焦作市第一中学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB+AE ，下列判断正确的是（ ）
A ．满足2λμ+=的点P 必为C
B 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个
C ．λμ+的最小值不存在
D ．λμ+的最大值为3
2．已知向量()1,2a =，()2,3b =-，若向量c 满足()//c a b +，()
c a b ⊥+，则c =（ ） A ．7793⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．7739⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
C ．7739⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
D ．7793⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
3．已知平面向量a 与b 的夹角为23
π
，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3
B ．4
C 3
D ．2
4．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x
上，线段AB 为圆C
的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CD ⋅=- B ．1233
BD BC BA =
+ C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为
7
6
6．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ） A 2B ．1
C ．2
D ．227．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )
A ．3
B ．2
C ．
52
D ．
32
8．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）
A ．
13
B ．26
3-
C ．
63
D ．
22
3
9．已知向量13,22AB ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，5AC =，3AB BC ⋅=，则BC =（ ）
A ．3
B ．32
C ．4
D ．42
10．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6
π
θ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为
1，则b =（ ） A ．
1
4
B ．
12
C ．2
D ．4
11．设O 是△ABC 的外接圆圆心、且720OA OB OC ++=，则∠BOC =（ ） A ．
6
π B ．
3
π
C ．
2
π D ．
23
π 12．在ABC 中，2
BAC π
∠=
，2AB AC ==，P 为ABC 所在平面上任意一点，则
()
PA PB PC ⋅+的最小值为（ ）
A ．1
B ．12
-
C ．－1
D ．-2
二、填空题
13．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若
3AB AC AD EC ⋅=⋅，则
AB
AC
的值为___________.
14．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受
重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且1
2F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：
①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[]0,π； ③当2
π
θ=时，1F G =；
④当23
π
θ=
时，1F G =. 其中正确结论的序号是______.
15．设123,,e e e 为单位向量，且()3121
02
e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为
1
2
，则k 的值为__________． 16．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 17．已知平面非零向量,,a b c ，满足a b ⊥且||1c =，已知
2
2150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，则||a b +的取值范围是________
18．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.
19．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足11
32
AD AB AC =
+，则DB DC ⋅=__________．
20．若平面向量a ，b 为单位向量，1
2
a b ⋅=
，空间向量c 满足||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，则对任意的实数12,t t ，12c t a t b --的最小值是___________． 三、解答题
21．已知()3,0a =，(1,3)b =． （Ⅰ）求a b ⋅和b 的值；
（Ⅱ）当()k k ∈R 为何值时，向量a 与k +a b 互相垂直？
22．已知()()1,,3,2a m b ==-． (1)若()
a b b +⊥，求m 的值；
(2)若·1a b =-，求向量b 在向量a 方向上的投影． 23．设非零向量a ，b 不共线.
（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；
（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线. 24．如图，在OAB 中，P 为边AB 上的一点2BP PA =，6OA =，2OB =且OA 与
OB 的夹角为60︒.
（1）设OP xOA yOB =+，求x ，y 的值； （2）求OP AB ⋅的值.
25．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；
（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值.
26．在ABC 中，G 为ABC 的重心，过G 点的直线分别交,AB AC 于,P Q 两点，且
,AP hAB AQ k AC ==，
（1）求
11
h k
+的值； （2）设,APQ ABC S S △△分别表示,APQ ABC △△的面积，求
APQ ABC
S S
的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为
(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由
λμAP =AB+AE 得
(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμ
μ
=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时
0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，
，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以
13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此
时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时
,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当
2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，
分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当
P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．
考点：向量的坐标运算．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．
2．D
解析：D 【分析】
设出(,)c x y =，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列出方程组，即可求解. 【详解】
设(,)c x y =，向量()1,2a =，()2,3b =-，可得(1,2),(3,1)c a x y a b +=+++=-， 由()//c a b +，可得3(1)2(2)x y -⨯+=+，即3270x y ++=， 由()
c a b ⊥+，可得30x y -=， 联立方程组327030
x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得77,93x y =-=-，即77
(,)93c =--.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.
3．A
解析：A 【解析】
分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为23
π， 由2213a b -=，则2
2
2222444442cos
523
a b
a b a b b b π
-=+-⋅=+-⨯=， 整理得2
120b b +-=，解得3b =，故选A.
