陈雨涵数学论文-《导数在函数中的应用》
导数在函数应用论文
导数在函数中的应用【摘要】导数是我们的好帮手，如：利用导数求曲线的切线方程，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，以及利用导数解决生活中的优化问题，所以说导数是分析和解决问题的有效工具。
【关键词】导数切线方程单调性极值和最值优化问题导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。
随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可或缺的工具。
函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题占据了高中数学的大部分知识点和数学思想方法。
近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。
结合教学实践，我就导数在函数中的应用作个探究。
导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，利用导数解决生活中的优化问题，这些类型成为近两年高考的热点，是学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线方程【例1】.已知曲线，过点（1，－3）作其切线，求切线方程。
分析：根据导数的几何意义可以求解问题。
解：，当x=1时y′=9，即所求切线的斜率为9。
故所求切线的方程为y+3=9(x－1)，即为：y=9x－12。
1、【思路点拨】：函数y=f(x)在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点p（，f()）处的切线的斜率。
即，就是说，曲线y=f(x)在点p（， f(）处的切线的斜率是f′()，相应的切线方程为－=f′()(x-)。
二、用导数判断函数的单调性【例2】．求函数的单调区间。
分析：需求出函数的导数y′，然后令y′>0或y′0得>0，解得x﹤－8或x﹥0。
由y′0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间。
同时注意：若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。
三、用导数求函数的极值【例3】．求函数的极值解：由题意得函数的定义域为r，由=0，解得x=0或x=－8.当x变化时，y′、y的变化情况如下：所以，当x=－8时，y有极大值f（－8)=，当x=0时，y有极小值f(0)=－5.3、【思路点拨】：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如）的左右两侧，导函数f′(x)的符号变化情况，如果f′(x)的符号由正变负，则f()是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f()是极小值.。
《导数在函数中的应用实例》
摘要：导数是高等数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质、解决实际问题等方面具有广泛的应用。
本文将通过几个具体的实例，详细阐述导数在函数中的应用，包括求切线、研究函数的单调性、求极值和最值等。
一、引言导数是函数在某一点的瞬时变化率，它反映了函数在该点的局部性质。
导数在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将通过实例，展示导数在函数中的应用，以帮助读者更好地理解导数的概念和意义。
二、导数在求切线中的应用1. 实例一：求函数f(x) = x²在点P(2,4)处的切线方程。
解：首先，求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 2x。
将x=2代入f'(x)，得到f'(2) = 4。
因此，点P(2,4)处的切线斜率为4。
接下来，利用点斜式方程求出切线方程。
点斜式方程为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m为切线斜率，(x₁, y₁)为切点坐标。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y- 4 = 4(x - 2)，即y = 4x - 4。
2. 实例二：求函数f(x) = ln(x)在点A(1,0)处的切线方程。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 1/x。
将x=1代入f'(x)，得到f'(1) = 1。
因此，点A(1,0)处的切线斜率为1。
利用点斜式方程求出切线方程。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y - 0 = 1(x - 1)，即y = x - 1。
三、导数在研究函数单调性中的应用1. 实例一：研究函数f(x) = x³在区间(-∞, +∞)上的单调性。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 3x²。
由于x²≥0，所以f'(x)≥0。
因此，函数f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增。
导数在研究函数中的
求函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，通过求 导并令导数等于0，可以找到函数的极 值点。
详细描述
导数等于0的点可能是函数的极值点 ，但需要进一步判断该点两侧的导数 符号来确定是极大值还是极小值。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - x$，其导数 $f'(x) = 3x^2 - 1$，令$f'(x) = 0$得 $x = pmfrac{sqrt{3}}{3}$，进一步分 析导数符号可知，当$x < frac{sqrt{3}}{3}$或$x > frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) > 0$；当 $- frac{sqrt{3}}{3} < x < frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) < 0$。因 此，$x = -frac{sqrt{3}}{3}$为极大值 点，$x = frac{sqrt{3}}{3}$为极小值点。
