22.1 第4课时 平行线分线段成比例

第4课时 平行线分线段成比例
知识点 1 平行线分线段成比例
1．如图22－1－15，已知a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F .若AB BC ＝12，则DE
EF
的值为( )
图22－1－15
A.1
3
B.12
C.23
D ．1
.如图22－1－16，直线l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB BC ＝2
3
，DE ＝4，则EF 的长是( )
图22－1－16
A.83
B.20
3
C ．6
D ．10
3．如图22－1－17，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .如果DE ∶EF ＝3∶5，AC ＝24，那么BC ＝________．
图22－1－17
4．如图22－1－18，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G .若AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，则
BC
CE
的值等于________．
图22－1－18
5．教材练习第3题变式如图22－1－19，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝3
2.若DF ＝10，求DE ，EF 的
长．
图22－1－19
知识点 2 平行于三角形一边的直线的性质
6．如图22－1－20，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AE
EC
的值为( )
图22－1－20
A.1
3
B.25
C.23
D.35
7．如图22－1－21所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的长为( )
图22－1－21
A ．9
B ．6
C ．3
D ．4
8．如图22－1－22，在△ABC 中，DE ∥BC ，则下列各式中不一定正确的是( )
图22－1－22
A.AD AB ＝AE AC
B.AD AE ＝BD EC
C.AD AE ＝AB AC
D.AD EC ＝AE BD
9．如图22－1－23，AD 为△ABC 的中线，AE ＝1
3AD ，BE 的延长线交AC 于点F ，DH
∥BF ，则AF
CH
＝________.
图22－1－23
10．教材习题22.1第4题变式如图22－1－24，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AE ＝2CE ，AB ＝6，BC ＝9.
求：(1)DE 和BD 的长； (2)四边形BDEF 的周长．
图22－1－24
11．2018·合肥50中期中如图22－1－25，l1∥l2∥l3，直线AC与DF相交于点O，且与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式中不正确的是()
图22－1－25
A.AB
BC＝DE
EF B.
AB
BO＝
DE
EO
C.OB OC ＝OE OF
D.OD OF ＝OA AC
12．2017·芜湖二十九中二模如图22－1－26，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点G ，那么AG ∶GC 的值为( )
图22－1－26
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶4
D ．2∶3
13．如图22－1－27，在△ABC 中，AB >AC ，AD 是BC 边上的高，F 是BC 的中点，EF ⊥BC 交AB 于点E .若BD ∶DC ＝3∶2，则BE ∶AB ＝________．
图22－1－27
14．如图22－1－28，已知AB ∥FG ，AC ∥EH ，BG ＝HC .求证：AF AC ＝AE AB
.
图22－1－28
15．2017·肥东县月考如图22－1－29，在△ABC中，DG∥EC，EG∥BC.求证：AE2＝AB·AD.
图22－1－29
16．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学
生在研究此三角形时，发现了如下的事实：
当AE
AC＝
1
2＝
1
1＋1
时，有
AO
AD＝
2
3＝
2
2＋1
(如图22－1－30(a))；
当AE
AC＝
1
3＝
1
1＋2
时，有
AO
AD＝
2
4＝
2
2＋2
(如图22－1－30(b))；
当AE
AC＝
1
4＝
1
1＋3
时，有
AO
AD＝
2
5＝
2
2＋3
(如图22－1－30(c))．
在图22－1－30(d)中，当AE
AC＝
1
1＋n
时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示
AO
AD的一
般结论，并给出证明．(n是正整数)
图22－1－30
教师详解详析
1．B [解析] ∵a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，∴DE EF ＝AB BC ＝1
2
.故选B.
2．C [解析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝2
3.
又∵DE ＝4，∴23＝4
EF ，解得EF ＝6.
3．15 [解析] ∵AD ∥BE ∥CF ， ∴
AB BC ＝DE EF ＝3
5
.∵AC ＝24， ∴BC ＝24×5
8＝15.故答案为15.
4.3
5 [解析] ∵AG ＝2，GD ＝1， ∴AD ＝3. ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴
BC CE ＝AD DF ＝35
， 故答案为3
5
.
5．解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AC BC ＝DF
EF .
由
AB BC ＝32，得AC BC ＝52
， ∴
DF EF ＝52，即10EF ＝5
2
，解得EF ＝4， ∴DE ＝DF －EF ＝10－4＝6. 6．C
7．B [解析] 由DE ∥BC ，易知AD BD ＝AE
EC ，将AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3代入计算，得
CE ＝6.故选B.
8．D
9.12 [解析] ∵DH ∥BF ，AD 为△ABC 的中线，∴CH ＝FH.∵DH ∥BF ，AE ＝1
3AD ，∴AF ＝12FH ，∴AF CH ＝12
.
10．解：(1)∵AE ＝2CE ，∴CE AE ＝12
. ∵EF ∥AB ， ∴
AE AC ＝BF BC ＝2
3
. ∵BC ＝9， ∴BF ＝6.
易证四边形BDEF 是平行四边形， ∴DE ＝BF ＝6. ∵DE ∥BC ， ∴
BD AB ＝CE AC ＝13
， ∵AB ＝6， ∴BD ＝2.
(2)∵BD ＝EF ＝2，DE ＝BF ＝6， ∴四边形BDEF 的周长为2×(2＋6)＝16.
11．D [解析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，AB BO ＝DE EO ，OB OC ＝OE OF ，OD OF ＝OA
OC ，故选项D 不
正确．
12．B [解析] 如图，连接BD ，与AC 相交于点O.∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点，∴
EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥BD ，∴AG AO ＝12.又∵OA ＝OC ，∴AG GC ＝1
3
.
13．5∶6 [解析] 结合图形，∵AD 是BC 边上的高，EF ⊥BC ，∴AD ∥EF.又∵F 是BC 的中点，且BD ∶DC ＝3∶2，即可推知BF ∶FD ＝5∶1.再根据平行线分线段成比例基本事实，得BE ∶EA ＝BF ∶FD ＝5∶1，故BE ∶AB ＝5∶6.
14．证明：∵AB ∥FG ， ∴
AF AC ＝BG
BC
. ∵AC ∥EH ， ∴
AE AB ＝HC BC
. ∵BG ＝HC ， ∴
AF AC ＝AE AB
. 15．证明：∵DG ∥EC ， ∴AD ∶AE ＝AG ∶AC. ∵EG ∥BC ，
∴AG ∶AC ＝AE ∶AB ， ∴AD ∶AE ＝AE ∶AB ， 即AE 2＝AB·AD.
16．[解析] 规律探究题是数学中的热点问题，解答规律探究题往往要遵循从特殊到一般的原则．本题中首先要从简单图形入手，分析其中蕴含的规律．
解：猜想：当AE AC ＝11＋n 时，有AO AD ＝22＋n
成立(n 是正整数)．
证明：如图，过点D作DF∥BE，交AC于点F. ∵D是BC的中点，
∴F是EC的中点．
由AE
AC＝
1
1＋n
可知
AE
EC＝
1
n，
∴AE
EF＝
1
n
2
＝
2
n，∴
AE
AF＝
2
2＋n
，
∴AO
AD＝
AE
AF＝
2
2＋n
.。