38 椭圆-2018年高考数学(文)热点题型和提分含解析

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率）。

2．了解椭圆的简单应用。

3．理解数形结合的思想。

热点题型一 椭圆的定义及其标准方程 例1、【2017
浙江,2】椭圆22
194
x y +=的离心率是
A 13
B 5
C ．23
D ．59
【答案】B 【解析】945
e -=
=
，选B ．
【变式探究】 (1)设F 1，F 2是椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且｜PF 1｜∶｜PF 2｜＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( ）
A ．30
B ．25
C ．24
D ．40
(2)已知两圆C 1：（x －4）2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4）2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ）
A 。

错误!－错误!＝1
B 。

错误!＋错误!＝1
C 。

错误!－错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1
∴S △PF 1F 2＝1
2|PF 1｜·｜PF 2｜＝错误!×8×6＝24。

(2)设圆M 的半径为r ，
则｜MC 1｜＋｜MC 2｜＝（13－r )＋(3＋r ）＝16， ∴M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8, 故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。

【提分秘籍】
椭圆定义的应用技巧
（1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等。

（2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题。

（3）当椭圆焦点位置不明确时,可设为错误!＋错误!＝1(m 〉0，
n >0，m ≠n ），也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0,B 〉0，且A ≠B ）。

【举一反三】
椭圆x 2
4
＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1作垂直于x
轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2｜＝( ）
A.错误! B 。

错误! C.错误! D ．4 【答案】A
热点题型二 椭圆的几何性质 例2、【2017课标3，文11】已知椭圆
C :22
221x y a b +=，（a 〉b 〉
0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）
A ．
6
3
B ．
33
C ．
23 D ．13
【答案】A
【解析】以线段1
2
A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0,半径
为r a =，圆的方程为
【变式探究】 （1）已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A ，
B两点，若△AF1B的周长为4错误!，则C的方程为( )
A.错误!＋错误!＝1
B.错误!＋y2＝1 C。

错误!＋错误!＝1 D.错误!＋
错误!＝1
(2)已知椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左、右焦点分别为F1(－c，0）、F2(c，0），若椭圆上存在点P使错误!＝错误!，则该椭圆的离心率的取值范围是________。

【解析】(1)由椭圆的定义可知，|AF1｜＋|AF2|＝2a，|BF1|＋｜BF2|＝2a，
又因为|AF1｜＋|AF2|＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4错误!，
即4a＝43，解得a＝错误!。

又错误!＝错误!,则c＝1，b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.
(2)依题意及正弦定理，得错误!＝错误!(注意到P不与F1F2共线），
即错误!＝错误!，所以错误!－1＝错误!，所以错误!＝错误!＋1>错误!,
即e＋1〉错误!,所以(e＋1)2〉2。

又0<e〈1,因此错误!－1〈e〈1。

【提分秘籍】
椭圆几何性质的应用技巧
（1）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析.
（2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式。

例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0〈e〈1，在求椭圆的相关量的范围时,要注
意应用这些不等关系。

（3)紧扣定义是解题的一个基本出发点，涉及弦中点的问题常常用“点差法"解决，往往会更简单.
【举一反三】
椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为错误!，则k的值为( ）
A．－21 B．21 C．－错误!或21 D。

错误!或21
【答案】C
【解析】若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝错误!,
由错误!＝错误!，即错误!＝错误!，得k＝－错误!;
若a2＝4＋k，b2＝9,则c＝k－5,
由错误!＝错误!，即错误!＝错误!,解得k＝21.
热点题型三直线与椭圆的位置关系
例3．【2017课标II，文20】设O为坐标原点，动点M在椭圆C:x2
+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足
2
=
2
NP NM
(1)求点P的轨迹方程；
（2)设点Q在直线3
x=-上，且1
⋅=.证明过点P且垂直于
OP PQ
OQ的直线l过C的左焦点F.
【答案】（1）x2+y2=2（2)见解析
【解析】
OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3，t)，PF ⃗⃗⃗⃗ =(−1−m ，−n)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PF ⃗⃗⃗⃗ =3+3m −tn ，
OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ，n)，PQ
⃗⃗⃗⃗⃗ =（−3−m ，t −n ）.
由OP
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1得—3m —m 2+tn —n 2=1，又由（1)知m 2+n 2=2，故 3+3m-tn=0。

