工科数分(1)期中考试试卷(07-11-24)
通用技术学科期中考试试卷
通用技术学科期中考试试卷2007-11-28 08:31班级：高一（）班姓名：___________ 学号：__________总分：___________一、填空题：（每空1分，共计25分）1．从人类第一次磨制石器、第一次钻木取火开始，____________就为满足人类需要而开始了它的历史旅程。
2．__________________ 的产生和发展为人们提供了种类繁多、功能各异的面料，而 __________________ 的产生，则使服装的制作更加简易、快捷。
3．技术在 _________人、_________人、_________人的同时，促进了社会经济的发展、综合国力的增强，推动了社会发展和文明进步。
4．技术具有________性、_________ 性、_________ 性、_________性、______性五个性质。
5．当我们使用物品时，物品就与人产生了一种相互的关系。
这种相互的关系称________________。
6．“科学管理之父”的美国人泰勒于1898年在伯利恒钢铁公司进行了著名的“ ______________作业试验”。
7．一粒__________电池就能污染6×105L水。
8．我们通常将技术活动中为了某种目的所进行的尝试、检验、优化等探索性实践活动称为 ____________ 。
9．在模型或原型制作完成后，一般需要对其进行 ________ 、______和________ 。
10．在长期的设计实践中，人们逐渐总结_______、 ______、_______ 、________、_______ 、________、________ 等设计的一般原则。
二、连线题：（连对1条线1分，共计23分）1．瓦特创立了世界上首条汽车生产流水线福特曾写下一篇“写给五千年后人民”的《告后人书》爱因斯坦发明蒸汽机则是典型的技术活动2、侧重利用和合理地改造自然，力求有所发明科学侧重认识自然，力求有所发现更多地回答“怎么办”的问题通过试验，验证方案的可行性与合理性，并实现优化技术科学回答“是什么”“为什么”的问题科学通过实验验证假设，形成结论科学通过实验验证假设，形成结论3．技术设计. . . . . . . . . . . .功能. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .感觉工艺欣赏程序色彩审美结构艺术设计. . . . . . . . . . . . . .材料5.优选试验法橘子从长江以南移植到长江以北的种植试验模拟试验法汽车的碰撞试验虚拟试验法检测产品的抗压性能强化试验法计算机模拟“勇气”号火星探测器登陆火星表面的场景效果移植试验法水稻的对比试验三、单项选择题：（每小题2分，共计14分）1．英国化学家_____ 发明电弧光灯，人类进入了利用电照明的时代。
大学工科数学分析期中考试___试题及答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、客观题（每题4分，共40分）1. 曲线⎩⎨⎧==21yx xyz 在点)1,1,1(处切线的的参数方程为 .2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数，且0v zF ≠，则z z yx x y ∂∂+=∂∂ . xy z3. 当 , , a b c ===时，抛物线2y ax bx c =++与正弦曲线sin y x=在点(,1)2π相切，并有相同的曲率.1,2a =-,2b π=21.8c π=-4.用柯西收敛原理叙述级数1n n a ∞=∑收敛的充分必要条件是 .；正项级数1n n a ∞=∑收敛的充分必要条件是 .（1）0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，对p ∀∈，有1pn i i a ε+=<∑. （2）部分和数列有界.5. 函数)ln(22z y x u ++=在点)1 ,0 ,1(A 处沿A 点指向)2 ,2 ,3(-B 点的方向导数为21，在点)1 ,0 ,1(A 处的方向导数的最大值为22，最小值为22-.本题分数 40得 分6. 曲面cos sin x u vy u v z av=⎧⎪=⎨⎪=⎩当1,4u v π==时的切平面方程为 .20x y +=7. 设zy xu =，则=∂∂)2,2,3(yu（ ）（ C ） （A ）3ln 4 （B ）3ln 8 （C ）3ln 324 （D ）3ln 1628. 旋转曲面2221499x y z ++=是（ ）（B ）（A ）xOy 平面上椭圆22149x y +=绕Oy 轴旋转成的椭球面（B ）xOy 平面上椭圆22149x y +=绕Ox 轴旋转成的椭球面（C ）xOz 平面上椭圆22149x z +=绕Oz 轴旋转成的椭球面（D ）xOz 平面上椭圆22149x z +=绕Oy 轴旋转成的椭球面9. 设1,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，01()cos ,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑，其中102()cos ,(0,1,2,.....)n a f x n xdx n π==⎰ ，则5()2S -=（ ）（A ）（A ）34 （B ）34- （C ）12 （D ）12-20XXXX.下列结论正确的是（ ）（C ）（A ）若级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑均为发散，则级数()1n n n b a ∞=+∑必为发散（B ）p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，现在因为111n +>，所以级数1111n nn ∞+=∑收敛（C ）若1lim 1n n nu r u +→∞=>，则1n n u ∞=∑必发散（D ）若1,1,2n n u u n +<=且lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛，其和1S u ≤二、解答题（共60分）11. （8分）设),(),,(y x g y x f 有连续的二阶偏导数，令2(,(,))z f x g x x =，求22d d zx.12. （8分）设直线0:30x y b l x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上且平面π又与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-，求,a b 的值.解：曲面22z x y =+的法向量为()2,2,1x y -，则平面方程为()()()214250x y z --+--=，即245x y z --=，于是直线的方向向量可取为()()()1,1,01,,11101,1,111i j ks a a a →=⨯-==---，由()2,4,10s →⋅--=可得5a =-，由直线方程知2430x y z b --+-=，故2b =-. 20XXXX. （20XXXX 分）求幂级数21112n+1n n x ∞=⎛⎫-⎪⎝⎭∑的收敛域与和函数()S x .