求函数的拐点
总结词
导数可以用于求函数的拐点，即函数图像的凹凸性改变的 点。
详细描述
通过求二阶导数并分析其正负，可以找到函数的拐点。二 阶导数等于0的点可能是拐点的位置。
示例
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令$f''(x) = 0$得 $x = 0$。进一步分析二阶导数的符号可知，当$x < 0$时，$f''(x) < 0$；
边际需求与边际供给
导数还可以用于分析市场的供需关系，通过求导数得到边际需求或边际供给的变化情况，帮助我们理 解市场价格的变动趋势。
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导数在高等数学中的进一步 应用
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《导数的应用》陈雨涵目录（版权所有）[摘要]导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。
它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。
由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用[关键字] 导数 初等数学 高等数学 应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
高考考查导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。
函数y=f (x )在x=x 0处的导数，表示曲线在点P （x 0 , y 0）处的切线斜率。
③导数在其它数学分支的应用，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。
二．导数的概念1、定义：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 左导数：0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ----∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- 右导数： 0'0000()()()()()lim lim lim x x x x f x f x y f x x f x f x x x x x ++++∆→∆→→-∆+∆-===∆∆- '''()()()f x A f x f x A -+∴=⇔==可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件 导函数：'00()()()lim lim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-===∆∆2.导数的几何意义（图1） 曲线()y f x =在点0x 处的导数'0()f x 在几何上表示为：曲线()y f x =在点A 00(,)x y 处切线的斜率。
“导数在函数中的应用”的设计、实践与反思
2018年4月教学导航导数在函数中的应用”的设计、实践与反思⑩青海省油田一中应春风导数在函数中的综合应用常常以压轴的形式在高 考试题中出现，学生对导数、方程、不等式等知识的交 汇综合运用能力是此类考题考查的重点，笔者结合导 数在函数中的应用这一内容进行了专题公开课的教学，主要为了学生能够更好地掌握如何运用导数进行 函数单调性、极值、最值研究的方法，同时也使学生能 够在这些基础知识与方法的研究中更好地掌握四种数 学思想方法.一、教学过程1. 回顾基础知识师:导数在高中阶段函数的研究与实际问题的解决 中是一个工具，那么，导数究竟能与函数的哪些性质联 系在一起并应用于实际问题的研究呢？⑴导数与函数的单调性.对于函数"#/(%)，若在某区间上广(％)!0且不恒为 0,则/(%)在该区间上单调递增，反之也成立;若在某区 间上T(%)"0且不恒为0,贝扒％)在该区间上单调递减，反之也成立.注:导数与恒成立问题结合在一起是比较常见的.(2)极值点与导数.函数)在%。
处取得极值的充要条件为:①/(%〇) #0;②"#(%)在%在右单调性发生改变.注:两条件必须同时具备.变式"%0是函数"#(%)的极值点是/■(%0)#。
的______条件？举例说明.设计意图:提问的方式使学生对导数与函数单调性、导数与极值的关系进行了有效的回顾，学生因此对导数 的基本知识，以及导数在函数中的应用原理形成了更有 深度的认识与思维.2. 例题解析例1函数/(%)#a%3+*%2+c%(a#0)的图像关于原点 对称，当%#1时，（％)有极大值2.① 求(、*、+的值；② 若%1、%2$ [-I，1]时，求证:（%1)-(%2)1"4;③ 讨论方程（％)-2.#0的根的个数；④如果函&:/(%)的图像在％ $ [-1，1]时恒处于3%- 2"+.#。
的图像上方，求.的取值范围.设计意图:极值知识点和函数奇偶性的知识交汇使 学生对知识的综合运用能力得到了很好的锻炼，学生对 综合题的样式也因此更加熟悉，其中第②问对学生的知 识转化能力也起到了很好的锻炼，只要证得函数在区间 [-1，1]上满足！/ra(%)-/m i…(%)l"4,问题即能得到解决.比 较简单的第③问考查了学生对函数与方程思想的应用，而第④问则应在将问题转化成恒成立问题的基础上再 结合导数知识对函数的最大值进行求解.综合诸多知识 点及思想方法的练习使学生的综合能力得到了有意义 的锻炼与提高.此题改变成函数（％)后变成了含参数0的函数，可以设计成以下变式.变式1:(%)#(%) +201n%(0#0)，求（％)的单调区间%与极值.变式2:(%)#^^~+201n%(0>0)，若（％)在区间[1，e]%上的最大值是3,求0的值.变式3:(%)#(%) +201n%(0 #0)，若/(%)在区间[1，%e]上单调递增，求0的取值范围.