江苏省宿豫中学2021届高三年级第三次调研测试数学试题

江苏省宿豫中学2021届高三年级第三次调研测试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.已知集合
0，1，2，，
0，，{}=1,2B ，则
A. {}-2,3
B. {}-2,2,3
C. {}-2,-1,0,3
D. {}-2-1,0,2,3，
2.已知复数34i z
=+，则23z z
-＝（ ）
A B ．5 C ．20 D ． 3.设
，则“
”是“
”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2
，则θ等于（ ）
A ．－π6
B ．－π3 C.π6 D.π3
5.若抛物线
的焦点是椭圆
22
13x y p p
+=的一个焦点，则
A. 2
B. 4
C. 8
D. 12
6.已知
，向量 ， ，若
，则实数
A.
B . 2
C .
D .
7.若两个正数a ，b 的等差中项为52
，且a ＞b ，则双曲线22x a 2
21y b -=的的离
心率e 等于（ ）
A ．13
B ．5
3
C D
8.已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1
ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(0，1)
C ．(1，2)
D ．(1，2]
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞1＞c ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．a
b
c c > B ．log log a b c c
>
C ．1313
log a a < D ．2233
a b <
10.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则sin sin A B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形
11.已知圆C ：x 2＋y 2﹣2x ＝0，点A 是直线y ＝kx ﹣3上任意一点，若以点A 为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1
12．如图，已知在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，H 分别是AB ，DD 1，BC 1
的中点，下列结论中正确的是（ ） A ．C 1D 1∥平面CHD B ．AC 1⊥平面BDA 1 C ．直线EF 与直线B 1C 相交
D ．直线EF 与直线BC 1所成的角为30° 第12题 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)两点，若PQ 中点的横坐标为3，则PQ 的长为________．
14.若等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足23S =，316S S -=，则6a ＝ ． 15. 已知向量()
2sin ,3cos a x x =，向量()cos ,2cos b x x =，函数()3f x a b =⋅-在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为____________.
16.在
中，
，
，3
BAC π
∠=
，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则
______________．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1) 求过点M的圆的切线方程；
(2) 若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．
18．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90o,ABEF为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD，P为DF的中点．A N⊥CF，垂足为N．
（1）求证：BF∥平面PAC；
（2）求证：AN⊥平面CDF．
19．（本小题满分12分）
在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且满足．
求A的大小；
若，，求的面积．
20．（本小题满分12分）
设n N *∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1
2n n n S S a +=++，1a ，2a ，5a 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列
{}n b 满足1(1)n
a
n n n b a +=-+，求数列
{}n b 的前2n 项的和2n T
21．（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率2
e =，右顶点为A ，上顶点为B ，点
C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ
分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l ． (1)求椭圆E 的方程；
(2)证明：点M 、N 的横坐标的乘积为定值．
22．（本小题满分12分）
已知二次函数2
()2f x x x =+. （1）求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）讨论函数()()ln(1)g x f x a x =++的单调性.
江苏省宿豫中学2021届高三年级第三次调研测试
数学试题
2020．10
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.已知集合
0，1，2，，
0，，{}=1,2B ，则
A. {}-2,3
B. {}-2,2,3
C. {}-2,-1,0,3
D. {}-2-1,0,2,3，
【答案】A
2. 已知复数34i z =+，则2
3z z -＝（ ）
A B ．5 C ．20 D ．【答案】C 3.设
，则“
”是“
”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2
，则θ等于（ ）D
A ．－π6
B ．－π3 C.π6 D.π3
【答案】D
5.若抛物线
的焦点是椭圆
22
13x y p p
+=的一个焦点，则
A. 2
B. 4
C. 8
D. 12
【答案】C 6.已知
，向量 ， ，若，则实数
A.
B . 2
C .
D .
【答案】
B
7.若两个正数a ，b 的等差中项为52
，等比中项为6，且a ＞b ，则双曲线22x a 2
21y b -=的的离心
率e 等于（ ）
A ．
13 B ．5
3
C ．5
D ．
13 【答案】D
8.已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1
ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(0，1)
C ．(1，2)
D ．(1，2]
【答案】D
二、 多项选择题
（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞1＞c ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．a
b
c c > B ．log log a b c c >
C ．1313
log a a < D ．2233
a b <
答案BC
10.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则sin sin A B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形 【答案】AC
11.已知圆C ：x 2＋y 2﹣2x ＝0，点A 是直线y ＝kx ﹣3上任意一点，若以点A 为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．1 答案ABC
12．如图，已知在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，H 分别是AB ，DD 1，BC 1
的中点，下列结论中正确的是（ ） A ．C 1D 1∥平面CHD B ．AC 1⊥平面BDA 1 C ．直线EF 与直线B 1C 相交
D ．直线EF 与BC 1所成的角为30° 第12题 答案ABD
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)两点，若PQ 中点的横坐标为3，则PQ 的长为________．
【答案】 8 14.若等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足23S =，316S S -=，则6a ＝ ． 答案32
16. 已知向量()
2sin ,3cos a x x =，向量()cos ,2cos b x x =，函数()3f x a b =⋅-在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为____________. 答案2
16.在中， ，
，
，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则
______________． 【答案】
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
已知点M(3，1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1) 求过点M 的圆的切线方程；
(2) 若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值． 【解析】 (1) 圆心C(1，2)，半径为r ＝2.