点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4．B
解析：B 【分析】
将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】
()()()()
PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2
222||||||22
PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
5．D
解析：D 【分析】
利用CE AB ⊥，判断出A 错误；由2AD DC =结合平面向量的基本定理，判断出选项B 错误；以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出OA OB OC ++的值，判断出选项C 错误；利用投影的定义计算出D 正确． 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误； 由平面向量线性运算得21
33
BD BC BA =
+，所以选项B 错误；
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
()0,0E ，1,0A ，()1,0B -，(3C ，1233D ⎛ ⎝⎭
，
设()0,O y ，(3y ∈，()1,BO y =，123,33DO y ⎛=-- ⎝⎭
，
//BO DO ，所以，231
3y y =-，解：3y =
， 3
22
OA OB OC OE OE OE ++=+==
，所以选项C 错误； 123,33ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，(1,3BC =，
ED 在BC 方向上的投影为1
2
7326BC BC
ED +⋅==，
故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．
6．B
解析：B 【分析】
作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出2
1P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：
由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，
()()()()
222
1
PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，
由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2
OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为
1.
故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
7．D
解析：D 【分析】
以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则1
2
x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数
1
2
x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果． 【详解】
以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：
设(),P x y ，
∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，
∴2,x y βα==，即1
,2y x αβ==，
∴1
2
x y αβ+=+，
令1
,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12
y x z =-+在y 轴上的截距，
由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为3
2
， ∴αβ+的最大值为32
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．C
解析：C 【分析】
由题意结合平面向量数量积的运算可得1
3
a b ⋅=，进而可得()
b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】
因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=
-，所以()
()
2
2
2a b
a b +=-
所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+， 所以1
3
a b ⋅=
，则()
2
263
a b a b +=+=
，()
2
43a a b a a b ⋅+=+⋅=， 所以a 在a b +上的投影为
(
)4
6326a a b
a b
⋅+=
=
+ 故选：C. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中
档题.
9．B
解析：B 【分析】
首先设出点A （0,0）、C （x ，y ）的坐标，由已知条件5AC =，3AB BC ⋅=列出关于x 、y 的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量BC 的坐标形式，并表示出向量
BC 的模，将以上列出的关于x 、y 的式子整体带入即可求得BC .
【详解】 设(0,0)A ,(),C x y
BC AC AB =-
()1,2x y ⎛ ⎝- =⎭
1,22x y ⎛-- ⎝⎭
= 3AB BC ⋅=
11,322x y ⎛⎛∴⋅-= ⎝⎭⎝
⎭ 即38x y += （1）
5AC =又
2225x y ∴+= （2） (C x B =
=
将（1）（2）代入上式解得：
25BC ==故选B 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解题方法，尽量要避免通过解方程求解点C 的坐标然后再求解向量BC 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.
10．C
解析：C
【分析】
由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令22
2()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当2
2cos
6
2b a b t a
a
π
⋅=-=-
时，()g t 取得最小值1，变形可得2
2
sin
16
b π
=，
从而可求出b 【详解】
解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令22
2()2g t a t a bt b =+⋅+，
因为2
2
2
2
22
4()44(cos
1)06
a b a b a b π
∆=⋅-=-<，
所以()g t 恒大于零， 所以当2
32cos
6
22b b a b t a
a
a
π
⋅=-
=-
=-
时，()g t 取得最小值1，
所以2
2
2
3332122
b b b
g a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 化简得2
114
b =，
所以2b =， 故选：C 【点睛】
此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题
11．B
解析：B 【分析】
不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，可得1,2,==OC OF OE ,再利用两角和余弦公式可得
3
BOC π
∠=
【详解】
不妨设ABC 的外接圆的半径为1，作2=OF OB ，以,OC OF 为邻边作平行四边形COFE ，+=OC OF OE ，所以1,2,7===OC OF OE 2273
cos sin 21777∠==∠=
⨯⨯EOC EOC ， 2
2273cos sin 2272727∠==∠=
⨯⨯EOF EOF
3331
cos cos()2
727727∠=∠+∠=
=BOC COE EOF 3
π
∴∠=
BOC
故选：B 【点睛】
本题考查了平面几何和向量的综合，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
12．C
解析：C 【分析】
以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值． 【详解】
如图，以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，设(,)P x y ，
(,)PA x y =--，(2,)PB x y =--，(,2)PC x y =--，(22,22)PB PC x y +=--，
∴()
22
(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y
⋅+=----=-+-2211
2()2()122
x y =-+--，
∴当11
,22
x y =
=时，()
PA PB PC ⋅+取得最小值1-． 故选：C ．
【点睛】
本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示．
二、填空题
13．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为： 3【分析】
将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出
AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.