变式4:/(%)#~^%) +201n%(0>0)，若 V%i、％2$ [1，e]，%(%1)-(%2)>0恒成立，求0的取值范围.%--%2变式5 :/(%)#~^%) +201n%(0>0)，若 V%i、％2$ [1，e]，%(%1)-(%2)>-1恒成立，求0的取值范围.%1-%2设计意图：着眼于基本题及其变式使学生在题目的 不断变化中体会到参数对问题的影响，并使学生在正确 的分类讨论中不断完成思维的挑战.3.课堂小结师:怎样利用导数对函数的单调性、极值、最值等性 质进行研究是我们本课复习的主要内容，大家有何收获 呢？高中十•？•!{：，■?5教学导航学生在教师的引导与启发下对本课所复习的基础 知识与常见问题处理办法进行了回顾与总结，学生对综 合问题的思考与处理也在学生的回答中一一展露，最后 教师在学生小结的基础上作了进一步的归纳.二、教学反思1. 二轮复习教案应着眼于知识整合和思想渗透而科 学设计基础知识、数学思想方法、数学知识的综合及知识 之间的内在关联都是每年高考试题设计中尤其注重的 几个方面，大部分学生在高三第一轮的复习中已经基本 掌握高中所学的数学知识并形成了一定的知识体系，很 多学生也已经积累了比较丰富的解题方法与经验，但很 多学生在第一轮复习过后仍不能将知识点前后串联起 来，从本质上说这是学生对数学知识所蕴含的思想与本 质的理解不够深人.因此，教师在二轮复习教学中应着 眼于基础知识与方法的不断深人，因此促成学生对数学 知识之间联系的深人理解，并逐步建立起较为清晰而富 有条理化的知识结构系统.导数、函数奇偶性、单调性等 诸多基本知识融合的本课例题也体现出了数形结合、转 化与化归、函数与方程、分类讨论等诸多的数学思想与 方法.比如，分类讨论这一高考命题中的热点一般都会 与参变量问题融合体现，本课例题的变式中就编制了要 求学生多作分析和思考的该类问题:该题需要分类讨论 吗？为什么需要？应怎样确定分类标准？怎样讨论？学 生在几个小题的训练中对数学思想方法的实质也越发 熟悉，并因此逐步学会融会贯通.因此，教师在复习教学 中应帮助学生学会打破知识之间的界限，并逐步提升思 维水平.2. 二轮复习教案应着眼于点到面的辐射而设计教师在二轮复习的教案编写中，首先应对复习的 内容作出科学、合理的整体构想，确定课堂复习教学的 核心，并以此为主线预设复习的内容与形式，在后续教 学中依此有序展开复习.笔者在本课的设计中立足导数 所具备的工具性这一特征进行了一系列的变式设计， 围绕例1这一母题而衍生的五个子题实现了由点到面 的辐射，也因此将学生的思维带向了更深、更远的水平 层面.3. 二轮复习应注重学生思维的训练二轮复习一般都会注重课堂复习容量的增加，但这 并不代表课堂讲授与练习的过多追求，事实上，教师应 该在复习教学中对非重点问题敢于取舍，并将学生感觉2018年4月困惑的问题、模糊不清的问题、缺漏的问题、高考热点问 题一一解决，使得学生在教师有针对性的教学举措中获 得思维容量的扩充，同时，教师应始终围绕重要的方法、 知识、数学思想方法及近年来的高考热点题型进行重点 讲授并督促各环节的落实.本节课围绕导数与函数的最 值、极值关系设计并变化出了九个小题，本课的教学重 点与主题得到了很好的强化，近年来的很多高考题都是在平日练习的基础上改变了设问方式或互换条件与结 论等手段而呈现的，因此，教师在平时教学中如果能够 对一些可以改变的题目进行变式与题组训练，往往能够 使学生对此类问题的本质与通性通法形成更加牢固的 认知与理解.比如，变式1与变式2的设计能够使学生对 最值的思想方法的认识得到强化，变式3与变式4的设计 能够有效地提升学生对知识的灵活转化，而变式4与变 式5之间的比较与推广又使学生的思维得到了很好的拓 展.4.二轮复习教学应着眼于学生这一学习主体的发展容量大且具备一定难度的高三数学二轮复习课堂 教学必须调动学生的主动性才能实现高效课堂的真正 构建，教师在复习教学中应为学生营造出宽松、和谐而 平等的学习氛围，并使每一位学生都能感受到自己的主 体地位，只有这样，学生在数学学习中的自信心才能逐 步建立并稳步提升.比如，本课例题中的基础知识的回 顾与解决相对来说是比较简单的，可以让数学能力中下 等的学生来回答，以此来提升他们的学习兴趣.再者，教 师在设计教学过程时应以学生发展为中心，并将师生互 动式、对话式的教学方式落实到教学过程中，使学生在 积极主动的探究活动中不断培养出坚持不懈、努力钻研 的人格品质与毅力.不过，教师适当的点拨和讲解在复 习教学中仍然是必须的.比如，笔者在本课例题中最后 一个变式的教学中组织了学生的小组合作与讨论并对 学生进行了适时的点拨，这使得课堂复习教学的高效性 得到了有力的保障.教师在二轮复习教学中应本着巩固、完善、综合与 提高的指导思想落实教学.巩固是对知识系统的强化， 完善是对知识的查漏补缺，综合是对知识连接点的体 会，提高则是学生思维能力、概括能力、分析解题能力的 不断进步，这些所有的环节都是知识体系逐步建构而完 善的过程，是学生数学综合能力养成与提高的过程.除 此以外，教师在二轮复习教学中还应紧紧围绕学生思维 的发展这一核心进行教学，并使得课堂复习更为科学而 有效1!6■十•？农，？高中。
13《导数在研究函数中的应用》选修
13《导数在研究函数中的应用》选修导数是微积分中非常重要的概念，它被广泛应用在研究函数的各种性质中。
导数可以告诉我们函数在其中一点的变化速率，这对于理解函数的形态和性质非常有帮助。
在本文中，我们将介绍导数在研究函数中的应用，并探讨导数在不同领域中的重要性。
首先，导数在函数的极值问题中扮演着非常重要的角色。
通过求解函数的导数并找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。
这些极值点可以告诉我们函数的最大值和最小值，帮助我们优化函数的性能。
在实际生活中，比如经济学中的成本函数和收益函数，通过求解导数我们可以找到最大利润的生产量或者最小成本的生产方式。
其次，导数在函数的连续性和光滑性的研究中也扮演着重要的角色。
通过求解函数的导数，我们可以判断函数在其中一点是否连续，或者函数是否具有一阶或者二阶导数。
这些信息对于理解函数的性态和特性非常有帮助。
在物理学中，速度和加速度分别是位移函数和速度函数的导数，通过求解导数我们可以得到精确的运动轨迹和加速度曲线。
另外，导数在函数的图像和曲线的绘制中也发挥着至关重要的作用。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的拐点和弯曲点，这些点对于绘制函数的准确曲线非常重要。