所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PF ⃗⃗⃗⃗ =0,即，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF
⃗⃗⃗⃗ .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

【变式探究】若F 1、F 2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 是该椭圆上的一个动点，且｜PF 1｜＋｜PF 2|＝4，|F 1F 2｜＝2错误!。

（1）求出这个椭圆的方程；
(2)是否存在过定点N （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,使错误!⊥错误!(其中O 为坐标原点)？若存在，求出直线
l 的斜率k ；若不存在，说明理由.
∴错误!·错误!＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋（kx1＋2)(kx2＋2）
＝x1x2＋k2x1x2＋2k(x1＋x2）＋4
＝（1＋k2）x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝（1＋k2)·错误!＋2k错误!＋4
＝错误!＝0,∴k2＝4。

②
由①②可知k＝±2,所以，存在斜率k＝±2的直线l符合题意。

【提分秘籍】
1．直线与椭圆位置关系判断的步骤
(1)联立直线方程与椭圆方程.
(2）消元得出关于x(或y)的一元二次方程。

(3）当Δ〉0时，直线与椭圆相交;当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离。

2．直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
【举一反三】
在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－错误!)、(0，错误!)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点。

(1）写出C的方程；
(2)若错误!⊥错误!，求k的值。

【解析】（1)设P(x，y），由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以（0，－错误!）,（0，错误!)为焦点,长半轴为2的椭圆，
而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k （x 1＋x 2)＋1，
于是x 1x 2＋y 1y 2＝－错误!－错误!－错误!＋1＝0， 化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±错误!。

1。

【2017
浙江，2】椭圆22
194
x y +=的离心率是
A 13
B 5
C ．23
D ．59
【答案】B 【解析】945
e -=
=
，选B ．
2.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆
C ：22
13x y m +=长轴的
两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°,则m 的取值范
围是
A ．(0,1][9,)+∞
B ．(0,3][9,)+∞
C ．(0,1]
[4,)+∞
D ．(0,
3][4,)+∞
【答案】A
3。

【2017课标3,文11】已知椭圆
C ：22
221x y a b +=,（a >b 〉0）的
左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线
20bx ay ab -+=相切,则
C 的离心率为( ）
A 6
B ．3
C 2
D ．13
【答案】A
【解析】以线段1
2
A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0,半径
为r a =，圆的方程为2
22x
y a +=，
直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即2
2
d a a b
=
=+，
整理可得2
23a
b =,即()2223,a a
c =-即2223a c =，
从而22
22
3c e a ==，则椭圆的离心率263c e a ==
故选A 。

4.【2017课标II，文20】设O为坐标原点,动点M在椭圆
C:x2
2+y2=1上，过M作x轴的垂线,垂足为N，点P满足2
NP NM
= (1）求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线3
x=-上，且1
OP PQ
⋅=.证明过点P且垂直于
OQ的直线l过C的左焦点F.
【答案】（1）x2+y2=2（2）见解析
【解析】
由OP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =1得—3m-m2+tn-n2=1，又由（1）知m2+n2=2，故
3+3m-tn=0。

所以OQ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PF⃗⃗⃗⃗ =0，即，OQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF⃗⃗⃗⃗ .又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
1。

【2016高考新课标1文数】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为（）
（A ）1
3 （B ）错误! (C)错误! （D ）错误!
【答案】B
2.［2016高考新课标Ⅲ文数］已知O 为坐标原点，F 是椭圆
C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上
一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E 。

若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
（A ）13
(B ）1
2
（C ）2
3
(D ）34
【答案】A
【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与
0x =得||||()FM k a c =-，||||OE k a =，设OE 的中点为H,由OBH FBM △∽△，
得
1
||
||2||||OE OB FM BF =，即||2||()k a a k a c a c =
-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1
3
e =
，故选A ．
3。

【2016高考新课标2
文数】已知A 是椭圆E ：22
143
x y +=的左
顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ,M 两点,点N 在E 上，
MA NA ⊥。

(Ⅰ）当AM
AN
=时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当AM
AN
=
2k <<.
【答案】（Ⅰ)144
49;
（Ⅱ)
)2。

