组合数学论文

生活中的组合数学

摘要:组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。因此随着计算机科学和其它许多新兴应用学科的发展,组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,进而需要我们对其进行更加深层次的研究.

关键词:组合数学;鸽巢原理;数学游戏

引言

随着计算机的普及推广,组合数学这门古老的学科焕发出蓬勃的生机.组合数学是一门研究内容丰富、应用广泛的学科,同时它也是一门讲究方法,讲究技巧的学科.组合数学的魅力在于找到巧妙的解法来完善的解决一个组合数学问题,计算机强大的计算能力为寻求组合数学问题的巧妙解法提供了无限的可能,同时组合数学也反过来有效地推动了计算机科学的发展.

组合数学在国外已有较快发展,在很多大学已设立组合数学与优化理论专业来培养专门人才.我国对组合数学的研究具有一定的基础,特别是图论研究和区组设计等方面已取得一定的成果.

组合数学的发展显然已经改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面,奠定了本世纪的计算机革命的基础.因此需要对其进行更加深入的理论探讨和实践.本文正是基于这种思想,希望借以简单的阐述引起人们对组合数学的更深层次的理解,并能够将其灵活应用于生活中.

所以我想通过一些实例和数学史上的一些故事和难题,介绍了组合数学是如何在生活中应用的.在研究了一些典型的例子和趣味性的故事的基础上,系统的查阅了相关文献，并结合生活中涉及组合数学的相关知识进行阐述,具体说明了组合数学的基本方法及其在生活中的应用.这样就使得晦涩的组合数学显得更加形象,也使抽象的理论概念变得浅显具体,更易被初学者理解和接受,以至于可以激发人们在生活中应用组合数学的意识.

1.组合数学的基本内容

1.1概念

伴随着计算机科学的高速发展,近年来,组合数学已渐渐成为一门新兴起来的边缘性、综合性学科.关于组合数学到底是什么,数学界有许多种的看法.Richard A.Brualdi在其所著的《Introductory Combinatorics》一书中提到组合数学研究的是事物按照一定的规则安排,其中包括:对已知安排问题的研究，计数性问题,存在性问题.在《Basic Techniques of Combinatorial Theory》中有如此描述: 组合数学即为对已给定描述事物的研究有多少种或者是对某事物发生的途径有多少种.综上所述,组合数学主要研究的就是事物安排中所涉及的有关数学问题[]1.

组合数学是研究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置的数学.特别是当指定的规则较简单时,计算一切可能的安排或配置的方法数,就成为它研究的主要问题.现代组合数学有两个主要特点:其一,它大量应用了抽象代数学工具和矩阵工具促使问题的提法和处理方法表现出极大的普遍性;其二,为了适应计算机科学的发展,它很注重对方法的能行性和程序化问题进行研究.这样,它又派生出算法组合学和组合算法等新的亚分支学科.

1.2主要内容

组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.本世纪五十年代以来,特别是由于计算机科学的巨大发展,促使组合数学成为一支富有生命力的新兴数学分支.

与传统的数学课程相比,组合数学研究的主要是一些离散事物之间所存在的某些数学关系,包括计数性问题、存在性问题、最优化问题以及构造性问题等,其内容主要是枚举和计数.组合学中研究最多的主要是计数问题,该问题通常出现在所有的数学分支之中.计算机科学通常需要研究有关算法的内容,就必须估计出算法所需的存储单元和运算量,即分析算法的空间复杂性和时间复杂性[]2.

综上,组合数学主要研究:排列组合、递推关系和生成函数、鸽巢原理和容斥原理、贝恩赛特引理与波利亚定理以及区组设计与编码等等.

2.组合数学的基本解题方法

组合数学是离散数学的一个分支,其内容零散,思想方法繁多,对于长期接受

连续性数学学习的我们来说,通常感到很难抓住其要领,无从下手,尤其是对新颖繁多的各种组合方法感到有些茫然.组合数学的方法很多,如加乘法则,抽屉法则,母函数法,逐步淘汰法等等,了解这些方法有助于培养我们学生的组合思维。

3.组合数学在生活中的应用举例

组合数学是十分贴近于人们的生活的，因此组合问题在生活中非常常见。例如，求n个球队参加比赛，每队只和其他队比赛一次的总比赛场数。例如，在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路揍，在笔不离开纸面而且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。又例如这样一个简单的组合数学问题：一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。而当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个，问人怎样才能把三者都运过河。下面介绍几种组合数学中的著名问题。

1.地图着色为题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？四色定理是一个著名的数学定理。它指出，如果将平面分成一些邻接的区域，那么可以用不多于四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样。另一个通俗的说法是：每个（无飞地的）地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。例如右图左下角的四色圆盘中，红色部分和绿色部分是邻接的区域，而黄色部分和红色部分则不是临界区域。

尽管四色定理最初提出是和地图染色工作有关，但四色定理本身对地图着色工作并没有特别的意义。据凯尼斯·梅在一篇文章中所言：“（实际中）用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。制图学和地图制图史相关的书籍也没有四色定理的记载。”

一些简单的地图只需要三种颜色就够了，但有时候第四种颜色也是必须的。比如说当一个区域被三个区域包围，而这三个区域又两两相邻时，就得用四种颜色才行了。“是否只用四种颜色就能为所有地图染色”的问题最早是由一位英国制图员在1852年提出的，被称为“四色问题”。人们发现，要证明宽松一点的“五定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。曾经有许多人发表了四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。

1977年，数学家凯尼斯·阿佩尔（英语：Kenneth Appl）和沃夫冈·哈肯（英语：Wolfgang Haken）借助电子计算机首次得到了一个完全的证明，四色问题也终于成为了四色定理。这是首个主要由计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家对四色定理的证明存疑。