解：令∑∞=+=121121)(n nx n x S ，∑∞==122)(n n x x S ， 则 )()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x 由于本题分数 60得 分∑∞==122)(n nxx S =221x x -， )1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x xx xx xS n n, 因此 ⎰-++-=-=xx xx dt tt x xS 022111ln 211)(， 又由于 0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x xx x x S 所以 )()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x xx20XXXX. （8分） 已知ABCD 是等腰梯形，,,8,BC AD BC AD AB BC CD <++=∥ 求AB ，BC ，AD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大.解：设, AB x AE y ==，则旋转体体积为22222222(,)()()(82)()(82)33F x y y x y x y x x y x y πππ=-+--=--+. 由0,0x y F F ==，得3,1x y ==. 故3,2,4AB BC AD ===. 也可以用条件极值做！15. （7分） 证明：53275x y z xyz ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.证明：令a x y z =++，3(,,,)()F x y z xyz x y z a λλ=-++-，则3320, 0, 30, 0,x y z F yz F xz F xyz F x y z a λλλλ=-==-==-==++-=由上述解得：3,,555a a a x y z ===. 所以33553()27()27()55555a a a a x y z xyz ++≤==，即原不等式得证.16. （7分） 证明函数()222222220(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)连续且偏导数存在, 但偏导数在(0,0)不连续, 而f 在原点(0,0)可微. 解：由于221sin x y +有界，()2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y→+=+，所以(,)f x y 在（0,0）连续. 同时220sinsin(0,0)0, (0,0)0x yx x y x y x f f →→===.可得222222222220(,)0,0x x x y f x y x y x y x yx y ⎧+≠⎪=+++⎨⎪+=⎩，显然(,)(0,0)lim (,)x x y f x y →不存在，故x f 在(0,0)不连续，同理y f 在(0,0)不连续. 又由于()22222222(,)(,)sinlim lim0x yx y x y xy xf yf x y x y x yx y→→+--++=++，所以f 在原点(0,0)可微. 20XXXX. （6分） 讨论1(1)(1)nnn en∞=--∑的收敛性，若收敛是条件收还是绝对收敛. 解：条件收敛。
北航大一上工科数分期中考试试卷
北京航空航天大学2011-2012学年第一学期期中考试工科数学分析试卷（2011.12.25）一、计算(5’*8=40’)1) 用Stolz 定理计算极限41233122123lim n n n nn +→∞++++L .2) 设32()(1)x f x x x x =++,求()f x '.3) 求极限10(1)e lim xx x x→+-. 4)求函数2()(4)f x x x =-的拐点。
5) 设(cos sin )()=(sin cos )x a t t f x y a t t t =+⎧⎨=-⎩,求d d y x. 6) 求函数()ln f x x x =在(0,)+∞上的最值.7) 判断函数211()=e x n f x x-⋅间断点的类型. 8) 求函数2()=ln(1)f x x x ++在0x =处直到四阶的Taylor 展开（Peano 余项形式）.二、证明(15’) 1) 3sin (0)6x x x x >-> 2) 设函数1()=ln ()n f x xx n -+∈¢,证明()(1)!n n y x -=. 三、(10’) 设1110,0,(2),1,2,n n n A x x x Ax n A +><<=-=L ,证明不等式11n n x x A+<<对任意n +∈¢成立，并求出极限lim n n x →∞. 四、(10’)用Cauchy 收敛原理证明数列2sin (sin )n n k kx x k k kx ==+∑收敛. 五、(15’)设()f x 在0x 处二次可导，且()0f x ''≠，由Lagrange 中值定理知存在0()1h θ<<,使得式子000(+)()(())f x h f x f x h h h θ'=++成立，计算或者证明下列结论：1) 写出()f x 和()f x '在0x x =处的Taylor 公式；2) 证明01lim ()2h h θ→=. 六、(10’)设()f x '在(0,]a连续，且极限lim()x x →'存在，证明()f x 在(0,]a 上一致连续.[附加题]七、(10’)以下题目任选其一： 1) 设()[01]f x ∈£，，且()0f x >,令0()max (),[0,1]t x M x f t x ≤≤=∈, 证明：函数()()lim ()n n f x Q x M x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦连续的充要条件是()f x 单调递增. 2) 证明开区间套定理1. 设开区间序列(,),n n n I a b n +=∈¥ 满足12121n n n a a a b b b b -<<<<<<<<L L L .2. 区间长度0()n n n I b a n =-→→∞,则存在唯一1(,)n i i i a b ξ==I 满足lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.。
工科数学分析期中考试试题及答案
第1页 （共5页）一、 填空题：填空题：1. 33()ln(1sin )arcsin ()f x x x =++在0x =处的导数(0)f ′= ；22.2. 2lim (100)x x x x →−∞++= ；50−3. 设(2)!!n n n a n n = ，则 1lim n n n a a +→∞= ；4e4. )1ln()(2x x f +=，已知000()()4lim 5h f x h f x h h →+−−=， =0x 5212±=5. 设2()sgn ,()1f x x g x x ==+，则[()]g f x = ,0lim [()]x g f x →= ；20[()]10x g f x x ≠⎧=⎨=⎩ 0lim [()]2x g f x →=6．若11()lim1x tt xx f x t −→−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则()f x 的连续区间为 .11()x f x e−= 连续区间为1x ≠二、 填空题：填空题：1．当0x →时，下列函数中，哪一个是其它三个的高阶无穷小( （C ） ) （A ） 1000x ； （B ）1cos x − ； （C ）4ln(1)x − （D ）arctan x2．若曲线2y x ax b =++和321y xy =−+在点(1,1)−处相切，其中a ,b 是常数,则（ （D ） ）（A ）0, 2a b ==−； （B ）1, 3a b ==−； （C ）3, 1a b =−=； （D ）1, 1a b =−=−3. 设函数21sin ,0,()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,则正确的结果是（ ）（C） （A）f 在[0,1]上不一致连续；（B）f 在0x =处可导,处可导,0x =是'()f x 的连续点；（C）'()f x 在(,)−∞+∞上有界，0x =是'()f x 的第二类间断点；（D）因为0lim'()x f x →不存在，所以'(0)f 不存在4. 