【解析】
由2||||AM AN =得2
2
2
343+4
k
k k =
+，即3246380k k k -+-=. 设3
2()4638f t t
t t =-+-,则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t '=-+=-≥，
所以()f t 在(0,)+∞单调递增.又(
3)153260,(2)60f f =<=>,因此()f t 在
(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)32k <<.
4。

【2016高考北京文数】（本小题14分） 已知椭圆
C ：22
221x y a b
+=过点
A （2，0），
B （0,1）两点。

(I)求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N,求证：四边形ABNM 的
面积为定值.
【答案】（Ⅰ）2
214x y +=；32
=e （Ⅱ)见解析。

所以四边形ABNM 的面积
5。

【2016高考山东文数】(本小题满分14分）
已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1（a〉b>0）的长轴长为4，焦距为2√2.
（I）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过动点M （0，m ）（m 〉0）的直线交x 轴与点N ,交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点。

过点P 作
x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .
(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明k ′
k 为定值。

（ii ）求直线AB 的斜率的最小值。

【答案】(Ⅰ）
22
142
x y +=。

（Ⅱ)（i ）见解析；(ii ）直线AB 的
斜率的最小值为
62
. 【解析】
所以k k '
为定值–3.
(ⅱ）设1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y 。

直线PA 的方程为y=kx+m ， 直线QB 的方程为y=–3kx+m. 联立
2
2
,1,42
y kx m x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 整理得2
22(21)4240k
x mkx m +++-=。

由201224
21m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x
-=+，
所以21120
2(2)
(21)k m y kx m m k x -=+=++。

同理22222200
2(2)6(2)
,(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++。

6.【2016
高考天津文数】（设椭圆13
2
22=+y a x （3>a )的右焦点
为F ，右顶点为A ，已知|
|3||1||1FA e
OA OF =+，其中O 为原点,e 为椭圆
的离心率。

(Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥,且
MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率。

【答案】(Ⅰ）22
143x y +=(Ⅱ）6±【解析】
（Ⅰ）解:设(,0)F c ,由
113||||||c
OF OA FA +=
，即113()
c c a a a c +=-,可得2223a c c -=,又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =,所以，椭圆的方程
为22
143
x y +=。

（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为
(2)y k x =-,
即2
222(2)M M
M
M
x y x y -+=+，化简得1M x =，即22209
112(1)
k k +=+，
所以，直线l 的斜率为 7。

【2016高考四川文科】（本小题满分13分) 已知椭圆
E ：22
221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两个端点
是正三角形的三个顶点，点1
)2
P 在椭圆E 上。

(Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(Ⅱ）设不过原点O 且斜率为错误!的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M,直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．
【答案】（1)2
214
x y +=;（2）证明详见解析.
【解析】
由方程组2
21,41,
2
x y y x ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩得22(2,),(2,22C D --. 所以2555
2)(2)(2)4
MC MD m m m ⋅=-=-。

又2
222121212121
15[()()][()4]4416
MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+- 22255
[44(22)](2)164
m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ⋅⋅。

1。

【2015高考广东，文8】已知椭圆22
2125x y m
+=(0m >）的左
焦点为()1F 4,0-,则m =（ )
A ．9
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】C
【解析】由题意得：2
22549m
=-=，因为0m >，所以3m =,故选
C ．
2。

【2015高考福建，文
11】已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右
焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45
，则椭圆E 的离
心率的取值范围是（ ）
A ．
3
(0,
]2
B ．3(0,]4
C ．3[
,1)2
D ．3[,1)4
【答案】A
3．【2015高考浙江,文
15】椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点
()F ,0c 关于直线b
y x c
=
的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
【答案】
22
【解析】设()F ,0c 关于直线b y x c
=的对称点为(,)Q m n ，则有
1222n b
m c c
n b m c
⎧⋅=-⎪⎪-⎨
+⎪=⨯⎪⎩，解得3222222,c b bc bc m n a a --==，所以3222222(,)c b bc bc Q a a --在椭圆上，即有32222422(2)(2)1c b bc bc a a b --+=，解得22
2a c =,所以离心率22
c e a ==。

4。

【2015高考安徽，文20】设椭圆E
的方程为22
221(0),
x y a b a b
+=>>点O 为坐标原点,点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0,b ），点M 在线段AB 上,满足2,BM
MA =直线
OM 的斜率为5
10.
（Ⅰ）求E 的离心率e ;
（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ），N 为线段AC 的中点,证明：MN ⊥AB 。

