2020-2021初中数学方程与不等式之一元二次方程分类汇编含答案(1)

2020-2021初中数学方程与不等式之一元二次方程分类汇编含答案(1)
一、选择题
1．用配方法解方程：x2﹣2x﹣3=0时，原方程变形为（）
A．（x+1）2=4 B．（x﹣1）2=4 C．（x+2）2=2 D．（x﹣2）2=3
【答案】B
【解析】
试题分析：将原方程的常数项﹣3变号后移项到方程右边，然后方程两边都加上1，方程左边利用完全平方公式变形后，即可得到结果．
解：x2﹣2x﹣3=0，
移项得：x2﹣2x=3，
两边加上1得：x2﹣2x+1=4，
变形得：（x﹣1）2=4，
则原方程利用配方法变形为（x﹣1）2=4．
故选B．
2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，
第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；
故选B.
3．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（）
A．6或8 B．10C．10或8 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果.
【详解】
解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8
当8为直角边时，第三边10
==
当8为斜边长时，第三边==
故选B.
考点：解一元二次方程，勾股定理
点评：分类讨论问题是初中数学学习中的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，一般难度较大，需特别注意.
4．若代数式226(3)1x x m x ++=+-，则m =（ ）
A ．-8
B ．9
C ．8
D ．-9
【答案】C
【解析】
【分析】
已知等式右边利用完全平方公式化简，利用多项式相等的条件求出m 的值即可．
【详解】 226(3)1x x m x ++=+-=x 2+6x+8，
可得m=8，
故选：C.
【点睛】
此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握计算公式.
5．设O e 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离OP m =，且m 使得关于x 的方程
2610x m -+-=没有实数根，则直线l 与O e 的位置关系为（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
欲求圆与AB 的位置关系，关键是求出点C 到AB 的距离d ，再与半径r=2进行比较，即可求解．若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．
【详解】
∵关于x 的方程6x 2x+m-1=0没有实数根，
∴△=b 2-4ac ＜0，
即48-4×6×（m-1）＜0，
解这个不等式得m ＞3，
又因为⊙O 的半径为3，
所以直线与圆相离．
故选：A ．
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式．解题关键在于通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判断．
6．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41
B ．-35
C ．39
D ．45 【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．
【详解】
∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，
∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，
∴22a 3ab 8b 2a ++-
=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2
=2×0+3×（-1）+8×5+2
=39．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -
，x 1·x 2=c a
；熟练掌握韦达定理是解题关键．
7．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A ．k ≠0
B ．k ＞4
C ．k ＜4
D ．k ＜4且k ≠0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k ＞0，然后解不等式即可．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程2x 4x k 0-+=有两个不相等的实数根，
∴2=(-4)40k ∆-＞
解得：k ＜4．
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程
有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
8．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．100（1+x ）2=282
B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282
C ．100（1+2x ）＝282
D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282
【答案】B
【解析】
【分析】
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】
五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002(1)x +， 根据题意可得：
100+100（1+x ）+1002(1)x +=282.