下列命题中正确的一个是（下列命题中正确的一个是（ （D ） ）（A ）设s 是数集E 的上确界，则s 必是数集E 中最大的数；中最大的数；（B ）若有界数列{}n a 中有一个子列收敛，则{}n a 必是收敛的数列；必是收敛的数列；（C ）数列{}n a 有唯一的极限点，则{}n a 必是收敛的数列；必是收敛的数列；（D ）设数列{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，且n n a b ≤，n N +∈，则对,m n N +∀∈， n m a b ≤成立.三、 计算题三、 计算题1．()()23tan sin lim 1tan 111xx xx x →−+−+− .02tan sin lim 11tan 32x x x x x →−=⋅333001sin (1cos )26lim 6lim 3cos x x x x x x x x →→−===⋅2. 若2ln y x x =， 求()()n y x . 3()(2)22ln (2ln 1)2ln 3(1)(3)!(2ln 3)2n n n n y x x x x x y x n yx x −−−′=+=+′′=+−−=+=3．设 ()()()x f t y tf t f t =⎧⎨=−⎩，其中()f t ′′存在，且()f t ′不为零， 求22dxy d .(1)()()()dy t f t f t dx f t ′−+=′ 22(1)()()(1)()()()()d y d t f t f t d t f t f t dtdx dx f t dt f t dx′′−+−+==⋅′′ 232()()()()f t f t f t f t ′′′−=′4．求函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=−在区间[-π, π]内的间断点,并判断其类型.并判断其类型.间断点：0x =，1x =，2x π=±11110()tan ()tan (00)lim 1,(00)lim 1()()xxx x xxe e xe e xf f x e e x e e ++→→+++==−==−−−1111()tan lim ()lim ,()xx xxe e xf x x e e →→+==∞−1122()tan lim ()lim .()x x x x e e xf x x e e ππ→±→±+==∞−5．确定,a b 的值，使函数21cos ,0,0,0,()ln(),0ax x xx f x b x x x −⎧<⎪==⎨⎪+⎪>⎩在(,)−∞+∞内处处可导，并求它的导函数.并求它的导函数.因20ln()(00)lim (0)0x b x f f x +→++===，所以，20lim ln()0x b x +→+=，则1b = 22222sin 1cos ,0,()2ln(1)1,0ax ax ax x x f x x x x x x −+⎧<⎪⎪⎪′=⎨⎪−+⎪+>⎪⎩222200ln(1)1cos 1(0)lim 1(0)lim 2x x x ax f f a x x +−+−→→+−′′==== 由(0)(0)f f +−′′=，2a =± (0)1f ′=四、 证明题四、 证明题1.设可导函数()f x 对任意实数12,x x 恒有121221()()()x x f x x e f x e f x +=+，且(0)2f ′=，证明：()()2xf x f x e ′=+.00120(00)(0)(0)(0)0x x f e f e f f ==⇒+=+⇒= 12,x x x x ==∆⇒()()()()()[()(0)](1)()x x xx f x x f x e f x e f x f x e f x f e f x x x x∆∆+∆−∆+−∆−+−==∆∆∆ 00()()()()()()lim lim x x x x f x x f x e f x e f x f x f x x x∆∆→∆→+∆−∆+−′==∆∆ 0[()(0)](1)()lim (0)()x x x x e f x f e f x e f f x x∆∆→∆−+−′==+∆2．根据柯西收敛原理，叙述{}na 发散的充要条件，并应用它证明数列111123n a n ααα=++++ 当1α≤时发散． {}n a 发散000,,,n n p n N p N a a εε+++⇔∃>∀∈∃∈∂−>= 1111(1)()1n n p pa a n n p n n p n p αα+−=++≥++≥+++++∵011,,,22n n p n N p n aa ε++∴∃=∀∈∃=−>={}n a 发散000,,,n m n N m N a a εε++⇔∃>∀∈∃∈∂−>=3．设数列{}n x 满足条件10x >，121(2),(1,2,...)3n nn a x x n x +=+=，其中0a >为常数，证明lim n n x →+∞存在，并求出极限值．3121(2),(1,2,...){}3n n n n a x x a n x x +=+≥=∴∵有下界又 131(2)1,(1,2,...)3n n nx a n x x +=+≤=∵ 1,(1,2,...)n n x x n +∴≤=故lim n n x →+∞存在。
2017级工科数分(下)期中考试卷(附解答)
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2017—2018学年第二学期期中考试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；本试卷共 4个 大题，满分100分， 考试时间90分钟。
10分，共60分）设函数f 有二阶连续偏导数,求函数22,x z f x y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数.解:12212222211122223212,4112+24+210z f x f x yf f z x f x y y y y y f x xxyf f f y y y ∂''=⋅+⋅∂''∂∂∂-'=⋅+⋅∂∂∂∂'⎛⎫''''''=--- ⎪⎝⎭计算 2421222xxxdx dy dx dy yyππ+⎰⎰:()22421221322sin724210xy yx x dx dy dx dyyyx dy dx yπππππ+==+⎰⎰⎰⎰分分计算体密度为ρ=:z ∑=与1z =所围成立体的质量。
解：在球坐标下1z =即1cos 1,cos z r r ϕϕ===，z ∑=：cos sin r r ϕϕ==，进而tan 1,cos 04πϕϕϕ=≥⇒=。
z ∑=：1z =交线即221,1x y z +==得立体投影域22:1xy D x y +≤含原点。
从而立体1:02,0,04cos r πθπϕϕΩ≤≤≤≤≤≤，2分 用球坐标计算质量()1/cos 2/4201/cos /430sin 72sin 1106m d d r r drd r dr ϕππϕπθϕϕπϕϕπΩ==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰4. 计算()221(1)Lx dy ydx x y ---+⎰，其中L 为下列闭曲线，沿逆时针方向：（1）点()1,0在L 所围区域之外；（2）点()1,0在L 所围区域之内。
大一工科基础化学期中考试试题讲解学习
大一工科基础化学期中考试试题大一工科基础化学期中考试试题 思源1205班 王明庆 12274107一、 选择题（15×2=30分）1、下列说法不是现代化学发展的特点的是（）A ．实验设备的仪器化和现代化。