在工程学中，比如控制系统和信号处理中，求解导数可以帮助我们设计稳定和高效的系统。
最后，导数在函数的微分方程中也被广泛应用。
微分方程描述了函数和导数之间的关系，通过求解微分方程我们可以找到函数的解析解。
这对于预测和模拟函数的行为非常重要。
在生物学和医学中，通过建立生物系统的微分方程，我们可以模拟疾病的发展过程和治疗效果。
总之，导数在研究函数中的应用是非常广泛和重要的。
通过求解导数，我们可以研究函数的极值问题，连续性和光滑性，图像和曲线的绘制，以及微分方程的建模和求解。
导数不仅是微积分中的基本概念，也是现代科学和工程中不可或缺的工具。
希望本文可以帮助读者更好地理解导数在函数中的应用和重要性。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在函数及不等关系证明中的应用论文
导数在函数及不等关系证明中的应用摘 要：导数是研究函数形态，证明不等式和解决一些实际问题的有力工具，尤其是导数与数列的计算和与不等式的证明等知识进行综合。
而数列又是特殊函数，于是本文将巧用函数的单调性来构造函数证明不等关系，来体现导数在证明不等关系中的作用。
关键词：导数；不等式；函数在证明不等式的过程中，常用方法很多，可以利用函数的单调性，函数的最值以及函数的凹凸性等来解答，但常因方法不当，使得运算量大，直接影响解题速度与结果的正确．所以本文探讨的是巧用导函数的单调性来证明不等式的方法．巧用构造函数这一创造性思维来有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系．下面我们对导数在不等式及函数 证明中的应用，利用导函数的单调性来举例加以说明．一、利用导函数单调性证明不等式例1．证明：22112121111a a a a a a a a +++≤+++．证明：首先构造函数x x x f +=1)(，再对函数x x x f +=1)(求导得0)1(1)('2>+=x x f ． 易知)(x f 在),0(+∞上是单调递增函数． 设212211,a a x a a x +=+=．显然21x x ≤， 因此有 ()()21x f x f ≤ 即2121212111a a a a a a a a +++≤+++．而 ≤+++++≤+++2122112121111a a a a a a a a a a 221111a a a a +++．所以得到： 22112121111a a a a a a a a +++≤+++．从上面这个例子我们可以进一步地推广到更一般性情况即.111122112121nn nn a a a a a a a a a a a a ++++++≤+++++++例2．已知b a ,为实数，并且b a e <<，其中e 是自然对数的底． 证明：a b b a >． 证明：当b a e <<时，要证a b b a >． 只须证明 b a a b ln ln >． 即证bba a ln ln >． 构造函数 )(ln e x x xy >=． 求导得 2ln 1'x xy -=．因为当e x >时，1ln >x ，所以0'<y 所以函数xxy ln =在),(+∞e 上是减函数． 因为b a e << 所以bba a ln ln >． 所以得到 ab b a > 成立. 例3．已知函数x x x g ln )(=,设b a <<0,证明:()2ln )(22)(0a b b a g b g a g -<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+<．证明: 先证左边,设F ()())2(2)(xa g x g a g x +-+=． 则2lnln ]'22[)(')('x a x x a g x g x F +-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=． 令0)('=x F 得a x =.则当a x <<0时,0)('<x F ． 故)(x F 在()a ,0内为单调递减函数． 当a x >时,0)('>x F ． 故)(x F 在()+∞,a 内为单调递增函数． 从而当a x =时, )(x F 有极小值0)(=a F ． 因为0>>a b 所以 ()()a F b F >．即 ()⎪⎭⎫⎝⎛+-+<22)(0b a g b g a g ．再证右边,设2ln )(22)()()(a x x a g b g a g x G --⎪⎭⎫⎝⎛+-+=．则 )l n (ln 2ln 2lnln )('x a x xa x x G +-=-+-=．则当0>x 时, ()0'<x G ． 因此)(x G 在()+∞,a 内为减函数． 又因为b a <<0．所以()()0=<a G b G ．即 ()2ln )(22)(a b b a g b g a g -<⎪⎭⎫⎝⎛+-+．二、利用导函数的单调性结合极值证明不等式例1．已知b a ,为正数,且1=+b a ．求证:91611112333<+++<b a ． 证明:令x a =则x b -=1,从而10<<x ． 我们设 ()11111)(33+-++=x x x f ． 则 232232]1)1[()1(3)1(3)('+--++-=x x x x x f ． 再求)('x f 的零点并讨论)('x f 的符号显然等价于求1)1(11)(33+--++-=x xx x x g ． ]11[1)1)(1(]1)1[(3333+-++-++--=）（）（x x x x x x ．的零点及符号的变化．显然 当21=x 时, 0)(=x g ． 因而 0)('=x f 且当210<<x 时, 0)(>x g ．故 0)('>x f ．)(x f 为单调递增函数． 当121<<x 时, 0)(<x g ． 故 0)('<x f ．)(x f 为单调递减函数． 所以函数)(x f 在21=x 处取得最大值916． 在0=x 或1=x 处取得最小值．又 23)1()0(==f f ． 所以916)(23<<x f ． 例2．函数)0(1)1ln()(≥-++=x x e x f x ，求函数)(x f 的最小值．]7[ 解：(1) x e x f x ++=11)('．当0>x 时,因为111,1<+>xe x 且． 