江苏省扬州市宝应职业高级中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

江苏省扬州市宝应职业高级中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 双曲线的渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为
（）
A．B． C.2 D．
参考答案：
D
2. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且∥平面
，记与平面所成的角为，下列说法错误的是（）
A.点的轨迹是一条线段
B.与不可能平行
C. 与是异面直线
D.
参考答案：
B 3. 右图所示的程序框图中的输出结果是 ( )
A．2 B．4 C．8 D．16
参考答案：
C
略
4. 函数f(x)＝－cos x在[0,＋∞)内（）
A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点
参考答案：
B
5. 已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为（）
A、?
B、?
C、?
D、?4
参考答案：
A
试题分析：，又因为角终边上有一点
，所以，所以原式，故选A.
考点：1.三角函数定义；2.诱导公式；3.同角三角函数关系.
6. 复数z满足，则复数z的实部与虚部之和为（）
A. －2
B. 2
C. 1
D. 0
参考答案：
D
【分析】
根据复数运算可求得，从而得到实部和虚部，加和得到结果.
【详解】的实部为，虚部为
的实部与虚部之和为：
本题正确选项：
7. 已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，
的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若
为双曲线的离心率，则( )
A.
B. C. D. 与关系不确定
参考答案：
C
略
8. 函数在区间内的图像是（）参考答案：
C
9. 己知且a >b，则下列不等式中成立的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
解：因为a>b,所以a-b>0
选项A，
选项B，
选项C，只有a-b>1时，对数值大于零，因此不正确。

选项D，底数小于1的指数函数单调递减，因此a>b时，满足不等式。

10. 图1是某高三学生进入高中三年的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f （x+a ）≥f（3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
12. 已知△ABC 的三边长AC =3，BC =4，AB =5， P 为AB 边上任意一点，则的
最大值为
___ ____； 参考答案： 9 略
13. 设
满足约束条件
，则
的最大值是__________.
参考答案：
9 略
14. 的值为
参考答案：
-2
15. 设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1+a 4+a 10=27，则a 5= ，S 9= ．
参考答案：
9；81．
【考点】等差数列的前n 项和．
【分析】等差数列的性质可得：a 1+a 4+a 10=27=3a 5，解得a 5，再利用S 9==9a 5．即可得出．
【解答】解：由等差数列的性质可得：a 1+a 4+a 10=27=3a 5，解得a 5=9，
∴S 9==9a 5=81．
故答案分别为：9；81．
16. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值
为
参考答案：
4
17. 已知圆
，圆
，过圆上任一点作圆的切线，若直线与圆
的另一个交点为
，则当弦
的长度最大时，直线
的斜率
是 ▲ .
参考答案：
1或－7
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝BD＝2，AB＝2，E是棱PC上的一点．
（1）若PA∥平面BDE，证明：PE＝EC；
（2）在（1）的条件下，棱PB上是否存在点M，使直线DM与平面BDE所成角的大小为30°？若存在，求PM：MB的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）见解析；（2）在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为，此时.
【分析】
（1）连接交于，连接由平面的性质定理得是的中点，即可得出；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线与平面所成角的向量法，得出的值.
【详解】
（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以. （2）由已知条件可知，所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
，，，.
假设在棱上存在点，设，
得，.
记平面的法向量为，则
即取，则，
所以.
要使直线与平面所成角的大小为，
则，即，解得.
所以在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为.
此时.
【点睛】本题考查了线与面平行的性质定理的应用，也考查了向量法解决线与面所成角的问题，属于中档题.
19. （本题满分12分）已知数列满足，且
（Ⅰ）用数学归纳法证明：
（Ⅱ）设，求数列的通项公式.
参考答案：
（Ⅰ）证明：①当时，，
② 假设当时，结论成立，即，
则当时，
又
综上①②可知………………………………………………6分（Ⅱ）由可得：
即……………………8分
令，则又
∴是以1为首项，以2为公比的等比数列，，即………………………………………………………12分
20. 如图；.已知椭圆C: 的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆
T:设圆T与椭圆C交于点M、N.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的最小值，并求此时圆T的方程;
（Ⅲ）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点。

求证：为定值.
参考答案：
解：（I）由题意知解之得；，由得b=1，
故椭圆C方程为;…………………3分
（II）点M与点N关于轴对称，
设不妨设.
由于点M在椭圆C上，,
由已知,
,
阶段;
由于故当时，取得最小值为-,
当时，故又点M在圆T上，代入圆的方程得,故圆T的方程为：；.……………………………………………………………..8分
（III）设，则直线MP的方程为
令，得，同理, 故，……10分
又点M与点P在椭圆上，故，
得，
为定值．…………………………………………….14分
略
21. 已知函数f（x）=4x3﹣3x2cosθ+cosθ其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤2π．
（1）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（2）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a﹣1，a）（其中a＜1）内都是增函数，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；导数的综合应用．
【分析】（1）当cosθ=0时，求出f（x），求出导数，即可判断单调性和极值；
（2）求出导数，求出单调区间，判断极小值，解大于0的不等式，即可得到；
（3）由（2）知f（x）在区间内都是增函数，由区间的包含关系得到a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）当cosθ=0时，f（x）=4x3，f′（x）=12x2≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）内是增函数，故无极值．
（2）f′（x）=12x2﹣6xcosθ，．
当cosθ＞0时容易判断f（x）在上是增函数，在上是减函数，
故f（x）在．
由，即＞0，可得，
故．
同理，可知当cosθ＜0时，f（x）在x=0处取极小值f（0）=cosθ＞0，即cosθ＞0，与cosθ＜0矛盾，
所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零．
综上，要使函数f（x）在R上的极小值大于零，参数θ的取值范围为
（3）由（2）知函数f（x）在区间内都是增函数，由题设：
函数在（2a﹣1，a）内是增函数，则a需满足不等式
（其中θ∈时，）从而可以解得
．【点评】本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查三角不等式的运算求解能力，属于中档题．
22. （本小题满分12分）
已知函数(其中).
（Ⅰ）若为的极值点,求的值；
（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下,解不等式.
参考答案：
(Ⅰ)因为
因为为的极值点,所以由,解得
检验,当时,,当时,,当时,.
所以为的极值点,故
. ……………4分
(Ⅱ) 当时,不等式,
整理得,
即或
令,,,
当时,；当时,,
所以在单调递减,在单调递增,所以,即,
所以在上单调递增,而；
故；,
所以原不等式的解集为
. ……………12分。