B 从微观研究拓展到宏观研究C 由定性向定量化发展D 从单一学科发展到综合学科和边缘学科2、下列物理量不是状态函数的是（）A ．内能U B.熵S C.焓H. D.热Q.3、地质队在高原野外做饭，常做成“夹生饭”，可用以下原理合理解释的是…… ……( )A. T bp 上升原理B. T fp 下降原理C. 渗透压原理D. 蒸气压下降原理4、下列情况属于封闭体系的是 …....……………………....………………....……………( )A. 试管中的反应B.水浴加热反应C.密闭容器中的反应D. 绝热保温瓶的反应5、浓度均为0.01mol·kg -1的蔗糖、HAc 、NaCl 、Na 2SO 4水溶液，其蒸气压最大的是…13( )A. 蔗糖B. HAcC. NaClD. Na 2SO 46、下列说法正确的是（）A 浓盐酸，HCl 的质量分数为37%，密度为1.18 g·cm －3；B 浓硫酸，H 2SO 4的质量分数为98%，密度为1.84 g·cm －3；C 浓硝酸，HNO 3的质量分数为69%，密度为1.42 g·cm －3；D 浓氨水，NH 3的质量分数为28%，密度为0.90 g·cm －3。
7、下列各说法正确的是（）A 热的物体比冷的物体含有更多的热量。
B 甲物体的温度比乙物体高，表明甲物体的热力学能比乙物体大。
C 热是一种传递中的能量。
D 同一体系，同一状态可能有多个热力学能值。
8、将98%的市售浓硫酸500ml 缓慢加入200g 水中，所得到的硫酸溶液的质量百分浓度为（）A 49%B 24.5%C 80.5%D 70%9、糖水的凝固点为（）A 0℃B 高于0℃C 低于0℃D 难以判断10、下列0.1mol/L 溶液的凝固点最高的是（）A KClB CH3COOHC HClD K2SO411、在温度为375K 时，沸水的压力应为（C ）A 1000KPaB 10KPaC 高于100KPaD 低于100KPa12、在200g 水中含有9g 某非电解质溶液，其凝固点为-0.465℃,则溶液的摩尔质量为（D ）A 135B 172.4C 90D 18013、对某一化学反应，下列哪种情况下该反应的反应速率更快？………………………… ( )A. △r G 越小B. △r H 越小C.△r S 越小D. E a 越小14、封闭系统中的等温等压条件下的反应或过程，其r m ΔG d 1=10 kJ mol ⋅-，则该反应( )A. 一定自发B. 一定不自发C. 能否自发需作具体分析D.达平衡15、已知反应NO(g)+CO(g)= 21N 2(g)+ CO 2(g) 的r m ΔH d 1=373.2 kJ mol ⋅--，欲使NO 和CO 的转化率大，可采取的措施是( )A. 低温低压B.高温高压C.低温高压D.高温低压二、填空题（24×0.5=12）1、由稳定态单质生成单位物质的量的纯物质时，反应的焓变称为该物质的 ，符号为 。
工科数学分析学期期中考试卷(附解答) (3)
3.
计算体密度为ρ=
:z ∑=与1z =所围成立体的质量。
4. 计算
()22
1(1)L
x dy ydx x y ---+⎰
，其中L 为下列闭曲线，沿逆时针方向：
（1）点
()1,0在
L 所围区域之外；（2）点()1,0在L 所围区域之内。
5. 设∑是锥面z =被平面0z =及1z =所截部分的下侧，计算第二类曲面积分
2d d d d (2)d d I x y z y z x z z x y ∑
=++-⎰⎰
6. 求球面2
2
2
4x y z ++=含在圆柱面2
2
2x y x +=内部的那部分面积。
三、证明题（每小题12分，共24分）
7. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0
,22222
2y x y x y
x xy y x f
证明：1）(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 2）(),f x y 在点()0,0处不可微
8. 给定曲面,0,,,x a y b F a b c z c z c --⎛⎫
=
⎪--⎝⎭
为常数，其中(),F u v 有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点
四、应用题（共16分）
9. 求椭球面
2
221
4
z
x y
++=在第一卦限的一点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截
距平方和最小。
工科数分(1)期中考试参考答案(07-11-24)
工科数学分析(1)期中考试试题 答案2007年11月25日一、填空题 (每小题4分,共20分) 。
得分[ ]1、 ；=--+∞→)17(lim n n n n 4解： ；=--+∞→)17(lim n n n n =-++∞→178lim n n nn 411718lim=-++∞→nn n 2、设数列，（），则有 ；!)!2(n n n x n n ⋅= ,3,2,1=n =+→∞nn n x x 1lim e 4解 ；n nn nn n n n n n n n x x )1()1)(1()22)(12(lim lim 1+++++=∞→+∞→e nn n n n nn 4)11(1)11)(11()22)(12(lim =+++++=∞→3、 ；=-→22sin 0)31(lim xx x x32-e解 ；=-→22sin 0)31(lim xx x x3222sin )3231031(lim ---→=-exx x x x 4、设，， 则有x x f arccos )(=1||<x ='')(x f 32232)1()1(x x x x --=--- ；解，；2122)1(11)(---=--='x xx f 32232)1()1()(x xx x x f --=--=''-5、；=-+∞→)1(lim 1xx x x ∞+解 =-+∞→)1(lim 1xx x x =-+∞→x x xx 11lim1xe x xx 11lim ln 1-+∞→ 。
=--=+∞→22ln 11ln 1limxx xe x xx +∞=-+∞→)1(ln lim 1x x xx二、选择题(每小题4分,共20分)将代表答案的字母填入右边括号内。
得分[ ]1、设数列，与不是基列不等价的一个命题是 【 D 】}{n x }{n x （A ），对任意大的正整数，总存在正整数，使得0>∃εN Nn m N N>, ；02||ε≥-NNn m x x （B ），无论正整数多么大，总存在正整数和正整数，使得00>∃εN N n N>N p ；03||ε≥-+N N N n p n x x （C ），存在两个子列和，满足，；0>∃ε}{kn x}{k m x 0||ε≥-k k m n x x ,2,1=k （D ），，对于所有满足的，都有00>∃ε*N ∈∀N N n m >,*N ,∈n m 0||ε≥-n m x x 。
工科数学分析学期期中考试卷(附解答) (2)
sin2xdx y⎰2分()2212124046271221171104612r zdv d rdr zdz d rr r dr ππθθππΩ==--⎛⎫=--=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分5. 设()()+f x ∞∞在－，内有连续导数，L 是从点233A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，到点()12B ，的直线段，计算曲线积分()()2221+1L y f xy x I dx y f xy dy y y⎡⎤=+-⎣⎦⎰。