【答案】（Ⅰ）255
（Ⅱ）详见解析.
【解析】
5．【2015高考北京,文20】（本小题满分14分)已知椭圆
C :2233x y +=，过点()
D 1,0且不过点()2,1
E 的直线与椭圆C 交于A ，
B 两点,直线AE 与直线3x =交于点M ．
（I ）求椭圆C 的离心率;
(II ）若AB 垂直于x 轴,求直线BM 的斜率；
(III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．
【答案】（I ）（II)1；(III ）直线BM 与直线D E 平行。

【解析】
（Ⅰ)椭圆C 的标准方程为2
213
x y +=.
所以
a =1
b =，
c =
所以椭圆C 的离心率c e a
==。

（Ⅱ)因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴,所以可设1
(1,)A y ,1
(1,)B y -.
所以2122613k x x k +=+,2122
33
13k x x k
-=+。

直线BM 的斜率112
12
3
23BM
y x y x k x +---=-。

因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)
1(3)(2)
BM
k x x k x x x x k
x x -+--------=
--
121221(1)[2()3)
(3)(2)
k x x x x x x --++-=
--
6.【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线2
1
:4C x
y =的焦点F
也是椭圆22
222:1y x C a b
+=
(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26F 的直线
l 与1C 相交于,A B 两点,与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向。

(I)求2
C 的方程；
（II)若AC BD =，求直线l 的斜率. 【答案】（I ）22
198
y x += ；(II ）
6
【解析】 （I ）由2
1
:4C x
y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆
2C 的一个焦点，所以221a b -= ①； 又1
C 与2
C 的公共弦长为261C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C x y =,由此易知1C 与2C 的
公共点的坐标为3(6,)2,2296
14a b
∴+= ②，
联立①②得2
2
9,8a
b ==，故2C 的方程为
22
198
y x +=。

（II ）如图,设1
1
2
2
3
3
4
4
(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y
7。

【2015高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知
椭圆C ：22
22+=1(>>0)x y b b
αα3且点3，12)在椭圆C 上。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E :22
22+=144x y a b
，P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的
直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q 。

（i ）求||||
OQ OP 的值；
（ii ）求ABQ ∆面积的最大值.
【答案】（I ）2
214x y +=；(II ）（i ）||2||
OQ OP =；(ii ）6 3.
【解析】
222(14)84160k x kmx m +++-=，
由0,∆>可得22416m k <+……………………① 则有2121222
8416,.1414km m x x x x k k -+=-=++所以22124164||k m x x +--=因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以OAB ∆的面积
222
22122(164)12||164||||2k m m m k m S m x x +-+-=-==
22222(4).1414m m k k =-++
设2
2
.14m t k
=+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x kmx m +++-=,由0,∆≥可得2214m k ≤+……………………②
由①②可知201,2(4)24.t S t t t t <≤=-=-+故23S ≤.
当且仅当1t =,即2
214m
k =+时取得最大值2 3.
由(i ）知，ABQ ∆的面积为3S ，所以ABQ ∆面积的最大值为6 3.
8。

【2015高考陕西，文20】如图,椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>经过
点(0,1)A -，且离心率为
2
2。

(I ）求椭圆E 的方程；
（II ）经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ）
，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2。

【答案】（I)
2
212
x y +=； （II ）证明略，详见解析.
从而直线AP 与AQ 的斜率之和
12121211
1122AP AQ y y kx k kx k
k k x x x x +++-+-+=
+=+
121212112(2)2(2)x x
k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭
()
4(1)
222(21)22(2)
k k k k k k k k -=+-=--=-.
9.【2015高考四川,文20】如图，椭圆E ：22
221x y a b +=（a >b >0）
的离心率是
22
，点P （0，1)在短轴CD 上,且PC PD ⋅＝－1
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
A D B
C O x y P
10。

【2015高考天津，文19】（本小题满分14分) 已知椭圆22
221(a b0)
x y
a b
的上顶点为B,左焦点为F5（I）求直线BF的斜率;
（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ),过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M ,||=
||PM MQ .
（i)求的值; (ii ）若75
||sin
=
9
PM BQP ，求椭圆的方程。

