2024年四川省达州市宣汉县中考一模考试数学试题

2024年四川省达州市宣汉县中考一模考试数学试题
一、单选题
1．2024的倒数是（ ）
A ．2024
B ．2024-
C ．12024
D ．12024- 2．下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列运算正确的是（ ）
A ．336x x x +=
B ．235a a a ⋅=
C ．()32626x x =
D ．()2211x x =++ 4．某校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一位选手的评分分别为：85，87，88，89，85，92，90．则这组数据的中位数为（ ）
A ．87
B ．88
C ．89
D ．90
5．如图，ABC ADE △≌△，30B ∠=︒，115E ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）
A ．35︒
B ．30︒
C ．45︒
D ．25︒
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x 尺，绳子
长为y 尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A ． 4.5112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
B ． 4.5112
y x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ C ． 4.5 21y x y x =+⎧⎨=-⎩ D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=+⎩
7．如图，O e 的弦CD 与直径AB 相交，若60BAD ∠=︒，则ACD ∠=（ ）
A ．55︒
B ．40︒
C ．35︒
D ．30︒
8．如图，点()2,12A 在反比例函数()0k y k x
=≠的图象上，AB ，AC 分别垂直于x 轴、y 轴，点D 在位于AB 右侧的反比例函数的图象上，DE ，DF 分别垂直于x 轴、AB 于E ，
F 两点，若四边形DEBF 为正方形，则这个正方形的面积等于（ ）
A ．24
B ．18
C ．16
D ．12
9．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，7AB =，9BC =，现把矩形纸片折叠，使得点C 落在AB 边上的点C '处（不与A ，B 重合），点D 落在D ¢处，此时，C D ''交AD 边于点E ，设折痕为PQ ．若PBC C AE ''≌△△，则cos BC P '∠的值为（ ）
A ．35
B ．37
C ．45
D ．47
10．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数y x c =-+（c 为常数，0c <）的图象与x 轴交于点M ，
其轴点函数2y ax bx c =++与x 轴的另一交点为N.若14
ON OM =，则b 的值为（ ） A ．5± B ．3或1- C ．3± D ．5-或3
二、填空题
11．因式分解：22x xy -=．
12．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数()34y k x =+-经过第一、三、四象限，则k 的取值范围是.
13．如图，AB CD P ，4
1BE BC =，则ABE V 与DCE △的面积比为．
14．某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A 、B 、C 、D ）四个大字，要求BC AD ∥，最高点的五角星（点E ）到BC 的距离为0.5米，2BC =米，4=AD 米，则点C 到AD 的距离为米．
15．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，
BC =P 在线段BC 上运动（含B ，C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60︒到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为.
三、解答题
16．（1）计算：()0
2tan 6012π︒++；
（2）化简2111122x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，并从2，1，0，1-中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．
17．学校初三课后服务，决定开设以下四个兴趣活动项目：A .英语口语训练；B .语文阅读；
C .数学史研究；
D .物理实验探究，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)在平时的英语口语训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加英语演讲比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）． 18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，AB EF =，且CB CE =，过C 作CH AB ∥．
(1)求证：ACH BCD ∠=∠；
(2)求证：CD CH =．
19．北京时间2024年1月23日，新疆阿克苏地区乌什县发生7.1级地震，相关部门第一时间赶赴现场参与救授工作如图，某探测队在地面A ，B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25︒和60︒，且6AB =米，求该生命迹象所在位置C
的深度.（结果精确到1米.参考数据：sin250.4︒≈，cos250.9︒≈，tan250.5︒≈ 1.7≈）
20．如图，一次函数()110y k x b k =+≠与反比例函数()220k y k x
=≠的图象交于()1,A m -和点()4,1B ．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)已知直线AB 交y 轴于点C ，点(),0P n 在x 轴的正半轴上，若BCP V 为等腰三角形，求n 的值．
21．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商
店销售“蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y （
件）与销售价x （元/件）之间的关系如图所示．
(1)求y 关于x 的函数表达式；
(2)由于某种原因，该商品进价提高了a 元/件（0a >），物价部门规定该玩具售价不得超过50元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润w 是2100元，求a 的值．
22．如图，O e 是ABC V 的外接圆，AB 是O e 的直径，CD 与O e 相切于点C ．
(1)求证：DCA B ∠=∠；
(2)若DE AB ⊥，垂足为点E ，DE 交AC 于点F ，20CD =，3tan 4
A =，求CF 的长． 23．阅读下列材料：我们发现，关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，如果24b ac
∆=-的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，∆的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠称为“全整根方程”，代数式
244ac b a
-的值为该“全整根方程”的“最值码”，用(),,Q a b c 表示，即()24,,4ac b Q a b c a -=；若另一关于x 的一元二次方程()200px qx r p ++=≠也为“全整根方程”，其“最值码”记为
(),,Q p q r ，当满足()(),,,,Q a b c Q p q r c -=时，则称一元二次方程()200ax bx c a ++=≠是一
元二次方程()200px qx r p ++=≠的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”2320x x -+=的“最值码”是______；
(2)关于x 的一元二次方程()2221230x m x m m --+--=（m 为整数、且415m <<）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；
(3)若关于x 的一元二次方程()2120x m x m +-+-=是()210x n x n +--=（m ，
n 均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m n -的值．
24．如图，已知抛物线()220y ax ax c a =-+<与x 轴交于点()1,0A -、()3,0B 两点，顶点为
P ，与y 轴交于点C ，且ABC V 的面积为6．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y 轴于点E ，顶点Q 在原抛物线上，当四边形APQE 是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；
(3)若过定点()2,1K 的直线交抛物线于M ，N 两点（N 点在M 点右侧），过N 点的直线2y x b =-+与抛物线交于点G ，求证：直线MG 必过定点．
25．过四边形ABCD 的顶点A 作射线AM ，P 为射线AM 上一点，连接DP .将AP 绕点A 顺时针方向旋转至AQ ，记旋转角PAQ α∠=，连接BQ ．
(1)【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD 中AD AB =，且DAB α∠=．无论点P 在何处，总有BQ DP =，请证明这个结论；
(2)【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD 是菱形，60DAB α∠==︒，15MAD ∠=︒，连接
PQ ．当PQ BQ ⊥，AB AP 扫过的面积；
(3)【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD 是矩形，3AD =，4AB =，AM 平分DAC ∠，90α=︒．在射线AQ 上截取AR ，使得43
AR AP =
．当PBR △是直角三角形时，请直接写出AP 的长．。