解：()()()()22221+,11,D D y f xy x P Q y f xy D y y Q Pf xy xyf xy x y y⎡⎤==-⎣⎦∂∂'=+-=∂∂选为第一象限区域，则是单连通的，在内有一阶连续偏导，且从而积分与路径无关，4分 法一：22:,:2,3L x y y =选 6分则()()2222331+222228410y f I dy f dyy y yy ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-⎰分分法二：记213C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()()()()()2222221222331+1+116421+193823410AC CB y f xy y f xy x x I dx y f xy dy dx y f xy dy y y y y f x dx f y dxy ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰分＝分分6. 设∑是锥面z =被平面0z =及1z =所截部分的下侧，计算第二类曲面积分2d d d d (2)d d I x y z y z x z z x y ∑=++-⎰⎰解： 法一：221111,z x y ∑=+≤∑∑Ω补：，取上侧，记与围成区域为， 单独 2分1112222222+11d d d d (2)d d d d d d (2)d d 22d d 52+93+1022x y z x y I x y z y z x zz x y x y z y z x z z x yzdv x y zdzdxdy dxdy πππ∑∑∑Ω∑+≤+≤=++-++-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-分＝－－分分＝分法二：221111,z x y ∑=+≤∑∑Ω补：，取上侧，记与围成区域为， 单独 2分1112222+1224cos 01d d d d (2)d d d d d d (2)d d 22d d 5cos sin +93+1022x y I x y z y z x z z x y x y z y z x z z x yzdv x yd d r r dr dxdy ππϕθϕϕϕπππ∑∑∑Ω∑+≤=++-++-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-分＝－－分分＝分法三： 221111,z x y ∑=+≤∑∑Ω补：，取上侧，记与围成区域为， 2分利用Gauss 公式得到12222+10d d d d (2)d d 252782x y z x y z y z x z z x y zdvzdzdxdy π∑∑Ω+≤++-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝分分分又122121d d d d (2)d d d d 2x y x y z y z x zz x yx y dxdy π∑∑+≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰－＝－＝－单独分所以1122+d d d d (2)d d d d d d (2)d d 3102I x y z y z x zz x y x y z y z x z z x yπ∑∑∑=++-++-⎰⎰⎰⎰－＝分三、证明题（每小题15分，共30分）7. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,222222y x y x yx xy y x f证明：1）(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 2）(),f x y 在点()0,0处不可微证明：1）因为()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆--===∆∆所以(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 4分 2）因为()()22000,00,0limlimx x y y z f x f yx yx y ∆→∆→∆→∆→∆-∆-∆∆∆=∆+∆当取y k x ∆=∆时()()222222000limlim 11x x y x yk k k k x y ∆→∆→∆→∆∆==++∆+∆ 随k 之不同极限值也不同，即0,00,0lim0x y z f x f y∆→∆→∆-∆-∆≠所以此函数在()0,0处不可微。
东南大学工科数分第一章习题
工科数学分析习题习题1.11．设{}1A =≤，{}02B x x =<<是实数域中两个子集，写出,,\A B A B A B 及\B A 的表达式。
2．如果集A 有n 个元素，问A 共有多少个子集？A 的真子集有几个？ 3．设{1,2,3,4}, {3,4,5,6}A B ==,求,,\,\A B A B A B B A . 4．设{,}, {2,3}, {3,4}X a b Y Z ===,求()()X Y X Z ⨯⨯ .5．证明：若A B C D φ⨯=⨯≠，则A C =且B =D. 6．设{}111,sin 2A x x B y y ⎧⎫=-<<==⎨⎬⎩⎭,求A B ⨯. 7．证明 ① \c A B A B = ;②c B A A B φ⊂⇔= .8．设,m n 为奇整数，求证：2220x mx n ++=没有有理数根. 9．证明：如果一个数集的上确界（下确界）存在，那么它必定唯一. 10．写出A ⊆R 下无界，上无界的定义.11．设A ⊆R ，证明：A 有界的充分必要条件是：0M ∃>，使得x A ∀∈，恒有||x M ≤. 12．设A ⊆R ，写出inf A 的定义.13．求下列数集的上确界和下确界，并问集合的最大值，最小值存在吗？ （1）{5,1,3,8,10,50}A =--；（2）1(1)4nnA n +⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭N ；（3）,,mA n m n m n +⎧⎫=∈>⎨⎬⎩⎭N ； （4）sin12n n A n n π+⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N . 14．设A ，B 是两个非空有界数集，且A B ⊂，证明：inf inf sup sup B A A B ≤≤≤.15．举例：（1）有上确界但无下确界的数集；（2）有下确界但无上确界的数集，（3）达到下确界而达不到上确界的数集.16．设,A A φ⊆≠R ，证明：sup inf A A A =⇔是仅由一个元素组成的集合.17．设,A B ⊆R ，若它们都是有界集，证明：,A B A B 也是有界集，若A ，B 均无界，,A B A B 也是无界集吗？习题1.21．设映射:f A B →是可逆的，证明：它的逆映射是唯一的。
苏州市2023-2024学年高三第一学期期中大联考英语试题(含答案)
苏州市2023 ~2024学年第一学期期中调研试卷高三英语2023.11.07注意事项:1．本试卷满分150分。
考试时间120分钟。
2.答题前，务必将自己的学校、姓名、考试号等相关信息写在答题卡上规定的地方。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题; 每小题1.5分，满分7.5 分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What does the woman need?A. Shorts.B.A sun hat.C. Sunglasses.2.How does the man want to trave1?A. By car.B. By train.C. By plane.3. When did the alarm go off?A. At 2:00.B. At 6:00.C. At 5:00.4. What is the woman doing?A. Preparing to leave.B. Calling a cab.C. Checking into a hotel.5. What is the conversation mainly about?A. Driving lessons.B. The weather.C. The man's work.第二节(共15小题; 每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