【详解】
因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫
⋅=
+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭
22111
263
AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211
026
AC AB -=，即||3AB AC =， 所以
3AB
AC
314．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当
解析：①④. 【分析】
根据12G F F =+为定值，求出()
2
2
121cos G
F θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误
即可. 【详解】
解：对于①，由12G F F =+为定值， 所以()2222
121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，
解得()
2
2
1
21cos G
F θ=+；
由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以2
1F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.
对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2π
θ=时，2
2
12
G
F =，所以12
2F G =，③错误.
对于④，当23
π
θ=
时，221F G =，所以1F G =，④正确. 综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】
此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题
15．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以 【详解】 两端平方得2221
14
k ke e =++⋅， 又121122
S e
e sin θ=
=， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即2
3
4
k =
，又 0k >， 所以k =.
16．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以
所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积
解析：6 【分析】
建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】
如图所示建立平面直角坐标系：
则()()()()04,00,40,44A B C D ，
，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--， 因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩
，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，
所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．【分析】设设则由得到再利用得到再设得到根据可解得结果【详解】因为所以可设设则由得所以由得化简得所以所以由得所以设则所以所以由得解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算考查了 解析：[311311]
【分析】
设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠，设(,)c x y =，则221x y +=，由
2
2150,||||a a c a c b c -⋅-=-=-，得到00152x x x =-
，00
152y y y =-，再利用2
2
1x y +=，得到22
22000
22
00
225()604x y x y x y +++-=，再设22
00x y t +=，得到2220
225()2464t t t x t -=--，根据22250464t t
t -≥-，可解得结果.
【详解】
因为a b ⊥，所以可设00(,0)(0)a x x =≠，00(0,)(0)b y y =≠， 设(,)c x y =，则221x y +=，
由2
2150a a c -⋅-=，得20
0215x x x -=，所以0
15
2x x x
=-， 由||||a c b c -=-
=2
00215y y y -=，所以
00
152y y y =-
， 所以由221x y +=，得220000
1515
()()4x y x y -
+-=， 所以22
2
2000
22
00
225()
604x y x y x y +++-=， 设220
0x y t +=(0)t >，则220022564()t t x t x +
=-，所以42
00
225064t x tx t
-+=-， 所以2220
225()2464t t t
x t
-=--，
由22250464t t
t
-≥-，得2649000t t -+≤
，解得3232t -≤+
所以221)1)t ≤≤，
11
t ≤≤，
所以00|||(,)|1a b x y ⎤+==
=⎦，
故答案为：11]. 【点睛】
本题考查了向量的数量积的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于中档题.
18．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题
解析：0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】
由已知，得2222
2923a a b b a a b b +⋅⎧⎪
⎨⎪+=-⋅+=⎩
②
①，由+①②，得2
2
6a b +=，由不等式可知
3a b ≤，再由-①②，得32
a b ⋅=，最后由cos ,a b a b a b ⋅=可得解.
【详解】
由3a b +=，3a b -=，得
()()
2
2
39
b a a b ⎧⎪⎨
⎪-==+⎩
，即2222
2923a a b b a a b b +⋅⎧⎪
⎨⎪+=-⋅+=⎩
②
①
由+①②，得2
2
6a b +=，即2
2
6a b +=
由-①②，得3
2
a b ⋅=
由2
2
2a b a b +≥，得3a b ≤
1cos ,2a b a b a b
⋅=
≥
所以，0,3
a b π
≤≤.
故答案为：0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.
19．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-
【分析】 根据11
32
AD AB AC =
+，以,AB AC 为一组基底，由2
2
2
2
()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到15
2
AB AC ⋅=-
，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫
⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.
【详解】
因为2
2
22()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以15
2
AB AC ⋅=-
，
所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
222112515
21294244
AB AC AB AC -
-+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．6【分析】根据题意将其代入并且结合化简整理进而可求得最小值【详解】解：由题得将条件代入可得上式当且仅当取等号故的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题
解析：6 【分析】
根据题意，221a b ==，将其代入212|()|c t a t b -+，并且结合||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，化简整理2
2
22121283|()|(4)363624t c t a t b t t -⎛
⎫-+=++-+ ⎪⎝
⎭，进而可求得最小值 【详解】
解：2
22222
1212
1212()222c t a t b c t a t b t c a t c b t t a b -+=++--+， 由题得221a b ==，||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，1
2
a b ⋅=
将条件代入可得上式2
22222
1212
1212()222c t a t b c t a t b t c a t c b t t a b -+=++--+ 22
121212164242522
t t t t t t =++-⨯-⨯+⨯
2
2
2221
2
1212128364810(4)363624t t t t t t t t t -⎛
⎫=++--+=++-+ ⎪⎝
⎭， 当且仅当12t =，24t =取等号， 故12||c t a t b --的最小值是6， 故答案为：6 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题，还考查了运算求解的能力．
三、解答题
21．（Ⅰ）3⋅=a b ，b ＝2；（Ⅱ）3k =-． 【分析】
（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算；
（Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解． 【详解】
（Ⅰ）由题意3103a b ⋅=⨯+=；
21(2b =+．
（Ⅱ）(3,3)a kb k k +=+， 因为向量a 与k +a b 互相垂直，
所以()3(3)0a a kb k ⋅+=+=，解得3k =-． 【点睛】
本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．
22．（1）8m =（2）【分析】
（1）先得到()4,2a b m +=-，根据()
a b b +⊥可得()
0a b b +⋅=,即可求出m ； （2）根据·1a b =-求出m=2,再根据cos ,a b b a b b a b
⋅=⋅求b 在向量a 方向上的投影.
