奥数试题3道解析

题目：如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?
题型：解答题
难度：难题
考点：简单的排列组合
思路启发：观察路线图可知，甲→乙→丙的第一次有3条路，第二次有3条路，因为从甲到乙的一条路对应着从乙到丙的三条路，所以甲→乙→丙可有3×3＝9条路线；同样方法甲→丁→丙的第一次有2条路，第二次有4条路，路线有2×4＝8条.因此共有9＋8＝17条.答案：17条
解答过程：解：3×3＋2×4
＝9＋8
＝17（条）
答：从甲地到丙地共有17条不同的路线.
归纳总结：此题考查了简单的排列组合，可以用列举法列举出所有的路线得出答案.也可以利用乘法原理与加法原理来解答.
题目：
题型：填空题
难度：难题
考点：数字的变化规律
思路启发：观察算式特点，探究其中的规律，然后解答，因为3
1×2×3×4＝1
1×2×3
−1
1×2×3×4
，
据此把其他的算式进行变形，最后得出原式＝1−1
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10，算出答案.
答案：3628799
3628800
解答过程：解：1
1×2＋2
1×2×3
＋3
1×2×3×4
＋⋯＋9
1×2×⋯×10
＝
1−1
2＋1
1×2
−1
1×2×3
＋1
1×2×3
−1
1×2×3×4
＋1
1×2×3×4
−
1
1×2×3×4×5＋⋯＋1
1×2×3×4×5×6×7×8×9
−1
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10
＝1−1
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10
＝1−1
3628800
＝3628799
3628800
归纳总结：本题考查了分数的巧算，此题的关键是探索其中的计算规律，比如
9
1×2×⋯×10＝1
1×2×3×4×5×6×7×8×9
−1
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10
.遇到这样的题目，要观察算式的特点，
根据其中的规律进行巧算.
题目：小高放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行．已知小高步行的速度是1米／秒．公共汽车的速度是9米／秒，每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，那么每隔多少分钟会有一辆公共汽车与小高迎面相遇？
题型：解答题
难度：难题
考点：相遇问题、追及问题
思路启发：把公共汽车和小高的行走过程看做是围着操场跑步的追及问题，所以操场的长度是9×9×60－1×9×60＝4320米，问几分钟一辆公共汽车和小高迎面相遇，看做是小高和公共汽车同时从操场的一点出发相背而行，用总路程除以速度和即求出相遇时间.
答案：
解答过程：解：9分钟＝540秒
（9－1）×540÷（1＋9）
＝4320÷10
＝432（秒）
＝7.2（分钟）
答：每隔7.2分钟会有一辆公共汽车与小高迎面相遇.
归纳总结：本题考查了追及问题，追及问题是行程问题的另一种情况，又叫同向行程问题.常用的数量关系式（设甲追乙）有：甲行的路程＝乙行的路程＋路程差，甲速度×追及时间＝乙速度×追及时间＋路程差，追及时间＝路程差÷（速度差）.解答本题的关键是把问题转化为追及问题.本题还涉及了相遇问题中的速度和×相遇时间＝总路程.。