科学的期中试卷及答案
科学的期中试卷及答案一、选择题（每题2分，共30分）1. 下列哪项不属于物理学的研究范畴？A. 固体力学B. 量子力学C. 生物学D. 热力学2. 质量守恒定律属于以下哪个物理学分支？A. 热学B. 力学C. 电磁学D. 原子物理学3. 下列哪种物质是化学纯物质？A. 纯净水B. 自来水C. 可乐D. 咖啡4. 下列哪个选项是正确的单位换算？A. 1千克 = 1000克B. 1千米 = 1000米C. 1升 = 1000毫升D. 1分钟 = 1000秒5. 以下哪个物理量属于基本物理量？A. 功B. 能量C. 速度D. 加速度……二、填空题（每题2分，共20分）1. 光的速度是每秒______米。
2. 一个物体的速度为5米/秒，经过10秒后，它的位移为______米。
3. 加速度的单位是______。
4. 水的凝固点为______摄氏度。
5. 直流电的电流方向是______。
……三、简答题（每题10分，共30分）1. 请解释物体质量和重量的概念，并说明二者的区别。
2. 请简要介绍牛顿三定律并给出一个实际生活中的例子。
3. 请解释静电放电现象的发生原因，并说明其应用场景。
……四、计算题（每题10分，共20分）1. 一辆汽车以20米/秒的速度匀速行驶，行驶了30秒后停下来。
求汽车的加速度。
2. 一块物体从高度为50米的地方自由落下，落地时速度为30米/秒。
求物体下落的时间。
3. 一个物体的质量为2千克，受到的外力为10牛，求物体的加速度。
……五、应用题（每题15分，共30分）1. 一根长为2米的绳子悬挂在天花板上，绳子的下端系有一个质量为5千克的物体。
求绳子对天花板的拉力和该物体所受的重力。
2. 某物体的位移-10米，力的大小10牛，力与位移的夹角为120度。
求该物体所受的功。
3. 一颗质量为1千克的物体以10米/秒的速度向东运动，受到一个大小为5牛的向西的恒力作用，持续10秒钟。
求物体在此过程中的总动能的变化量。
北航工科数分第一学期期中历年试卷讲评
本资料基于以下内容：2009年《工科数学分析》第一学期期中试题2010年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2011年《工科数学分析》第一学期期中试题2012年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2013年《工科数学分析》第一学期期中试题以上均为公开资料，可在课程中心下载或联系任课教师索取。
教师索取一.数列极限的计算二.数列极限的证明与应用数列极限的证明与应用三.函数极限的计算四.函数极限的证明与应用四函数极限的证明与应用五.导数的计算六.导数的证明与应用六导数的证明与应用*七.泰勒公式试卷基本结构第一大题包含8个小题，主要为极限计算、导数计算、导数的简单应用。
每题5分。
第二题至第七题为解答题，每题10分，可能包含1-2个小问。
主要为证明题。
.数列极限的计算一数列极限的计算很少直接考到。
即便考到，难度也很低，均属于中低难度送分题。
启示：不用太关注技巧性过高的数列极限计算，只需要掌握基本类型即可。
求数列极限的主要方法1.利用初等方法（有理化、恒等变形）2.利用重要极限3.利用单调有界定理，两边取极限4.利用夹逼定理5.利用Stolz定理6.转化为函数极限（Heine定理）例1：（2011年）一1注意定理的使用条件最后步的计算注意：Stolz定理的使用条件、最后一步的计算例2：（2013年）一1二.数列极限的证明与应用二数列极限的证明与应用主要考察：单调有界定理、柯西收敛定理单调有界定理主要涉及递推公式题目，柯西收敛定理直接通过其证明即可。
例1：（2009年）一1（年）例2：（2009年）一3（年）例3：（2009年）四（例4：（2010年）二（应用均值不等式证有界性。
利用有界性证明单调性。
应用均值不等式证有界性利用有界性证明单调性完全相似题目：（2012年）二例5：（2011年）三（重点讲解例6：（2009年）二（年）例7：（2010年）三（例8：（2012年）三（完全相似题目：（2011年）四仅把分母中的cos改为sin例9：（2013年）三（例10：（2013年）二（重点讲解三.函数极限的计算三函数极限的计算通过等价无穷小、洛必达法则、1的无穷次方方法计算函数极限或确定无穷小的阶。
北航工科数分(上) 第一学期期中试题
一、填空题 (每小题4分,共20分)1、=--+∞→)11(lim 42n n n n ；2、=⋅-⋅∞→nn n 242)12(31lim；3、=→xx x x sin 1)(cos lim ；4、设x x y cos =，0>x ， 则='y ；5、当0→x 时，βαx 与32121x x +-+是等价无穷小,则=α ,=β ．二、选择题(每小题4分,共20分，只有一个正确答案)1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0, 00, 1sin )(x x xx x f n,则能使得)(x f '在0=x 处连续的最小正整数n 为 【 】 （A ）1 ； （B ）2 ； （C ） 3 ； （D ）42．设()f x 在区间),(b a 上连续，则下列结论不正确的是 【 】 （A ）若()f x 在区间),(b a 上导数存在且有界，则()f x 必在),(b a 上一致连续； （B ）()f x 在),(b a 上必能取到最大值和最小值；（C ）若有),(,21b a x x ∈使得,0)()(21<x f x f 则必存在),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ； （D ）若)(),(-+b f a f 存在, 则()f x 在),(b a 上有界.3. 下列说法中正确的是 【 】 （A ）若()f x 在0x 取得极值, 则必有0)('0=x f ；（B ）若可导函数()f x 在),(b a 单调, 则)('x f 在),(b a 上不可能为零； （C ）函数()f x 在),(+∞a 上可导, 若A x f x =+∞→)(lim , 则0)('lim =+∞→x f x ；（D ）若对任何介于)(),(b f a f 之间的数c ,都存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ，则()f x在],[b a 上连续．4. 关于“有界数列}{n a 不收敛到a ”的错误描述是 【 】 （A ）00>∃ε, 对任意大的正整数N ，总存在正整数N m N>，使得 02||ε≥-a x N m ；（B ）00>∃ε，无论正整数N 多么大，总存在正整数N n N>，使得 2||0ε≥-a x Nn ；（C ）00>∃ε，*N ∈∀N ，对于所有满足N n >的*N ∈n ，都有0||ε≥-a x n ； （D ）00>∃ε,存在一个子列}{k n x 收敛到b ，满足0||ε≥-a b ．5．下列命题中正确的是 【 】 （A ）如果数列}{n a 是一个有界数列，则它有且仅有一个收敛子列； （B ）如果单调数列}{n a 有一个收敛子列，则该数列必收敛； （C ）设β是数列}{n a 的上确界，则β是数列}{n a 的极限；（D ）对数列}{n a ，若N n p N >∀∃>∀对和,,0ε,都有ε<-+p n n a a ，则数列收敛.三、（每题５分，共10分）1、求极限)11arctan 11)(arctan1(lim 2+---∞→n n n n . （提示：利用Lagrange 中值定理） 解：2、求极限420sin tan lim x xx x x -→解：四、（10分）设,23,111n n x x x +==+求数列n x 的极限。