所以有0)('>x f ．说明函数)(x f 在区间[)+∞,0上是增函数． 故当0=x 时,函数)(x f 取得最小值为0．三、利用函数单调性进行数列计算例1．已知数列{n a }的通项为))(10(2+∈-=N n n n a n ,求数列最大项． 证明：设 )0).(10()(2>-=x x x x f ． 则 2320)('x x x f -=． 令 0)('>x f 得3200<<x ． 令 0)('<x f 得320>x 或 0<x ． 因为)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛320,0上是单调增加．)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,320上是单调减少．因此当320=x 时,函数)(x f 取得最大值． 对+∈N n ．)10()(2n n n f -=．因为.144)6(147)7(=>=f f 所以 147)(max =n f ． 即数列的最大项为1477=a ．例2．求数列{n n }的最大项．]5[解：利用函数单调性,通过考虑连续变量xx 1的最大值来求离散变量nn 1的最大值． 设 )0()(1>=x x x f x,则 ()x x x x x x x f x xln 1ln 11)('21221-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-．所以当e x <<0时, )(,0)('x f x f >为单调增加． 当e x >时,)(x f 为单调减少．所以 2121< ， >>>>nn 1413143． 又因为312132< 所以最大项为313四、 利用导数求函数的极值例1 已知cx bx ax x f ++=23)()0(≠a 在1±≠x 时取得极值，且1)1(-=f .(1)试求常数c b a ,,的值；(2)试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 解：(1)c bx ax x f ++='23)(2 ∵1±=x 是函数)(x f 的极值点，∴1±=x 是方程0)(='x f ,即0232=++c bx ax 的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-13032ac ab又f (1)=－1,∴1-=++c b a , ③由①②③解得=a 23,0,21==c b ,(2) )(x f x x 23213-=, ∴)1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f ,当时或11>-<x x ，0)(>'x f , 当11<<-x 时，0)(<'x f ,∴函数)(x f 在 (－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数. ∴当x =－1时，函数取得极大值1)1(=-f , 当x =1时，函数取得极小值1)1(-=f .①②例2．设)(x f =a x 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间]2[解：)('x f =3a x 2+1若a ＞0, )('x f ＞0对x ∈(－∞,+∞)恒成立，此时)(x f 只有一个单调区间，矛盾. 若a =0, )('x f =1＞0,∴x ∈(－∞,+∞),f (x )也只有一个单调区间，矛盾. 若a ＜0,∵)('x f =3a (x +||31a )·(x －||31a ),此时)(x f 恰有三个单调区间.∴a ＜0且单调减区间为(－∞,－||31a )和(||31a ,+∞)，单调增区间为(－||31a ,||31a ).例3．设x =1与x =2是函数)(x f = a ln x +b x 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x =1, x =2是函数)(x f 的极大值还是极小值，并说明理由. 解：)('x f =xa+2b x +1． (1)由极值点的必要条件可知：)1('f =)2('f =0,即a +2b +1=0,且2a+4b +1=0,解方程组可得 a =－32,b =－61,∴)(x f =－32ln x －61x 2+x ． (2) )('x f =－32x -1－31x +1,当x ∈ (0,1)时，)('x f ＜0,当x ∈(1,2)时，)('x f ＞0,当∈x (2,+∞)时，)('x f ＜0,故在x =1处函数)(x f 取得极小值65,在x =2处函数取得极大值34－32ln2. 参考文献[1] 唐永,徐秀． 慎用导数解数列问题． 数学通报． 2006．3[2] 韩什元,李晓培． 高等数学解题方法汇编． 华南理工大学出版社． 2002．9． [3] 杨爱国． 利用导数解初等数学问题． 中学数学研究． 2004．4[4] 陈文灯,黄先开． 高等数学复习指南:思路方法与技巧． 清华大学出版社．2003．7 [5] 龚冬保,武忠祥． 高等数学典型题解法技巧． 西安交通大学出版社． 2000．1[6] 刘聪, 胜秦永．函数与不等式高考题目回顾与展望．中学数学教学参考． 2006．3[7] 林源渠,方正勤．数学分析解题指南．北京大学出版社． 2003。
导数在研究函数中的应用
分条件 ； 会用 导数求 函数 的极大值 、
极小值 （ 其中多项式 函数一般不超
究 函数 、 方程 、 不 等式 知 识 之 间 的
联 系．
等式 、 方程根的分布、 解 析几何 等知
１ ． 要重视基础 ． 该部分 内容突 出一个 “ 用” 字， 其 中利 用导数判 断
导数为零 ，但 导数 为零的 点未必是
≈ 苞 譬ＡＱＫＡＯ ＢＥＩ ＺＨＡＮ
葛高考卤战
导数进入高 中教材后 ， 显示了它强大的生命力 ， 可用导数研究函数的单调性 ， 求单调 区间 、 极值 、 最值 、 以及利 用导数解决生活中的优化问题 ； 还可 以与函数 、 不等式 方程 、 三角 、 数列 、 解析几何等多方面知识与
导数解决函数 的极值 问题 ，利用导
识的交 汇 ．
过三次 ） ； 会求 闭区间下 函数 的最 大
重点 ：了解 函数单调性 和导数 的关 系 。能利用导数研究 函数的单
值、 最小值（ 其 中多项式函数一 般不
