排列组合-中档难度-习题

排列组合
一、选择题（共12小题；共60分）
1.
A. B. C. D.
2. 把个不同的黑球，个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是
A. B. C. D. 以上都不对
3. 把三张游园票分给个人中的人，分法有
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
4. 下面几个问题中属于组合问题的是
①由，，，构成的双元素集合；
②个队进行单循环足球比赛的分组情况；
③由，，构成两位数的方法；
④由，，组合无重复数字的两位数的方法．
A. ①③
B. ②④
C. ①②
D. ①②④
5. 在某种信息传输过程中，用个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示
不同信息，若所用数字只有和，则与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A. B. C. D.
6. 将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由
名教师和名学生组成，不同的安排方案共有
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
7. 将 A，B，C，D 这名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与 B 相邻且 A 与 C之间恰好有名
同学”的概率是
A. B. C. D.
8. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“”，“”，“”，“”．现从中随机选取三个
球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是
A. B. C. D.
9. 已知，则为
A. ，，，，，
B. ，
C. ，
D.
10. 个停车位置，有辆汽车需要停放，若要使个空位连在一起，则停放的方法总数为
A. B. C. D.
11. 的值为
A. B. C. D.
12. 已知一组曲线，其中为，，，中的任意一个，为，，，中的
任意一个．现从这些曲线中任取两条，它们在处的切线相互平行的组数为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
13. 设，则方程的解集是．
14. 某艺校在一天的节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各节，则
在课表上两节文化课之间最多间隔节艺术课的概率为（用数字作答）．
15. 现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张，从中任取张，要求这张
卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张，不同取法的种数为．
16. 有个零件，其中个一等品，个二等品，若从个零件中任意取个，那么至少有个
一等品的不同取法有种．
17. 对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和
（是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随机抽取个元素组成样本．用表示元素和同时出现在样本中的概率，则；所有
的和等于．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 全组个同学，其中有个女同学，现选出个组成一个文娱小组，分别担任不同的工作．
（1）至少一个女同学当选，有多少种不同的选法?
（2）至多两个女同学当选，有多少种不同的选法?
19. 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙人，每人本；
（2）分为份，每份本；
（3）分为份，一份本，一份本，一份本；
（4）分给甲、乙、丙人，一人本，一人本，一人本；
（5）分给甲、乙、丙人，每人至少本．
20. 已知件不同的产品中有件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有次品为止．
（1）若恰在第次测试，才测试到第件次品，第次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少?
（2）若恰在第次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同的测试的方法数是多少?
21. 张卡片上分别写着数字，，，，，从中取出张排成一排组成个三位数，如果可
以当作使用，问可以组成多少个三位数?
22. 已知，定义．
（1）记，求的值；
（2）记，求的所有可能值的集合．
答案
第一部分
1. D 【解析】，，
所以原式．
2. C
3. B 【解析】三张票没区别，从人中选人即可，即．
4. C
5. B
【解析】．
6. A 【解析】解法一：先分组后分配，不同的安排方案共有（种）．
解法二：由位置选元素，先安排甲地，其余去乙地，不同的安排方案共有（种）．
7. B 【解析】A，B，C，D 名同学排成一排有种排法．
当 A，C之间是 B 时，有种排法，
当 A，C 之间是 D 时，有种排法，
所以所求概率为．
8. C 【解析】因为个小球随机选个共有种不同选法，其中能构成等比数列的三个数分
别为，，；，，，有两种不同的选法，所以根据古典概型概率公式得：．
9. C 【解析】由排列数公式得，，
所以，
即，
所以，
化简为，
所以，
因为，
所以，
由排列数的定义，可知且，
即，
所以或．
10. D
【解析】个空位连在一起作为个元素与辆汽车看成个不同元素的全排列，故有种停放方法．
11. C 【解析】
12. D 【解析】，曲线在处切线的斜率．切线相互平行，则需它们的斜
率相等，因此按照在处切线的斜率的可能取值可分为类完成．
第一类：，则，；，．故可构成两条曲线，有组．
第二类：，则，；，；，．可构成三条曲线，有组．第三类：，则，；，；，；，．可构成四条曲线，有组．
第四类：，则，；；；，．可构成三条曲线，有组．第五类：，则，；，．可构成两条曲线，有组．
故共有（组）．
第二部分
13.
14.
【解析】课表上两节文化课之间最多间隔一节艺术课，可以分为两类：
第一类：文化课之间不排艺术课，设此事件为，则．
第二类：文化课之间排艺术课，设此事件为，
①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为．
②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为，
所以．
所以．
15.
【解析】根据题意，不考虑限制条件，从张卡片中任取张有种情况，其中如果取出的张为同一种颜色，有种情况，如果取出的张有张红色的卡片，有种情况，则满足条件的取法有种．
16.
【解析】方法一：将“至少有个是一等品的不同取法”分三类：“恰有个一等品”，“恰有个一等品”，“恰有个一等品”，
由分类加法计数原理，知有（种）．
方法二：考虑其对立事件“个都是二等品”，用间接法：（种）．
17.
【解析】从两个子总体中分别选两个，共有种办法，其中前一个子总体中选定，后一个子总体中选定的方法有种，
故；
满足的的和为；
满足的的和为；
满足的的和也为，
故所有的和等于．
第三部分
18. （1）．
（2）．
19. （1）根据分步计数原理得（种）．
（2）把书分给甲、乙、丙人，每人本有种方法，这个过程可以分两步完成：
第一步分为份，每份本，设有种方法；
第二步再将这份分给甲、乙、丙名同学有种方法．
根据分步计数原理可得，
所以．
因此分为份，每份本共有种方法．
（3）这是“不均匀分组”问题，共有（种）方法．
（4）在（3）的基础上再进行全排列，
所以共有（种）方法．
（5）可以分为类情况：①“，，型”，即（1）中的分配情况，有（种）方法；
②“，，型”，即（4）中的分配情况，有（种）方法；
③“，，型”，有（种）方法．
所以共有（种）方法．
20. （1）先排前次测试，只能取正品，有种不同的测试方法，
再从件次品中选件排在第次和第次的位置上测试，有种测试方法，
再排余下件的测试位置，有种测试方法．
所以共有种不同的测试方法．
（2）第次测试的产品恰为最后一件次品，另件在前次中出现，从而前次有一件正品出现，所以共有种不同的测试方法．
21. 可以分为两种情况：
（1）若取出，则有种方法；
（2）若不取出，则有种方法．
根据分类计数原理，共有（种）方法．
即可组成个三位数．
22. （1）由题意知，，
所以．
所以．
（2）当时，，则．
当时，
又，
所以．
所以的取值构成的集合为．。