【详解】
()()14,2a b m +=-；
()a b b +⊥；
()34220m ∴⋅--=；8m ∴=；
()2321a b m ⋅=-=-；2m ∴=；()1,2a ∴=；
b ∴在向量a 方向上的投影为1cos ,5
a b b a b b a b
⋅-=⋅
=
=
【点睛】
本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.
23．（1）2）证明见解析. 【分析】
（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值； （2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论. 【详解】
解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，
故250t t -=⇒=， 即实数t 的值为：5±；
（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.
∴AB OB OA b =-=，
2AC OC OA b =-=，
即2AC AB =且有公共点A ， 故A ，B ，C 三点共线． 【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题． 24．（1）23
x =，1
3y =；（2）623-
. 【分析】
（1）由向量的加减运算，可得()
22
33
=+=+=+-OP OB BP OB BA OB OA OB ，进而可得答案.
（2）用OAOB ，表示OP AB ⋅，利用向量数量积公式，即可求得结果. 【详解】
（1）因为2BP PA =，所以2
3
BP BA =
. ()
2221
3333
OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB =+=+
=+-=+. 又OP xOA xOB =-，
又因为OA 、OB 不共线，所以，23
x =，1
3y =
（2）结合（1）可得：
()
2133OP AB OA OB OB OA ⎛⎫
⋅=+⋅- ⎪⎝⎭
.
222211
3333
=
⋅-+-⋅OA OB OA OB OA OB 22121
333
=⋅-+OA OB OA OB ， 因为6OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒. 所以22112162
626232333
OP AB ⋅=⨯⨯⨯-⨯+⨯=-. 【点睛】
本题考查了向量的加减运算、平面向量基本定理、向量的数量积运算等基本数学知识，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于基础题目.
25．（1）(3,6)b =或(3,6)b =--；（2）. 【分析】
（1）设(,)b x y =，由//a b ，和35b =，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解； （2）由()()2a c a c +⊥-，求得3a c ⋅=-，结合夹角公式，即可求解. 【详解】
（1）设(,)b x y =，因为//a b ，所以2y x =， ① 又因为35b =，所以2245x y +=， ②
由①②联立，解得(3,6)b =或(3,6)b =--.
（2）由已知()()2a c a c +⊥-，可得()()22220a c a c a c a c +⋅-=--⋅=， 又由5a =，2c =，解得3a c ⋅=-，所以35cos 10a c a c θ⋅=
=- 【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积的坐标运算的应用，意在考查运算与求解能力，属于基础题. 26．（1）3；（2）
49. 【分析】
（1）G 为ABC 的重心，可得133
1AG AB AC =+，再由,,P G Q 三点共线，利用共线的充要条件可得(1)AG AP AQ λλ=+-，结合已知和向量的基本定理，即可求出,h k 关系；
（2）由三角形面积公式可得
APQ ABC S hk S =，利用（1）中结论，结合基本不等式，即可求出结论.
【详解】
（1）设BC 中点为D ，则,,A G D 三点共线，
且211333
AG AD AB AC ==+， ,,P G Q 三点共线，存在唯一的λ， 使得(1)(1)AG AQ QP AP AQ hAB k AC λλλλλ=+=+-=+-，
,AB AC 不共线，131(1)3h k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
， 整理得31()1,31h h k h k k
=+=+；
（2）1||||sin 21||||sin 2APQ ABC AP AQ BAC S hk S AB AC BAC ⋅⋅∠==⋅⋅∠ 114))9
11()((299k h h k h k h k =+++≥+=， 当且仅当23
h k ==时，等号成立. APQ
ABC S S 的最小值为
49. 【点睛】
本题考查向量基本定理以及共线充要条件的应用，注意运用基本不等式求最值，属于中档题.。