超过 三 次 ） ．
数解决函数的最值 问题等 ； ② 考查 导数综合应用的能力 ：含参数 的函
Ｚ
义域 、 利 用导数求 函数的单调性 ，
及 求 函 数 的 极 值 等 基 础 知 识 ．在 利
． ≤
二
用导数 求函数 的单调性 时要 注意 ．
求导 后 的分 子 是 一 个 二 次 项 系数 为 负数 的 一 元 二 次 式 ， 在求 （ ） ＞ ０ 和 ｆ （ ） ＜ Ｏ 时要 注意．
０ ， 所 以 ＝ 、 ／ｅ 是 （ ） 在 区间 （ １ ，
导 函 ） 的关 系， 厂 ） ＞ ０ 时 为增 函 数； ｆ （ ） ＜ ０ 时 为 减 函 数 ．所 以根 据
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
导数在函数中的应用
导数在函数中的应用
现代社会中，微积分在各个领域都有着广泛的应用，而其中最重要的就是导数的应用。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势，可以提供有关函数的关键信息，它在科学、工程、数学、物理等众多领域有着重要的作用。
首先，导数可以用来确定函数的极值，即求解函数的最大值和最小值。
函数的极值是指函数在定义域内所取得的最大值或最小值，利用导数可以轻松地求出函数的极值。
其次，导数可以用来分析函数的变化趋势，即函数图像的上升或下降速度。
函数的变化趋势是指函数在定义域内的变化状况，其中导数可以用来描述函数的变化速度，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化趋势。
此外，导数可以用来解决最优化问题，即找出某一函数的最优解。
最优化问题是指在一定条件下，求出能够使函数取得最大值或最小值的解，用导数可以计算出函数的极值，从而可以找出函数的最优解。
最后，导数还可以用来研究函数的变化率，即求出函数在某一点的变化率。
函数的变化率是指函数在某一点的变化率，其中导数可以用来描述函数在某一点的变化率，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化状况。
总之，导数在函数中有着重要的作用，它可以用来求解函数的极值、分析函数的变化趋势、解决最优化问题和研究函数的变化率，它在各个领域都有着重要的作用。
例说导数在函数中的应用
本文链接：/Periodical_kjdk201024042.aspx
【１】郑建龙，杨和平．公路膨胀土工程北京：人民交通出版社２．００９．３． 【２】廖世文．膨胀土与铁路工程北京：中国铁路出版社，１９８４． 【３１郏建龙，杨和平膨胀土处治理论、技术与实践北京ｔ人民交通出版社，２００９．３
（上接第７０页）判断函数的单调性．
小结：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点 题型。其方法可以归纳为：构造函数，利用导数研究函数最值。 总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方 便，尤其是可以利用导数来求出物体运动的瞬时速度，解决函 数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中， 要加强对基础知识的理解。重视数学思想方法的应用，达到优 化解题思维。简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科 学的语言和工具。进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。
小结：求可函数ｆ∞在（ａ，ｂ】内的最大值和最小值的步骤是：
（１）求函数ｆ（ｘ）在【ａ，ｂ】内的极值；（２）求ｆ（ｘ）在端点的“ａ）和“ｂ） 的值：（３）极值与ｆ∞、ｆ（ｂ）的值比较即可得最大值和最小值。 ６用导数证明不等式
故所求切线的方程为Ｙ十３＝－３（ｘ－１）。即：Ｙ＝・３ｘ。 小结：函数ｙ－－ｆ（ｘ）在点ｘｏ处的导数的几何意义。就是曲线 ｙ－－－ｆ（ｘ）在点Ｐ（ｋｆ㈨）处的切线的斜率。就是说，曲线ｙｔ ｆ（ｘ） 在点Ｐ（）ｃ０，ｆ（）ｃ０））处的切线的斜率是ｆ‘（）ｃｏ），相应的切线方程为
证明：令ｆ（ｘ）＝÷ｆ．（÷ｘ２＋ｌｎｘ）
导数在研究函数中的应用
摘 要
导数是研究函数性质的一个重要工具，我们可以利用导数来求函数的单调性，极值点，最值点，另外可以利用导数找函数的零点和构造简单的函数。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的。通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解。下面，我们运用导数研究函数的性质，通过对函数的单调性与导数的关系的研究、如何利用导数来求函数的极值与函数的最大值和最小值的一般方法、导数与函数的零点以及利用导数研究任意性、存在性以及参数的取值问题，我们可以从中体会导数在研究函数中的应用。通过对导数在研究函数中的应用的学习，为我们学习和研究函数奠定了良好的基础。
y- =f’( )(x- )
例1：曲线y=x(3 )在点（1，1）处的切线方程为：y=4x-3
解析：第一步，首先求函数y=x(3 )的导函数y’
y’=3 ,接下来把 =1代入y’,有f’ )= y’( =1)=4,从而可知在 =1处切线方程的斜率为4，最后将斜率f’ )和点（1，1）代入切线方程y- =f’( )(x- )
f’(xo)= = 。
从导数的这一定义出发，我们知道导数f’(xo)表示
函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x=xo附近的变化情况，接着可以明确导数的几何意义：
曲线y= f(x)在点(xo,f(xo))处切线的斜率。
二、导数的性质
通过对导数相关定义和几何意义出发研究导数的性质。
二、函数的单调性与导数
判断函数f(x)的单调性时，常常借助f’(x)的符号来判断
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间(a，b)内，如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内単调递増;如果f’(x)<0，那么函数y= f(X)在这个区间内单调递減.