①当直线的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3， 此时，直线与圆相切，符合题意．
②当直线的斜率存在时，设切线的方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.
由题意知|k －2＋1－3k|k 2＋1
＝2，解得k ＝3
4，
所以方程为y －1＝3
4
(x －3)，即3x －4y －5＝0.
故过点M 的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.
(2) 由题意有|a －2＋4|a 2＋1
＝2，解得a ＝0或a ＝4
3.
18．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACD=90o ,ABEF 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，P 为DF 的中点．A N ⊥CF ，垂足为N ． （1）求证：BF ∥平面PAC ； （2）求证：AN ⊥平面CDF ． 证明：（1）连接BD 交AC 于O,连接PO ，
PO 为BDF ∆的中位线，
∴//PO BF ,
⊂PO 平面ACP ,⊄BF 平面ACP ,
∴//BF 平面ACP ;………………………（6分）
（2）平面ABEF ⊥平面ABCD ，,交线为AB, AB AF ⊥，
∴⊥AF 平面ABCD ,………………………（8分） ⊂CD 平面ABCD ,
∴ CD AF ⊥
又
A AF AC AC CD =⋂⊥,,且⊂AF AC ,平面ACF
∴⊥CD 平面ACF ∴ AN CD ⊥
CF AN ⊥且CD,CF 为平面CDF 内二相交直线
∴ ⊥AN 平面CDF ．……………………………………（12分） 19．（本小题满分12分） 在中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，
且满足
．
求A 的大小；
若，，求的面积．
【答案】解：因为，
由正弦定理，得，即，
所以，
因为，所以．
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，
解得，
所以的面积．
20．（本小题满分12分）
设n N *
∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，1a ，2a ，5a 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足1(1)n a n n n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T
注：上式左边改为2n T 21．（本小题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率2
e =，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，
－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别
交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l ． (1)求椭圆E 的方程；
(2)证明：点M 、N 的横坐标的乘积为定值．
【解析】 （1
）由2
e =
，得a =，又222a b c =+，
a ∴=，
又(
)
020
AC k a --=
=-
a ∴=，1
b ∴=，
∴椭圆E 的方程为2
212
x y +=；
（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =-， 设()()1122,,,P x y Q x y ，
由22
212
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22
21860k x kx +-+=， ∴121222
86
,2121
k x x x x k k +=
=++， ()()2
2=84621k k --⨯⨯+=216240k ->
232
k ∴>
， ∴()12122
4
421
y y k x x k -+=+-=
+， ()()121222y y kx kx =--()2
1212=24k x x k x x -++=2
24221
k k -+，
直线BP 的方程为1111y y x x -=
+，令0y =解得11
1M x
x y =-，
同理可得22
1N x x y =-， 1212121212
111()M N x x x x x x y y y y y y ∴=⋅=---++ 22226
221=344212121k k k k +=-++++
∴点M 、N 的横坐标的乘积为定值
23
.
22．（本小题满分12分）
已知二次函数2()2f x x x =+. （1）求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；
（2）讨论函数()()ln(1)g x f x a x =++的单调性。

21试题解析：（1）014=--y x
（2）()()2
2ln 1(1)g x x x a x x =+++>- ()()2212211
x a a g x x x x ++=++='++ 当0a ≥时，()g x '在()1,-+∞上恒正；
所以，()g x 在()1,-+∞上单调递增
当0a <时，由()0g x '=
得1x =-+
所以当1,1x ⎛∈-- ⎝
时，()()0,g x g x '<单调递减
当1x ⎛⎫∈-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()()0,g x g x '>单调递增. 综上所述，
当0a ≥时，()g x 在()1,-+∞上单调递增；
当0a <时，
当1,1x ⎛
∈-- ⎝时，()g x 单调递减；
当1x ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递增.。