初中数学最新版《销售中的盈亏问题》精品导学案(2022年版)

实际问题与一元一次方程
第2课时销售中的盈亏问题
一、新课导入
1.课题导入：
小明的妈妈在飞达商场用180元购置一件衣服，据了解这件衣服的进价是120元，你知道这件衣服的利润和利润率各是多少吗？带着这个问题，本节课我们将学习运用一元一次方程解决销售中的盈亏问题.
2.三维目标：
〔1〕知识与技能
使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌握商品盈亏的求法.
〔2〕过程与方法
培养学生分析问题、解决问题的能力.
〔3〕情感态度
学生在从事探索性活动的学习过程中，形成良好的学习方式和学习态度，借助学生身边熟悉的例子认识数学的应用价值.
3.学习重、难点：
重点：销售利润、利润率等概念的实际意义.
难点：会找销售中盈亏问题的数量关系.
4.自学指导：
〔1〕自学内容：探究销售中的盈亏问题.
〔2〕自学时间：8~12分钟.
〔3〕自学要求：了解进价、售价、利润、利润率这些根本概念
的含义，并且探讨这些量之间的关系.
〔4〕自学参考提纲：
①在营销问题中有四个根本关系量：进价、售价、利润和利润率，它们之间有如下关系：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，根据这些关系，思考以下问题：
a.进价为100元的衣服，卖了120元，其利润是20元，利润率是20%.
b.进价为200元的运动鞋，在销售过程中获利30%，那么其售价为260元.
c.某专卖店以500元的价格销售了一件外套，其利润率为25%，那么这件外套的进价为多少元？
分析：假设设外套进价为x元，那么其利润为0.25x元，根据进价+利润=售价，可列方程：x+0.25x=500，解方程即可求得答案.
②问题：一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
探究：a.盈亏取决于售价与进价的大小关系，假设售价大于进价，那么盈利；假设售价小于进价，那么亏本；假设售价等于进价，那么不赔不赚.
b.凭你的生活经验估算一下，这个问题的结果应该是亏损.
c.能否通过准确计算检验你的判断？
分析：为此就需要求出这家商店买这两件衣服时花了多少钱，即求出这两件衣服的进价分别是多少.
Ⅰ.注意到“盈利〞和“亏损〞是一对具有相反意义的量，盈利25%就是指其利润率为25%，那么亏损25%是指其利润率为-25%.
Ⅱ.下面请同学们再按第①题的第c小题的解法分别设未知数列方程求出这两件衣服的进价分别是多少元.
设进价分别为x元，y元，那么x(1+25%)=60，y(1-25%)=60.
x=48,y=80,60-48+60-80=-8,亏损.
Ⅲ.按Ⅱ中求得的答案得出原问题的最终准确结果.
③通过对②中问题的探究，同学们相互交流一下，你对方程在实际问题中的应用有什么新的认识？
二、自学
同学们结合自学指导进行自学.
三、助学
1.师助生：
〔1〕明了学情：教师深入课堂了解学生对自学参考提纲中的问题的完成情况(包括学习的进度和存在的问题).
〔2〕差异指导：针对学情进行分层和分类指导.
2.生助生：学生相互交流帮助解决疑难.
四、强化
1.营销问题中的主要关系量及它们之间的数量关系：
利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%.
2.通过对问题的探究说明直觉或经验有时并不可靠，正确运用数学知识分析问题可以减少判断错误.
3.要学会从复杂的问题中寻找等量关系设未知数列方程.
4.练习：某商店有两种书包，每个小书包比每个大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中每个小书包的盈利率为30%，每个大书包的盈利率为20%，试求两种书包的进价.
解：设大书包的进价为x元，那么小书包的进价为〔x-10〕元，根据
利润额相同，列方程为x·20%=(x-10)·30%.
x=30,30-10=20〔元〕.
答：小书包的进价为20元，大书包的进价为30元.
五、评价
1.学生的自我评价：学生介绍自己在本节课学习中是如何自学的？有哪些做得不够的地方？收效怎样？
2.教师对学生的评价：
〔1〕表现性评价：教师对学生在学习中表现出的积极态度、好的学习方法和学习成果进行点评.
〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价〔教学反思〕：
“进价〞、“标价〞、“本钱〞及“利润〞是理解题意的关键点，教师应向学生进行详细的讲解.
一、根底稳固
1.〔15分〕某商品原来每件零售价是a元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是元.
2.〔15分〕某种品牌的彩电降价3%以后，每台售价为a元，那
a元.
么该品牌彩电每台原价应为100
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3.〔15分〕某商品按定价的八折出售，售价是148元，那么原定价是185元.
4.〔15分〕某种商品的进价是400元，标价是600元，打折销售时的利润率为5%，那么此商品是打7折出售.
二、综合应用
5.〔20分〕某商品的进价是1530元，按商品标价的9折出售时，利润率是15%，商品的标价是多少元？
解：设商品的标价是x元，那么由题意可得1530×〔1+15%〕=0.9x.
解得x=1955.
答：商品标价为1955元.
三、拓展延伸
6.〔20分〕现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比原销售量增加百分之几？
解：设销售量要增加x.
那么由题意可知〔1-20%〕〔1+x〕=1
答：销售量要比原销售量增加25%.
第4课时“斜边、直角边〞
1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞．(重点)
2．经历探究“斜边、直角边〞判定方法的过程，能运用“斜边、直角边〞判定方法解决有关问题．(难点)
一、情境导入
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个方法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的〞，你相信他的结论吗？
二、合作探究
探究点一：应用“斜边、直角边〞判定三角形全等
如图，∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .
解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL 〞即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．
证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE
都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．
方法总结：利用“HL 〞判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．
探究点二：“斜边、直角边〞判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL 〞判定线段相等
如图，AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .
解析：根据“HL 〞证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL 〞证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .
证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL 〞公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角〞这个隐含的条件．
【类型二】 利用“HL 〞判定角相等或线段平行
如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.
解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等． 证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt
△ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．
【类型三】 利用“HL 〞解决动点问题
如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？
解析：此题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．
解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝
90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；
(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．
方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于此题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等
如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .
解析：BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .
证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，
OA ＝OA ，
∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，
∴△BOD ≌
△COE (ASA)．∴OB ＝OC .
方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL 〞外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.
三、板书设计
“斜边、直角边〞
1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边〞或“HL 〞．
2．方法归纳：
(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL 〞，除此之外，还可以选用“SAS 〞“ASA 〞“AAS 〞以及“SSS 〞．
(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习稳固所学的新知识．。