导数在函数中的应用
浅谈导数在函数中的应用数和导数的内容在高考试卷中，考查时有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对数学思想方法进行深入的考查。
结合教学实践，我就导数在函数中的应用作个探究，归纳如下：一、用导数求曲线的切线方程（导数几何意义） 导数几何意义：0'()f x 表示函数()y f x =在点00(,())x f x 处切线L 的斜率；函数()y f x =在点00(,())x f x 处切线L 方程为000()'()()y f x f x x x -=-.有关求函数曲线的切线问题，一般又有两种类型：一种过曲线上一点作切线，试题中通常叙述为：在．曲线上某点的切线方程。
另一种是过曲线外一点作切线，试题中通常叙述为：过．某点的切线方程。
例1.例1.试求曲线y 上在点(2,2)处的切线方程.解：对函数()f x ='()f x =，所以1'(2)4f = 所以在点(2,2)的切线方程为: 12(2)4y x -=-，即1344y x =+. 例2. 试求过曲线334y x x =-+外一点(2,2)-的切线方程.分析：设切点的坐标00(,)x y ，利用已知点以及曲线上的点00(,)x y 来求切线方程. 解：设切点00(,)x y ，则300034y x x =-+，对334y x x =-+求导得2'33y x =-，切线斜率为200'()33f x x =-，得切线方程：2000(33)()y y x x x -=--，整理得23003(3)24y x x x =--+ (1)又因为切线通过点(2,2)-，所以230023(3)224x x -=-⋅-+，整理之2002(3)0x x -=，所以00x =或03x =，代入(1)式得切线方程34y x =-+或2450y x =-.二、用导数判断函数的单调性或求单调区间1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数()y f x =在某个区间D 内可导，如果0'()0f x >，则()y f x =在区间D 上为增函数；如果0'()0f x <，则()y f x =在区间D上为减函数；如果0'()0f x =)恒成立，则()y f x =在区间D 上为常数.2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式0'()0f x >的解集与函数()y f x =定义域的交集，就是()y f x =的增区间；不等式0'()0f x <的解集与函数()y f x =定义域的交集，就是()y f x =的减区间.例3.设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是增函数.(1)解：依题意，对一切x R ∈有()()f x f x =-，即1x x x x e a ae a e ae +=+，所以11()()0x x a e a e --=对一切x R ∈成立，由此得到10a a -=，即21a =，又因为0a >，所以1a =.（2）证明：由()x x f x e e -=+，得2'()(1)x x x x f x e e e e --=-=- 当(0,)x ∈+∞时，有0xe ->，210x e ->，此时'()0f x >，所以()f x 在()0,+∞是增函数.例4.已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立.. 解：(Ⅰ)定义域为()0,+∞,求导得：'()ln 1f x x =+ 令'()0f x =，得 1ex =，'()f x 与()f x 的情况如下：所以()f x 的单调减区间为1(0,)e，单调增区间为1(,)e+∞.(Ⅱ) 证明：设1()ln g x x x =+，0x >，22111'()x g x x x x-=-=，'()g x 与()g x 的情况如下：所以()(1)1g x g ≥=，即1ln 1x x +≥在0x >时恒成立，所以，当1k ≤时，1ln x k x+≥， 所以ln 1x x kx +≥，即ln 1x x kx ≥-，所以，当1k ≤时，有()1f x kx ≥-. 三、用导数求函数的极值与最值函数()f x 闭区间[a ，b]上可导，则()f x 在[a ，b]上的最值求法：①求函数()f x 在（a ，b ）上的极值点；②计算()f x 在极值点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。
下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。
首先，导数可以用来求函数的最值。
在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。
例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。
在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。
其次，导数可以用来求函数的图像特征。
函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。
我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。
例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。
进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。
此外，导数还可以用来进行近似计算。
在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。
然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。
也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。
这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。
最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。
函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。
通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。
例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。
总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。
通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。
导数在高中数学函数中的应用
导数在高中数学函数中的应用作者：孙玘玥来源：《速读·中旬》2019年第02期摘要：导数是高中数学的重要组成部分，在我们学习函数时，也需要利用导数求解函数问题。
本文将结合个人的学习经历及认识，探讨导数知识在高中数学函数中的重要性，在此基础上，研究导数知识在高中数学函数中的具体应用，包括应用导数知识判断函数单调性、应用导数知识求解函数值域或最值问题、应用导数知识求解函数极值等。
关键词：导数；高中数学；函数；应用方法导数是研究函数局部性质的重要方法，代表函数曲线上某一点的变化率，在研究函数问题时，经常需要使用导数知识。
因此，在平时的学习过程中，我们需要充分认识函数与导数的关系，在扎实掌握导数知识的基础上，善于对其进行灵活应用，从而使许多函数问题能够迎刃而解。
在平时的学习和做题过程中，也需要不断积累经验，从而掌握导数知识在函数中的应用方法。
一、导数知识在高中数学函数学习中的重要性导数又称导函数，是一种特殊的函数类型，从其定义和引出过程中，都可以看到函数思想。
在高中数学学习阶段，导数知识的学习为我们解决不等式、切线、数列等问题提供了新的方法和途径。
近几年来，导数知识在函数中的应用，也是高考试题的重点考察对象。
无论从哪个角度来看，导数知识都在高中数学函数学习中占有重要地位。
首先，导数是判断函数单调性的重要方法，适用性较高，可以反映出函数某点附近的变化规律，将函数问题化繁为简。
其次，导数定义中引入了变化比值极限的概念，是函数解题的重要思想，对其进行深刻理解，可以帮助我们打破思维局限性。
再次，导数求导法则可应用在两函数乘积导函数、商的导函数和复合函数导函数等各个方面，能够化简大多数函数问题，是我们必须要掌握的解题方法。
因此，必须提高对导数知识学习的重视，并掌握导数在函数解题中的应用方法。
二、导数知识在高中函数中的具体应用策略（一）应用导数知识判断函数单调性如上所述，利用导数判断函数的单调性，是导数知识在函数中的一个重要应用方向。
导数在函数中的应用
导数在函数中的应用作者：赵文芝来源：《教育教学论坛·上旬》2010年第09期摘要:新课程利用导数求曲线的切线,判断或论证函数的单调性,函数的极值和最值。
