2020_2021新教材高中数学成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用课件

i＝1
附： ＝
，＝y － x .
n
（xi－ x ）2
i＝1
【解析】(1) x ＝87＋76＋753＋66＋63 ＝73，
y ＝78＋66＋751＋64＋61 ＝68，
xi－ x
14 3 0 －7 －10 合计
(xi－ x )2
196 9 0 49 100 354
yi－ y
10 －2 3 －4 －7 —
结论：经验回归直线方程 我们将 ＝ x＋ 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公
式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，
n
（xi－ x ）（yi－ y ）
i＝1
求得的 ， 叫做 b，a 的最小二乘估计， ＝
＝
n
（xi－ x ）2
i＝1
n
xiyi－n x y
而变化，如表为抽样试验结果：
转速x(转/秒)
16 14 12 8
每小时生产有缺陷的零件数
Y(件)
11 9 8 5
(1)画出散点图； (2)如果 Y 与 x 有线性相关的关系，求经验回归方程． 【思维导引】(1)根据表中数据作图． (2)根据经验回归方程公式求 ， ，即可写出经验回归方程．
【解析】(1)画出散点图，如图所示：
有5名学生的数学和化学成绩如表所示：
学生学科
A B CDE
数学成绩(x) 87 76 73 66 63
化学成绩(Y) 78 66 71 64 61
(1)如果Y与x具有相关关系，求经验回归方程 ＝ x＋ ；
(2)预测如果某学生数学成绩为79分，他的化学成绩为多少？(结果取整数)
n
（xi－ x ）（yi－ y ）
【跟踪训练】 某山区为研究居民家庭月人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机
抽取10户进行调查，其结果如表：
试预测月人均收入为1 100元和月人均收入为1 200元的两个家庭的月人均生活 费，并进行残差分析．
所以
＝
x iy i 6 x y
i1
6
x
2 i
6
x
2
1 076.2－6×17.5×9.487 ≈ 2 275－6×17.52
≈0.183，
i1
所以 ＝ y － x ≈9.487－0.183×17.5≈6.285， 故所求经验回归方程为 ＝0.183x＋6.285.
(2)由题意及(1)中的经验回归方程可得表：
yi－ i
0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－ y
－2.24 －1.37 －0.54 0.41
1.41 2.31
6
所以 (yi－ i) 2＝0.052＋0.0052＋(－0.08)2 i 1
＋(－0.045)2＋0.042＋0.0252≈0.013 18，
6
4
4
(2) x ＝12.5， y ＝8.25， xiyi＝438， xi2 ＝660，
4
x iy i 4 x y
所以 ＝ i 1
4
x
2 i
4x
2
i 1
i 1
＝4386－604－×41×21.52×.582.25 ≈0.728 6，
i1
＝ y － x ＝8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 故经验回归方程为 ＝0.728 6x－0.857 5.
i＝1
， ＝y － x .
n x2i －n x 2
i＝1
1．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如表：
考试次数 1
x
234
所减分数 4.5 4 3 2.5
Y
显然所减分数Y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其经验回归方程 为( ) A． ＝0.7x＋5.25 B． ＝－0.6x＋5.25 C. ＝－0.7x＋6.25 D． ＝－0.7x＋5.25
为研究质量x(单位：克)对弹簧长度Y(单位：厘米)的影响，对不同质量的6个物 体进行测量，数据如表所示：
x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求经验回归方程； (2)求出 R2； (3)进行残差分析．
【解析】(1)根据所给数据，作出散点图如图所示：
yi－
y
2＝(－2.24)2＋(－1.37)2＋(－0.54)2＋0.412＋1.412＋2.312＝14.678 4，
i 1
6
(y i y i)2
所以
R2＝1－
i＝ 1 6
(y i y )2
≈1－01.40.61738148
≈0.999 1.
i＝ 1
(3)①由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这 个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模 型； ②由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在狭窄的水平带状区域中，说明选用 的线性回归模型的精度较高． 由以上分析可知，弹簧长度与质量具有线性关系．
＝1－（－2.8）2＋（－01..625）1 2＋0.52＋1.52＋22 ＝1－01.56.5718 ≈0.9587. (4)经验回归方程 ＝1.23x＋0.08，所以当 x＝10 年时， ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万 元)， 即估计使用 10 年时维修费是 12.38 万元．
【类题通法】建立线性回归模型的基本步骤： (1)确定研究对象，明确解释变量和响应变量； (2)画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关 系等)； (3)由经验确定回归方程的类型； (4)按一定的规则估计回归方程的参数； (5)对所建立的模型进行残差分析，判断拟合效果．
由表中的数据可得 x ＝16 ×(5＋10＋15＋20＋25＋30)
＝17.5，
y ＝61 ×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8) ≈9.487，
6
xi2 ＝52＋102＋152＋202＋252＋302＝2 275，
i 1
6
i 1
xiyi＝65×7.25＋10×8.12＋15×8.95＋20×9.90＋25×10.9＋30×11.8＝1 076.2，
【解析】由题意e为随机变量，e称为随机误差．根据随机误差的意义，可得E(e) ＝0. 答案：0
主题2 经验回归方程的求解 如何对具有线性相关关系的两个变量进行分析？
提示：对具有线性相关关系的变量，利用回归分析的方法进行研究．其步骤为 画散点图，求经验回归直线方程，并利用经验回归方程对模型刻画数据的效果 进行分析，借助残差分析对模型进行改造，使我们能够根据改进模型作出符合 实际的预测和决策．
【延伸探究】 本题条件不变，求：若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零
件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
【解析】要使y≤101 9. 故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．
【类题通法】求回归直线方程的步骤 (1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数． (3)写方程：写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测．
2＝3.8－3.77＝0.03； 3＝5.5－5＝0.5； 4＝6.5－6.23＝0.27； 5＝7.0－7.46＝－0.46； 所以残差的平方和为：(－0.34)2＋0.032＋0.52＋0.272＋(－0.46)2＝0.651.