高等数学期中考试试卷及答案
高等数学期中考试试卷及答案XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷一、判断题（每题2分，共10分）1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。
（×）2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。
（×）3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√）4、limx→∞ sinx/x = 0.（√）5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。
（√）二、填空题（每题2分，共10分）1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2）2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1）3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。
（答案为(1.e^1)）4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。
（答案为-1/(x^2-2x+2)）5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。
（答案为x^2/2）三、单项选择题（每题2分，共10分）1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。
2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。
3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。
(以上等式都不成立)4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。
5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。
四、计算下列极限（每题6分，共18分）1、lim(x+1-x^-1) = 2.2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.五、计算下列各题（每题6分，共18分）1、y=e^(sin^2x)。
2017级工科数分(上)期中考试卷(附解答)
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2016—2017学年第一学期期中考试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；单项选择题（每小题3分，共15分）(请把正确答案写在括号内).1. 下列说法中哪个不能作为lim n n x a →∞=的等价定义（ C ）。
A. 0,0,,n N n N x a εε∀>∃>>-≤当时有；B. 0,0,,,n N n N x a k k εε∀>∃>>-≤当时有其中为某个正的常数；C. {}()0,,n x a a εεε∀>-+数列中有无穷多项落在中；D. {}()0,,n x a a εεε∀>-+数列中只有有限项落在之外。
2. 设()11,0(),ln 1,10x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩则()f x 的所有间断点及其类型是( A ) 。
A. 1x =是()f x 的无穷间断点, 0x =是()f x 的跳跃间断点； B. 1x =是()f x 的跳跃间断点, 0x =是()f x 的可去间断点；C. 0x =是()f x 的跳跃间断点；D. 0x =是()f x 的可去间断点。
设()f x 在x a =的某邻域内有定义,则()f x 在x a =可导的一个充分条件是(D ) 。
()1.lim ;h A h f a f a h →+∞⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦存在 ()()02.lim ;h f a h f a h B h →+-+存在 ()().lim;2h f a h f a h C h→+--存在 ()().limh f a f a h D h→--存在.4. 设在区间[]0,1,()0,(0),(1),(1)(0)(0)(1)f x f f f f f f ''''>--上则或的大小顺序是（ B ）。
工科数分(1)大一期中考试参考答案(071124)
工科数学分析(1)期中考试试题 答案2007年11月25日一、填空题 (每小题4分,共20分) 。
得分[ ]1、=--+∞→)17(lim n n n n 4 ；解：=--+∞→)17(limn n n n =-++∞→178lim n n nn 411718lim=-++∞→nn n ；2、设数列!)!2(n n n x n n ⋅=，（ ,3,2,1=n ），则有=+→∞nn n x x 1lim e 4 ； 解 n nn nn n n n n n n n x x )1()1)(1()22)(12(lim lim1+++++=∞→+∞→e nn n n n nn 4)11(1)11)(11()22)(12(lim =+++++=∞→；3、=-→22sin 0)31(lim xx x x32-e；解 =-→22sin 0)31(lim xx x x3222sin )32(310)31(lim ---→=-exx x x x ；4、设x x f arccos )(=，1||<x ， 则有='')(x f 32232)1()1(x x x x --=--- ；解2122)1(11)(---=--='x xx f ，32232)1()1()(x x x x x f --=--=''-；5、=-+∞→)1(lim 1xx x x ∞+ ；解 =-+∞→)1(lim 1xx x x =-+∞→xx xx 11lim 1xe x xx 11lim ln 1-+∞→=--=+∞→22ln 11ln 1limxx xe x xx +∞=-+∞→)1(ln lim 1x x xx 。
二、选择题(每小题4分,共20分)将代表答案的字母填入右边括号内。
得分[ ]1、 设数列}{n x ，与}{n x 不是基列不等价的一个命题是 【 D 】 （A ）00>∃ε，对任意大的正整数N ，总存在正整数N n m N N>,，使得02||ε≥-NNn m x x ；（B ）00>∃ε，无论正整数N 多么大，总存在正整数N n N >和正整数N p ，使得03||ε≥-+N N N n p n x x ；（C ）00>∃ε，存在两个子列}{kn x和}{k m x ，满足0||ε≥-k k m n x x ， ,2,1=k ；（D ）00>∃ε，*N ∈∀N ，对于所有满足N n m >,的*N ,∈n m ，都有0||ε≥-n m x x 。
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北京航空航天大学 2007-2008学年第一学期
工科数学分析(1)期中考试试卷
2007年11月25日
班级 学号 姓名
一、
填空题 (每小题4分,共20分) 。
得分[ ]
1、=--+∞
→)17(lim n n n n ；
2、设数列!