故选：B ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为2
(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．
9．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( )
A ．m ＜1
B ．m ＞﹣1
C ．m ＞1
D ．m ＜﹣1
【答案】C
【解析】
试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2
24241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，
解得： 1.m >
故选C ．
10．以3和4为根的一元二次方程是（ ）
A ．27120x x -+=
B ．27120x x ++=
C ．27120x x +-=
D ．27120x x --=
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可．【详解】
A、在x2﹣7x+12=0中，x1+x2=7，x1x2=12，此选项正确；
B、在x2+7x+12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=12，此选项不正确；
C、在x2+7x﹣12=0中，x1+x2=7，x1x2=﹣12，此选项不正确；
D、在x2﹣7x﹣12=0中，x1+x2=﹣7，x1x2=﹣12，此选项不正确；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=b
a
，x1•x2=
c
a
．
11．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）
A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．2x2﹣x﹣1＝0 D．2x2﹣x+1＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据判别式即可求出答案．
【详解】
A.△＝4，故选项A有两个不同的实数根；
B.△＝4﹣4＝0，故选项B有两个相同的实数根；
C.△＝1+4×2＝9，故选项C有两个不同的实数根；
D.△＝1﹣8＝﹣7，故选项D没有实数根；
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
12．关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是( ) A．a＞1 B．a=1 C．a＜1 D．a<1且a≠0
【答案】D
【解析】
【分析】
由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a的不等式，求出a的取值范围．
【详解】
解：由于原方程是二次方程，所以a≠0；
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1；
综上，可得a≠0，且a ＜1；
故选D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△＜0⇔方程没有实数根．
13．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=o ，2a BC =
，AC b =，再在斜边AB 上截取2
a BD =.则该方程的一个正根是（ ）
A ．AC 的长
B ．AD 的长
C ．BC 的长
D ．CD 的长
【答案】B
【解析】
【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB 的长，进而求得AD 的长,即可发现结论. 【解答】用求根公式求得：22221244b a a b a a x x -+-+-== ∵90,2a C BC AC b ∠=︒=
=，， ∴224
a AB
b =+， ∴2222
4.422a a b a a AD b +=+= AD 的长就是方程的正根.
故选B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
14．已知关于x 的一元二次方程2304
x x a --+= 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值为( ) A ．-1 B ．0
C ．2
D ．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根的判别式即可求出a的范围．【详解】
由题意可知：△＞0，
∴1﹣4（﹣a+3
4
）＞0，
解得：a＞1 2
故满足条件的最小整数a的值是1，
故选D．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.
15．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）
A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m
【答案】C
【解析】
【分析】
设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】
设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，
根据题意得：（30﹣2x）x＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10．
当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，
∴x＝5舍去．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）
A．方程有两个相等的实数根
B ．方程有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.
考点：一元二次方程根的判别式．
17．某种药品的价格，二月比一月下降百分比为m ，三月比二月下降百分比为x ，一月到三月的平均每月下降率为n ，则下列关系式正确的是（ ）．
A ．2x n m =-
B ．221n n m x m -+=-
C ．1x m n =--
D ．221
m m n x n -+=- 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意分别表示三月的价格建立方程求解即可．
【详解】
解：设一月的价格为,a 则二月的价格为(1),m a - 三月的价格为(1)(1)x m a --， 而三月的价格又可表示为：2(1),a n - 2(1)(1)(1),x m a a n ∴--=-
2
121,1n n x m
-+∴-=- 221221.11
n n n n m x m m -+-+∴=-=-- 故选B ．
【点睛】
本题考查的是含字母系数的方程的应用，同时考查分式的加减运算，掌握相关知识点是解题关键．
18．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为（ ）
A ．()2100181x +=
B ．()2811100x +=
C ．()2811100x -=
D ．()2
100181x -=
【答案】D
【解析】
【分析】
此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
【详解】
由题意可列方程是：()2
100181x -=.
故选：D.
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于列出方程
19．方程x 2﹣9x +14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A ．11
B ．16
C ．11或16
D ．不能确定 【答案】B
【解析】
【分析】
先利用因式分解法解方程求出x 的值，再分情况讨论求解可得．
【详解】
∵x 2﹣9x +14＝0，
∴（x ﹣2）（x ﹣7）＝0，
则x ﹣2＝0或x ﹣7＝0，
解得x ＝2或x ＝7，
当等腰三角形的腰长为2，底边长为7，此时2+2＜7，不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的腰长为7，底边长为2，此时周长为7+7+2＝16，
故选：B ．
【点睛】
此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ）
A ．k 为任何实数，方程都没有实数根
B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【答案】B
【解析】
∵关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0中
△=（2k ）2﹣4×（k ﹣1）=4k 2﹣4k+4=（2k ﹣1）2+3＞0
∴k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B ．。