【答案】（I ）2;（II ）（i ）7
8
;(ii ）22
1.54
x y +=
【解析】
（I ）设(),0F c - ，由已知55
c a
=
及2
22,a
b c =+ 可得5,2a c b c =
= ,
又因为()0,B b ， (),0F c -,故直线BF 的斜率()
20b b
k c
c
-===-- 。

1．（2014·四川卷)已知椭圆C :错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0)的焦距
为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1）求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点）；
②当错误!最小时，求点T的坐标．
又直线OT的斜率k OT＝－错误!，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ.
②由①可得，
|TF｜＝错误!，
｜PQ|＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!.
所以错误!＝错误!＝
错误!≥错误!＝错误!。

当且仅当m2＋1＝错误!，即m＝±1时，等号成立，此时错误!取得最小值．
故当错误!最小时,T点的坐标是(－3，1）或(－3，－1)．
2．（2014·安徽卷)设F1,F2分别是椭圆E:x2＋错误!＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A,B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．【答案】x2＋错误!y2＝1
＝错误!，故椭圆方程为x 2＋错误!＝1。

3．（2014·北京卷）已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1）求椭圆C 的离心率；
(2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．
【解析】解:(1）由题意，椭圆C 的标准方程为错误!＋错误!＝1.
所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2。

因此a ＝2，c ＝错误!。

故椭圆C 的离心率e ＝c
a
＝错误!.
（2）直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：
4．（2014·福建卷）设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆错误!＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( ）A．5错误!B。

错误!＋错误!
C．7＋ 2 D．62
【答案】D
则P，Q两点间的最大距离为5 2＋r＝6 错误!. 5．（2014·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦
点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π
3
,则椭圆和双曲线的
离心率的倒数之和的最大值为（）
A.错误!
B.错误!C．3 D．2
【答案】A
【解析】设｜PF1｜＝r1，｜PF2｜＝r2,r1〉r2，椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,椭圆、双曲线
6．（2014·湖南卷)如图1.7,O为坐标原点，椭圆C1：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2,离心率为e1；双曲线C2：错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝错误!，且|F2F4｜＝错误!－1.
（1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
图1.7
【解析】解：（1）因为e1e2＝错误!，所以错误!·错误!＝错误!，即a4－b4＝错误!a4,因此a2＝2b2,从而F2(b，0），
F4（错误!b，0),于是错误!b－b＝|F2F4|＝错误!－1，所以b＝1，a2＝2。

故C1，C2的方程分别为错误!＋y2＝1，错误!－y2＝1.
（2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由错误!
又因为|y1－y2｜＝错误!＝错误!，所以2d＝错误!.
故四边形APBQ的面积S＝错误!｜PQ|·2d＝错误!＝2 2·错误!.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2。

综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
7．（2014·江西卷)过点M(1，1)作斜率为－错误!的直线与椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b>0）相交于A，B两点,若M是线段AB 的中点，则椭圆C的离心率等于________．
【答案】错误!
【解析】设点A（x1,y1),点B（x2，y2),点M是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2,y1＋y2＝2，且错误!两式作差可得错误!＝
8．（2014·辽宁卷）已知椭圆C：错误!＋错误!＝1,点M与C 的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B,线段MN的中点在C上,则｜AN｜＋｜BN｜＝______．
【答案】12
【解析】取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M 关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称
点为B,则有|GF1|＝1
2
｜AN｜，|GF2｜＝错误!|BN｜，所以｜AN|
＋|BN|＝2（|GF1｜＋｜GF2|）＝4a＝12.
9．（2014·辽宁卷）圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1。

6所示）．双曲线C1:错误!－错误!＝1过点P且离心率为错误!。

(1）求C1的方程；
（2）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点．若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程．
【解析】解：（1）设切点坐标为(x0，y0)(x0〉0,y0〉0)，则切线斜率为－错误!，切线方程为y－y0＝－错误!(x－x0)，即x0x＋y0y ＝4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为错误!，错误!。