)!2(n n n x n n ⋅=，（ ,3,2,1=n ），则有=+→∞n n n x x 1lim ； 3、=-→2sin 0)3
1(lim x x x x
；
4、设
x x f arccos )(=，1||<x ， 则有='')(x f ；
5、
=-+∞
→)1(lim 1
x
x x x ；
二、选择题(每小题4分,共20分)将代表答案的字母填入右边括号内。
得分[ ]
1、 设数列}{n x ，与}{n x 不是基列不等价的一个命题是 【 】 （A ）0
0>∃ε，对任意大的正整数N ，总存在正整数N n m N N
>,，使得
02||ε≥-N
N
n m x x ；
（B ）00>∃ε，无论正整数N 多么大，总存在正整数N n N
>和正整数N p ，使得
03||
ε≥-+N N N n p n x x ；
（C ）0
0>∃ε，存在两个子列}{k
n x
和}{k m x ，满足0||ε≥-k k m n x x ， ,2,1=k ；
（D ）00>∃ε，*
N ∈∀N ，对于所有满足N n m >,的*
N ,∈n m ，都有0||ε≥-n m x x 。
2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
, 00
, 1sin )(2
x x x
x x f , 则既正确又最好的结果是 【 】 （A ）f 在 ]1,0[ 上不一致连续； （B ） f 在0=x 处连续可导； （C ） )(x f ' 在 ),(+∞-∞ 上有界，0=x 是)(x f '的第二类间断点； （D ）f 在 ),(+∞-∞ 上一致连续 ，且f 在 ),(+∞-∞ 上可导。
3．设()f x 在),(b a 上可导，且0)(≠'x f ，),(b a x ∈∀。
则下列结论正确的是 【 】 （A ）)(x f '在),(b a 上恒为正或恒为负，且()f x 在),(b a 上严格单调；
（B ）()f x 在),(b a 上恒为正或恒为负 ；（C ）()f x 在),(b a 上有最小值和最大值； （D ）()f x 在),(b a 上连续，且)(x f '在),(b a 上连续。
4． 设()f x 在∈0x ),(b a 处可导，且0)(0>'x f ，则在下列结论正确的一个是 【 】 （A ）()f x 在0x 处达到极小值； （B ）()f x 在0x 处达不到极值。
（C ）()f x 在0x 的某个邻域内严格单调递增；（D ）()f x 在0x 处达到极大值。
5．下列命题中正确的一个是 【 】 （A ）设β是数集E 的上确界，则必有β是数集E 中最大的数；
（B ）从覆盖区间I 的任一族开区间覆盖中，必可选出有限个开区间就能覆盖区间I ； （C ）若有界的数列}{n a 中有一个子列收敛，则}{n a 必是收敛的数列； （D ）设数列}{n a 单调递增，}{n b 单调递减，且n n b a ≤，*
N n ∈， 则对*
,N n m ∈∀，成立n m
b a ≤ 。
三、（本题共16分）。
得分[ ]
设1>p ，函数p
p
x
x x g ++=1)1()(，),0[+∞∈x ， 求（1）)1(),0(g g ，
)(lim x g x +∞
→； （2）)(x g '；
（3）求函数)(x g 的单调区间；
（4）求数)(x g 在),0[+∞上的最大值和最小值。
解
四、计算下列各题（每小题6分，共18分）。
得分[ ] （1）设x
x
a x f 1)
1()(+=，0≠x ，（
a 为常数，0>a 且1≠a ），求)(x f '
解
（2）设t
e t x +=，)sin(cos 2
t e y t -=，求dx
dy
； 解
（3）求)1
sin
(lim 2
x x
x x -∞
→ 。
解
五、（本题满分16分）。
得分[ ] 设0>a ，01>x ，)2(3121n
n n x a
x x +=
+， ,2,1=n ； 试证明： （1）成立31a x n ≥+， ,2,1=n ； （2）}{1+n x 是单调递减的； （3）n n x ∞
→lim 存在； （4）求出n n x ∞
→lim 。
证明
六、证明题（10分）。
得分[ ] 设函数
f 在],[b a 上可导，
)(x f '在],[b a 上连续，且f '为非常值函数。
证明：必存在),(b a ∈ξ，使得|)
()(||)(|a
b a f b f f -->'ξ。
证明
七、附加题（满分20分）。
得分[ ]
请认真回答以下提问：
（1）作完这份试卷，估算一下自己的得分，我个人认为可以得（）分左右；
（2）根据我个人的平时学习和理解及掌握程度的情况，考前自我判断我能希望得（）分左右；
（3）通过半学期的课程学习，请谈谈个人在知识和能力方面有那些提高；
（4）请罗列你所记忆准确的几条定理的内容（条件和结论，不给出证明）；
（5）除了书本和辅导材料上，请列举在别的书上看到的那些结果和好的题目；
（6）在学工科数学分析中，对你来说那些内容难于理解？
（7）你对工科数分中的那些内容有兴趣并有自己的深刻理解？
（8）请列举你所知道的中外著名数学家的名字；
（9）请谈谈你对本课程教学工作的合理化建议。
（10）请谈谈对开设数学分析课程重要性的认识、体会、评价。