 用配方法解一元二次方程﹣3*2+4*+1=0的第一步是把方程的两边同时除以．
【知识点】解一元二次方程-配方法
方程两边同时除以﹣3得：*2﹣4
3*﹣1
3
=0，
则此方程用配方法解时的第一步是把方程的两边同时除以﹣3．
【思路点拨】配方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后在方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
【答案】-3
4. 用配方法解一元二次方程2*2+3*+1=0，变形为〔*+h〕2=k，则h=，k=．
【知识点】解一元二次方程-配方法．
【解题过程】解：原方程可以化为：
231
0 22
x x
++=，移项，得
*2+3
2*=﹣1
2
，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
*2+3
2*+
2
3
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=﹣1
2
+
2
3
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
配方，得
2
31
416 x
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
比拟对应系数，有：
3
4
1
16
h
k
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
；
【思路点拨】配方法的一般步骤：
〔1〕把常数项移到等号的右边；
〔2〕把二次项的系数化为1；
〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【答案】故答案是：3
4、1
16
5. 用配方法解一元二次方程4*2﹣1=12*【知识点】配方法解一元二次方程
4*2﹣12*=1，*2﹣3*=，
*2﹣3*+9
4=1
4
+9
4
，
〔*﹣3
2〕2=5
2
，
*﹣3
2=
10
*
1=
310310
222
+
+=，*2=
310310
222
-=；
【思路点拨】配方法的一般步骤：
〔1〕把常数项移到等号的右边；
〔2〕把二次项的系数化为1；
〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
【答案】*1=310
2
+
，*2=
310
2
-
；
6.用配方法解以下关于*的一元二次方程：9*2﹣12*=1．【知识点】解一元二次方程-配方法
【解题过程】解：方程变形得：*2﹣4
3*=1
9
，
配方得：*2﹣4
3*+45
99
=，即〔*﹣
2
3
〕2=5
9
，
开方得：*﹣25 33
=±，
解得：*1=25
3
+
，*2=
25
3
．
【思路点拨】方程变形后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解．
【答案】*1=25
3
+
，*2=
25
3
．
能力型师生共研
7.用配方法解方程：2(21)(32)7x x x -=+-
【知识点】配方法解一元二次方程
【解题过程】()22222212(21)(32)7
441327
68
69131
31
4,2
x x x x x x x x x x x x x x x -=+--+=+--=--+=-=-=±==
【思路点拨】先将方程化成一般形式，然后再用配方法解一元二次方程.
【答案】124,2x x ==
8.求2272x x -+ 的最小值.
【知识点】配方法 【解题过程】2222
272
7222749492()2221616
733332488x x x x x x x -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=-+-⨯+⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值. 【答案】338
- 探究型多维突破
9. 求代数式22811x x -+-的最大值.
【知识点】配方法求最值
【解题过程】
解：原式=()()()()22222411244411
223
220,-3x x x x x x ---=--+--=-----≤∴原式的最大值是
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值.
【答案】3-
10.用配方法解关于*的一元二次方程a*2+b*+c =0．
【知识点】解一元二次方程-配方法.
【解题过程】解：∵关于*的方程a*2+b*+c =0是一元二次方程，
∴a ≠0．
∴由原方程，得
*2+b a *=﹣c a
， 等式的两边都加上22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，得 *2+b a *+22b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=﹣c a +2
2b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 配方，得
〔*+2b a
〕2=﹣2244ac b a -， 当b 2﹣4ac ＞0时，
开方，得：*+2b a =，
解得*1=2b a -+，*2=2b a
-， 当b 2﹣4ac =0时，解得：*1=*2=﹣2b a
； 当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无实数根．
【思路点拨】用配方法解一元二次方程的步骤：
〔1〕形如*2+p*+q =0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
〔2〕形如a*2+b*+c =0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成*2+p*+q =0，然后配方.
【答案】当b 2
﹣4ac ＞0时，*1*2 当b 2﹣4ac =0时，*1=*2=﹣2b a
； 当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无实数根．
自助餐
1.关于x 的方程2220x kx -+=的一个解为12
x =，求方程的另一个解.
【知识点】方程的根、配方法解一元二次方程 【解题过程】把12
x =代入一元二次方程中可求出5k =，原方程为 【思路点拨】将方程的解代入原方程，求出待定系数。

然后再用配方法解一元二次方程.
【答案】另一个根是2
2.*2+y 2+z 2-2*+4y -6z +14=0，则*+y +z 的值是〔 〕．
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
【知识点】配方法解方程
【解题过程】
【思路点拨】将方程化成()()22
0x m y n +++=的形式.
【答案】2
3试说明：不管*、y 取何值，代数式4*2+y 2-4*+6y +11的值总是正数.你能求出当*、y 取何值时，这个代数式的值最小吗？
【知识点】配方法
【解题过程】将原式配方，得〔2*-1〕2+〔y +3〕2+1，它的值总不小于1；
当*=12，y =-3时，代数式的值最小，最小值是1 【思路点拨】将原式配方.
【答案】1
4.,,a b c ABC ∆是的三条边，当bc c ab a
2222+=+时，试判断ABC ∆的形状. 【知识点】配方法
【解题过程】
【思路点拨】先补项，将方程左右两边都配成完全平方式.
【答案】等腰三角形
5.a b c ，，是△ABC 的三条边长，证明02222<-+-ac c b a
【知识点】配方法，平方差公式
【解题过程】
【思路点拨】对不等式左边配方.
6.22222280;22820;280n x x x x x nx n +-=+⨯-⨯=+-=有个方程：；用配方法解第n 个方程
() 22
+-=用含的式子表示方程的根
280
x nx n n
.【知识点】配方法解方程
【解题过程】
【思路点拨】含有待定系数的一元二次方程配方. 【答案】2,4
-
n n。