(3)R2＝1－ 5 0 . 6 5 1
(y i y)2
i1
(xi－ x )(yi－ y )
140 －6 0 28 70 232
5
＝
(x i x )(yi y)
i1
5
(x i x )2
＝233524 ≈0.655，
＝ y －i1 x ＝68－0.655×73＝20.185，
所以 Y 对 x 的经验回归方程为 ＝0.655x＋20.185.
(2)当x＝79时， ＝0.655×79＋20.185＝71.93≈72， 所以预测该学生的化学成绩为72分．
【解析】选D. x ＝3， y ＝94＋5 m ，
由回归直线
＝1.9x＋17.9经过样本中心
x
，
y
，可得94＋5 m
＝1.9×3＋17.9，
解得m＝24.
核心互动探究
探究点一 求经验回归方程
【典例1】一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来 的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速度
【解析】(1)由已知条件制成表：
于是有 ＝1129.03－－55××442×5 ＝1120.3 ＝1.23， ＝ y － x ＝5－1.23×4＝0.08， 所以 ＝1.23x＋0.08.
(2)由公式得 1＝1.23×2＋0.08＝2.54； 2＝1.23×3＋0.08＝3.77； 3＝1.23×4＋0.08＝5； 4＝1.23×5＋0.08＝6.23； 5＝1.23×6＋0.08＝7.46. 所以 1＝2.2－2.54＝－0.34；
统计资料：
使用年限 23456
x
维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
Y
若由资料知，Y与x呈线性相关关系，试求： (1)经验回归方程 ＝ x＋ 的回归系数 ， ； (2)求残差平方和； (3)求R2； (4)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【思维导引】(1)利用回归系数计算公式求解； (2)先求残差，再求平方和； (3)代入公式求解； (4)将x＝10代入经验回归方程求 的值．
8．2 一元线性回归模型及其应用
基础预习初探
主题1 一元线性回归模型 某商场近5个月的销售额和利润额如表所示：
(1)两变量x与Y是否具有函数关系？ 提示：销售额x与利润额Y之间不是函数关系．
(2)两变量x与Y是否具有相关关系？
提示：作出散点图如图所示：
由图可知两个变量具有线性相关关系．
结论：一元线性回归模型：
【跟踪训练】 随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐，如
表是西南地区某大学近五年的录取平均分高于省一本线分值对比表：
(1)根据表中数据可知，Y 与 t 之间存在线性相关关系，求 Y 关于 t 的经验回归方程；
(2)假设 2021 年该省一本线为 520 分，利用(1)中求出的回归方程预测 2021 年该大
Ybxae，
Ee0,De2
为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变
量；x称为自变量或解释变量；a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a
之间的随机误差．
1．在线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是( ) A．Y＝bx＋a＋e是一次函数 B．因变量Y是由自变量x唯一确定的 C．因变量Y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素 会导致随机误差e的产生 D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生
【解析】选D. x ＝1＋2＋4 3＋4 ＝25 ， y ＝4.5＋4＋4 3＋2.5 ＝72 ， 即样本中心点为52，72 ，代入满足 ＝－0.7x＋5.25.
2．相关变量x，Y的样本数据如下表： x1 2 34 5 Y 20 21 m 26 27
经回归分析可得Y与x呈线性相关，并由最小二乘法求得相应的经验回归方程为 ＝1.9x＋17.9，则表中的m＝( ) A.23.6 B．23 C.24.6 D．24
学录取平均分． n
(ti t)(yi y)
参考公式： ＝ i1 5
(ti t)2
i1
， ＝ y － ·t
【解析】(1)由题知： t ＝51 (1＋2＋3＋4＋5) ＝3，
y
＝51
(28＋34＋41＋47＋50) 5
＝40，
(ti t)(yi y)
所以得： ＝ i1 5
＝5.7，
(ti t)2
【解析】选C.线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是确定性关系，因此 不是一次函数，A错误．选项B中，因变量Y不是由自变量x唯一确定的，B 错．选项D中，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，但是不能没有误差， 因此D错．
2．具有线性相关的两个随机变量x，Y可用线性回归模型Y＝bx＋a＋e表示，通 常e是随机变量，称为随机误差，它的均值E(e)＝________．
i1
＝ y － ·t ＝40－3×5.7＝22.9，
故所求经验回归方程为 ＝5.7t＋22.9.
(2)由(1)知：当t＝6时， ＝57.1，故预测该大学2021年的录取平均分为520＋57.1 ＝577.1.
探究点二 建立线性回归模型求解问题
【典例2】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用Y(万元)，有如表的