导数是分析和解决问题的有效工具。
关键词:导数;函数的切线;单调性;极值和最值导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想。
新课程增加了导数的内容,随着课改的不断深入,导数知识考查的要求逐渐加强,而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。
函数是中学数学研究导数的一个重要载体,函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。
近年好多省的高考题中都出现以函数为载体,通过研究其图像性质,来考查学生的创新能力和探究能力的试题。
本人结合教学实践,就导数在函数中的应用作个初步探究。
有关导数在函数中的应用主要类型有:求函数的切线,判断函数的单调性,求函数的极值和最值,利用函数的单调性证明不等式,这些类型成为近两年最闪亮的热点,是高中数学学习的重点之一,预计也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线例1.已知曲线y=x3-3x2-1,过点(1,-3)作其切线,求切线方程。
分析:根据导数的几何意义求解。
解:y'=3x2-6x,当x=1时y'=-3,即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1),即为:y=-3x.方法提升:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P[x0,y=f(x0)]处的切线的斜率。
就是说,曲线y=f(x)在点P[x0,y=f(x0)]处的切线的斜率是f'(x0),相应的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。
二、用导数判断函数的单调性例2.求函数y=x3-3x2-1的单调区间。
分析:求出导数y',令y'>0或y'解:y'=3x2-6x,由y'>0得3x2-6x﹥0,解得x﹤0或x﹥2。
谈一谈导数在函数方面的应用
谈一谈导数在函数方面的应用导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，对这部分内容的考查以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题，以及曲线的问题等，在此主要侧重知识之运用。
运用导数知识研究函数性质的试题，研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，命题常以复合函数的形式出现。
在教学过程中，我重点从以下几个方面进行了一些尝试。
一、函数单调性的讨论函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。
通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断fx1-fx2正负时就较为困难。
运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出f′x，再考虑f′x的正负即可，此方法简单快捷而且适用面较广。
例1. 判定函数y1=x3-x和y2=x3+x在-∞，+∞上的增减性。
解：y′1=3x2-1=3x+153x-153当y′10得x-153或x153当y′10 得-153x153所以y1=x3-x在-∞，-153和153，+∞内单调增加，在-153，153内单调减少。
y′2=3x2+10，故y2=x3+x在-∞，+∞上单调增加。
例2.求函数fx=sinx-xcosx的单调区间。
分析：这是求函数单调区间的问题，这类问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这个题目中，需要结合三角函数的图象考虑它的某些特殊性质.首先对fx求导，得到f′x=xsinx；再令f′x0或f′x0，通过解关于x的不等式，得到fx的单调递增（减）区间.根据正弦函数的周期性，在解不等式的过程中，可以先考虑其一个周期的解集，然后再扩展到整个定义域上。
解：∵f′x=cosx+xsinx-cosx=xsinx令f′x=xsinx0解得x∈2kπ，2k+1π 或x∈-2kπ，-2k+1πk=0，1，2，…所以当x∈2kπ，2k+1π∪-2kπ，-2k+1πk=0，1，2，…时，fx是增函数.再令f′x0解得x∈2k-1π，2kπ或x∈-2kπ，-2k+1πk=1，2，…所以当x∈2k-1π，2kπ∪-2kπ，-2k+1πk=1，2，…时，fx是减函数.因此fx 单调减区间2k-1π，2kπ∪-2kπ，-2k+1πk=1，2，… ；单调递增区间2kπ，2k+1π∪-2kπ，-2k+1πk=0，1，2，….二、函数的最值（极值）的求法最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。
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导数在高中函数中的应用
陈雨涵
【摘要】新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值。
导数是分析和解决问题的有效具。
【关键词】导数函数的切线单调性极值和最值
导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。
新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。
函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。
近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。
本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线
例1.已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。
分析：根据导数的几何意义求解。
解：y′ = 3x2-6x ，当x=1时y′= - 3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3 = -3(x-1)，即为：y = -3x.
1、方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。
既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0) ，相应的切线方程为y-y0= f′(x0)(x-x0)。
二、用导数判断函数的单调性
例2．求函数y=x3-3x2-1的单调区间。
分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。
解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。
由y′<0得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。
故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0 ，2 )。
2、方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。
三、用导数求函数的极值
例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值
解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.
当x变化时，y′、y的变化情况如下：
当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).
3、方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符
号由负变正，则f(x0)是极小值.。
注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。
四、用导数求函数的最值
五、证明不等式
5、方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。
其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。
总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。
在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。
参考资料：
1、普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）
2、高中数学教学参考。