上海光明中学2022年高一数学文期末试题含解析

上海光明中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. ABC中，设命题p：，命题q：ABC为等边三角形，则命题p是命题q的（）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分又不必要条件
参考答案：
解析：根据正弦定理：∴
∴命题①∴由①得
同理由①可得 b=c, a=b②∴由①②得 a=b=c, 即 ABC为正三角形∴p q 又 q p显然成立于是可知，p是q的充分必要条件，应选C
2. 已知函数的值域为，且图像在同一周期内过两点
，则的值分别为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
先利用可求出的值，再利用、两点横坐标之差的绝对值为周期的一半，计算出周期，再由可计算出的值，从而可得出答案。

【详解】由题意可知，，
、两点横坐标之差的绝对值为周期的一半，则，，
因此，，，故选：C。

【点睛】本题考查三角函数的解析式的求解，求解步骤如下：（1）求、：，；
（2）求：根据题中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；
（3）求：将对称中心点和最高、最低点的坐标代入函数解析式，若选择对称中心点，还要注意函数在该点附近的单调性。

3. 如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称, 则不等式组表示的平面区域的面积是
A. B. C.1 D.2
参考答案：
A
由题中条件知k=1,m=-1,易知区域面积为.
4. 三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为( )
A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3
C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.8
参考答案：
A
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，
∴log20.8＜0.993.3＜log3π，
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍甍.四边形ABCD为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
分别计算出每个面积，相加得到答案.
【详解】
故答案选A
【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.
6. 设全集U＝{0,1,2,3,4},集合A={1，2，3,},B={2,3,4},则= （
）
A、{0}
B、{1}
C、
{0,1} D、{01,2,3,4}
参考答案：
B
7. 下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）A．B．C．D．
参考答案：
B
8. 若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A．＜B．（a﹣b）c2≥0C． a2＞b2 D． ac＞bc
参考答案：
B
考点：不等式的基本性质．
专题：不等式．
分析：对于A，C，D举反例即可判断，对于B，根据不等式的性质即可判断
解答：解：对于A，若a=1，b=﹣1，则＞，故A不成立，
对于B，a＞b，则a﹣b＞0，故（a﹣b）c2≥0，故B成立，
对于C，若a=1，b=﹣1，则a2=b2，故C不成立，
对于D，若c=0，则ac=bc，故D不成立，
故选：B．
点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题
9. 设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
参考答案：
A
略
10. 过点圆的切线,则切线方程为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
C 当过点圆
的直线斜率不存在时，直线方程为
，此时满足题意；当过点圆
的
直线斜率存在时，设直线方程为
，即
，由
，所以此时所求直线方程为。

综上知：满足题意的直
线方程为。

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若f （sin2x ）=5sinx ﹣5cosx ﹣6（0＜x ＜π），则f （﹣
）= ．
参考答案：
1
解：令sin2x=，得
，
∵0＜x ＜π，
∴
，则sinx ﹣cosx ＞0，
∴sinx﹣cosx==，
∴f（﹣
）
=f （sin2x ）=5（sinx ﹣cosx ）﹣6=5×
．
故答案为：1． 12. 如图，已知正方体的棱长为，在侧面对角线
上取一点
，在侧面对角线
上取一点
，使得线段
平行于对角面
，若
是正三角形，则
的边长为
__________．
参考答案：
当
，
分别为
与
的中点时，
，
，，
此时为等边，边长为．
13. 已知函数，则______________.
参考答案：
11 略
14. 方程的解是_____________。

参考答案：
解析：
15. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm ，高与斜高夹角为35°,则斜高为_________；侧面
积为_________；全面积为_________.(单位：精确到0.01) 参考答案：
略
16. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB 边上的中线的实际长度为 ．
参考答案：
【考点】斜二测法画直观图．
【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出△ABC 实际为一个直角边长分别为3，4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【解答】解：∵直观图中A′C′=3，B′C′=2， ∴Rt△ABC 中，AC=3，BC=4 由勾股定理可得AB=5
则AB 边上的中线的实际长度为
故答案为：
17. 设
，
是不共线的二个向量，
+
，
，且、可作为平面向量的基底，
则实数K
的取值范围是 .
参考答案：
且
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知
，令函数，且f
（x ）的最小正周期为π． （1）求ω的值；
（2）求f （x ）的单调区间．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．
【分析】（1）可利用向量的坐标运算公式结合正弦与余弦的二倍角公式化简函数的表达式，由最小正周期为π即可求得ω的值；
（2）直接利用正弦函数的单调增区间于函数的单调减区间，即可求f （x ）的单调区间． 【解答】解：（1）f （x ）=sinωxcosωx+cos 2ωx=﹣
sin2ωx+cos2ωx+=﹣sin （2ωx﹣
）+． ∵ω＞0，∴T=
=π，
∴ω=1．
（2）由（1）可知f （x ）=﹣sin （2x ﹣）+．
∵2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+
，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z 函数是减函数．
由2kπ+
≤2x﹣
≤2kπ+
，k∈Z，
得kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z 函数是增函数．
所以函数的单调减区间为[kπ﹣
，kπ+
]，k∈Z．
函数的单调增区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z．
19. (本题满分12分) 经英国相关机构判断，MH370在南印度洋海域消失.中国两舰艇随即在边长为100海里的某正方形ABCD （如图）海域内展开搜索.两艘搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前
联合搜索，且（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面.设，搜索区域的面积为
.
（1）试建立与
的关系式，并指出的取值范围；
（2）求
的最大值，并求此时
的值.
参考答案：
（1）
,
（2）令, ,
则，当时，
.
∴当时，搜索区域面积的最大值为()平方海里.
20. （本小题满分10分）
已知函数是定义在上的奇函数，当时的图象如图所示．（1）画出函数在上的图象，
（2）求函数的解析
式．参考答案：
4分
∴当时，函数的解析式为，----------------------------------5分当时，，故有，-------------------7分
，-------------------------------------------------------------------4分∴当时，函数的解析式为，----------------------------------5分当时，函数图象所在的直线过点（-1,0），（0,-2），
其方程为，-----------------------------------------------------------7分即当时，，----------------------------------------------8分
当时，由得-----------------------------------9分
∴--------------------------------------------------10分21. 已知二次函数f（x）=ax2+1（x∈R）的图象过点A（﹣1，3）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
参考答案：
【考点】二次函数的性质．
【分析】（Ⅰ）A代入函数的解析式，求出a，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用导数知识证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
【解答】（Ⅰ）解：∵二次函数f（x）=ax2+1（x∈R）的图象过点A（﹣1，3），
∴a+1=3，∴a=2，
∴函数的解析式为f（x）=2x2+1
（Ⅱ）证明：∵f（x）=2x2+1，
∴f′（x）=4x，
∵x＜0，∴f′（x）=4x＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
22. 已知全集集合，集合
(1）求集合
(2）求
参考答案：
（1）由已知得，
解得由得，即，所以且解得
(2）由（1）可得
故。