高三空间几何专项练习题

高三空间几何专项练习题
一、判断题
1. 两个平面相交于一条直线，那么这两个平面一定是平行的。

（）
答案：错误
解析：两个平面相交于一条直线，说明它们至少有一条公共的直线。

在三维空间中，平面和平面之间可以相交于一条直线，也可以互相平行。

2. 若两个平面分别与直线l平行，则这两个平面一定平行。

（）
答案：正确
解析：直线与平面平行，即两者没有交点。

若两个平面分别与直线
l平行，说明直线l不与这两个平面相交，也就是这两个平面之间没有
公共的点，因此两个平面平行。

3. 通过一点a和不在这点的两条不共面的直线可以做出无数个平行线。

（）
答案：正确
解析：在空间中，通过一点a可以分别做出不与已知两直线相交的
无数条直线，这些直线与已知两直线平行。

二、选择题
1. 已知点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，则向量AB的坐标表示为（）。

A. (3, 3, 3)
B. (4, 3, 3)
C. (3, 3, 3)
D. (4, 5, 6)
答案：B. (4, 3, 3)
解析：向量AB的坐标表示为(Bx-Ax, By-Ay, Bz-Az) = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)。

2. 设直线l1的方程为x-1/2=y-1/3=z-1/4，直线l2的方程为x-2/3=y-
2/4=z-2/5，则直线l1与直线l2的关系是（）。

A. 相交
B. 平行
C. 相交且垂直
D. 相交且斜交
答案：B. 平行
解析：直线的方向向量相同，说明两条直线平行。

3. 设平面P的方程为2x-3y+4z-4=0，平面Q的方程为3x-4y+6z-1=0，则平面P与平面Q的关系是（）。

A. 相交
B. 平行
C. 相交且垂直
D. 相交且斜交
答案：C. 相交且垂直
解析：平面的法向量互相垂直，且不平行，则平面P与平面Q相交
且垂直。

三、计算题
1. 已知四边形ABCD，其中AB = 3，BC = 4，CD = 5，DA = 6，求
其面积。

答案：通过已知边长构造四边形ABCD，并连接BD，可知BD为
对角线，根据余弦定理可得：
BD² = AB² + AD² - 2AB*AD*cos∠BAD
= 3² + 6² - 2*3*6*cos∠BAD
= 45
根据海伦公式（Heron's formula），四边形的面积S为：
S = √[p(p-AB)(p-BC)(p-CD)(p-DA)]
= √[(3+4+5+6)/2 * (3+4+5-6)/2 * (3+4-5+6)/2 * (3-4+5+6)/2]
= √[9 * 6 * 4 * 5]
= √[1080]
= 6√[30]
因此，四边形ABCD的面积为6√[30]。

2. 已知平面P通过点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，平面Q通过点C(2, 3, 4)和D(5, 6, 7)，求平面P和平面Q的夹角。

答案：平面的法向量垂直于平面，根据法向量的性质，平面P的法向量为n1 = (B-A) × (B-C)，平面Q的法向量为n2 = (D-C) × (D-A)。

其中 ×表示向量的叉乘。

n1 = (4-1, 5-2, 6-3) × (4-2, 5-3, 6-4)
= (3, 3, 3) × (2, 2, 2)
= (0, 6, -6)
n2 = (5-2, 6-3, 7-4) × (5-1, 6-2, 7-3)
= (3, 3, 3) × (4, 4, 4)
= (0, -12, 12)
根据向量的点乘公式，两个法向量的夹角θ为：
cosθ = (n1 · n2) / (|n1| * |n2|)
= (0 * 0 + 6 * (-12) + (-6) * 12) / (√(0² + 6² + (-6)²) * √(0² + (-12)² + 12²))
= (-72) / (√(36 + 36 + 36) * √(36 + 144 + 144))
= -72 / (√108 * √324)
= -72 / (6√3 * 18)
= -1 / 3√3
因此，平面P和平面Q的夹角为acos(-1 / 3√3)。