故其围成的三角形的面积S＝错误!·错误!·错误!＝错误!。

由x错误!＋y y0知,当且仅当x0＝y0＝错误!时x0y0有最大值2，此时S 错误!＝4≥2x0
有最小值4，因此点P的坐标为（错误!，错误!）．
又y1，y2是方程的根,因此
错误!
②
由x1＝my1＋错误!，x2＝my2＋错误!，得
错误!
因为错误!＝（错误!－x1，错误!－y1），错误!＝（错误!－x2,错误!－y2），由题意知AP→·错误!＝0,
所以x1x2－错误!（x1＋x2)＋y1y2－错误!（y1＋y2）＋4＝0，⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m2－2 错误!m＋4 错误!－11＝0，
解得m＝错误!－1或m＝－错误!＋1.
因此直线l的方程为
x－（错误!－1）y－错误!＝0或x＋(错误!－1)y－错误!＝0。

10．(2014·全国卷）已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为错误!,过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4错误!，则C的方程为（)
A.错误!＋错误!＝1 B。

错误!＋y2＝1
C.错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1
【答案】A
1．若椭圆C：错误!＋错误!＝1的焦点为F1,F2，点P在椭圆C
上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝( ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【答案】C
【解析】由题意得a＝3，c＝错误!,则｜PF2｜＝2。

在△F2PF1中,由余弦定理得
cos∠F2PF1＝42＋22－272
2×4×2
＝－
1
2
.
又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝错误!。

2．椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么｜PF2｜是｜PF1｜的( ）A．7倍B．5倍
C．4倍D．3倍
【答案】A
【解析】设线段PF2的中点为D，
则｜OD|＝错误!|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，
∴PF1⊥x轴。

∴|PF1|＝错误!＝错误!＝错误!。

又∵|PF1|＋|PF2|＝4错误!，
∴｜PF2|＝4错误!－错误!＝错误!。

∴｜PF2|是|PF1｜的7倍.
3．在同一平面直角坐标系中，方程ax2＋by2＝ab与方程ax ＋by＋ab＝0表示的曲线可能是( ）
A B C D
【答案】A
4．已知实数4,m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x2
m＋y2
＝1的离心率为( )
A.错误! B 。

错误!
C.错误!或错误! D 。

错误!或错误!
【答案】C
【解析】因为已知实数4,m,9构成一个等比数列,所以可得m 2＝36，解得m ＝6或m ＝－6。

当圆锥曲线为椭圆时，即错误!＋y 2＝1的方程为错误!＋y 2＝1。

所以a 2＝6，b 2＝1，则c 2＝a 2－b 2＝5.
所以离心率e ＝c a
＝错误!＝错误!。

当是双曲线时可求得离心率为7。

5．已知椭圆C 1：错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ）
A 。

错误! B.错误!
C 。

错误! D.错误!
【答案】C
6．设椭圆x 2
a 2＋错误!＝1(a ＞
b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P (a ，b ）满足｜F 1F 2｜＝|PF 2|,设直线PF 2与椭圆交于M 、N 两点,若｜MN |＝16,则椭圆的方程为（ ）
A.x 2144
＋错误!＝1 B 。

错误!＋错误!＝1 C 。

错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1
【答案】B
【解析】因为点P (a ，b )满足|F 1F 2|＝|PF 2｜，所以错误!＝2c ， 整理得2e 2＋e －1＝0,所以e ＝错误!，所以a ＝2c ，b ＝错误!c ,可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，
直线PF 2的方程为y ＝错误!(x －c ），代入椭圆方程，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0,解得x ＝0或错误!c ，得M (0，－错误!c ），
N 错误!，所以｜MN |＝错误!c ＝16，所以c ＝5，
所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
7．设椭圆C :错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于__________。

【答案】错误!
【解析】由题意知F 1(－c,0),F 2(c,0），其中c ＝错误!，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A 错误!，B 错误!。

因为AB 平行于y 轴，且｜F 1O ｜＝|OF 2｜，所以｜F 1D ｜＝|DB |,即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为错误!，又AD ⊥F 1B ,所以k AD ·KF 1B ＝－1，即错误!×错误!＝－1,整理得错误!b 2＝2ac ，所以错误!（a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝错误!，0＜e ＜1，所以错误!e 2＋2e －错误!＝0，解得e ＝错误!（e ＝－错误!舍去）.
8．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0）上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝错误!，sin(α
＋β)＝35
,则此椭圆的离心率为__________。

【答案】错误!。