北师大版必修4高中数学第二章平面向量单元质量评估

【金榜教程】2014年高中数学 第二章 平面向量单元质量评估 北师
大版必修4
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2011·慈溪高一检测)已知AB =(3，0),则|AB |等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
2.(2011·天津高一检测)若向量a,b 的坐标满足a
b =(-2,-1), a b =(4,-3)，则
a ·
b =( )
(A)-5 (B)-4 (C)-3 (D)-2
3.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H ，则OP
OQ =( )
(A)OH (B)OG (C)FO (D)EO 4.已知a =(2,1), a ·b =10,|a b |=52,则|b |=( )
(A)5 (B)10 (C)5 (D)25
5.已知a =(-1,x)与b =(-x,2)共线且方向相同,则x 等于( ) (A)2 (B)-2 (C)1 (D)±2
6.(2011·黑龙江高一检测)已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：
PA PB PC 0++=，若实数λ满足：AB AC AP +=λ,则λ的值为( )
(A)
23 (B)3
2
(C)2 (D)3 7.①AB AC BC -=；②AB BC CA 0++=；③若()()AB AC
AB AC 0+-=，则△ABC
为等腰三角形；④若AC AB
0＞，则△ABC 为锐角三角形.上述命题正确的是( ) (A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②③④
8.已知O 为坐标原点，向量OA =(1,1), OB =(3,1),在x 轴上有一点P 使AP ·BP 取最小值，则点P 的坐标是( ) (A)(2,0) (B)(4,0) (C)(3,0) (D)(-3，0)
9.对于向量a,b,c 和实数λ,下列命题中正确的是( ) (A)若a ·b =0,则a =0或b =0 (B)若λa =0,则a =0或λ=0
(C)若a 2
=b 2
,则a =b 或a =-b
(D)若a ·b =a ·c ,则b =c
10.设a =(m,n)，b =(s,t)，定义两个向量a ,b 之间的运算“⊗”为a b ⊗=(ms,nt),若向量p =(1,2)，p q ⊗=(-3,-4)，则q 等于( ) (A)(-3，-2) (B)(3，-2) (C)(-2，-3) (D)(-3，2)
11.点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v =(4，-3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位),设开始时点P 的坐标为(-10，10)，则5秒后点P 的坐标为( ) (A)(-2，4) (B)(10，-5)
(C)(-30，25) (D)(5，-10)
12.(2011·海淀高一检测)若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足31
AM AB AC 44
=+,则△ABM 与△ABC 的面积之比等于( ) (A)
34 (B)14 (C)13 (D)1
2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上) 13.(2011·江苏高考)已知1e ,2e 是夹角为
2
3
π的两个单位向量，12a e 2e =-, 12b ke e =+,若a ·b =0,则k 的值为______.
14.在静水中划船的速度是40 km/小时，水流的速度是20 km/小时，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该与河岸垂直方向成__________. 15.(2011·江西高考文科)已知两个单位向量12e ,e 的夹角为
3
π
,若向量112b e 2e =-, 212b 3e 4e =+，则1b ·2b =_______.
16.O 是平面上一点，A,B,C 是平面上不共线三点，动点P 满足()
OP OA AB AC =+λ+，λ=
1
2
时，则PA ·(PB PC +)的值为________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2011·吉林高一检测)已知向量a =(3，-4)，求： (1)与a 平行的单位向量b ； (2)与a 垂直的单位向量c ；
(3)将a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e 的坐标.
18.(12分)设向量1e , 2e 的夹角为60°且︱1e ︱=︱2e ︱=1，如果12AB e e =+，
12BC 2e 8e =+，12CD 3(e e )=-.
(1)证明：A 、B 、D 三点共线；
(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量122e e +与向量12e ke +垂直. 19.(12分)求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 20.(12分)(2011·吉安高一检测)已知a =(1,0), b =(2,1)求: (1)|a +3b |；
(2)当k 为何值时，k a -b 与a +3b 平行.
21.(12分)(2011·唐山高一检测)在平面直角坐标系中，点A(7,1),B(-3,-4),O 为坐标原点.求:
(1) OA ·OB ；
(2)若点P 在直线AB 上，且OP ⊥AB ，求OP 的坐标.
22.(12分)(2011·深圳高一检测)设i,j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB =4i -2j , AC =7i +4j , AD =3i +6j ，求四边形ABCD 的面积.
答案解析
1.【解析】选B.∵AB =(3,0),∴|AB |=3.
2.【解析】选A.∵a
b =(-2,-1),a b =(4,-3),
∴a =(1,-2),b =(-3,1). ∴a ·b =-3-2=-5. 3.【解析】选C.设a
OP OQ ,利用平行四边形法则作出向量OP OQ ，再平移即发现
a FO .
4.【解析】选C.∵a =(2,1),∴|a |=
5. 又a ·b =10，|a b |=52,
∴|a
b |2=a 2+2a ·b +b 2=50，∴|b |=5.
5.【解析】选A.由题意可知a b λ(λ＞0),∴
1x
x
2λλ
,解得x=2或x=-2(舍去).
6.【解析】选D.由PA PB PC 0++=可知点P 是△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，则
AB AC 2AD +=
又结合重心的性质可知3
AD AP 2
= ∴AB AC 3AP +=.
7.【解析】选C.∵AB AC CB -=，故①错；结合向量的三角形法则可知AB BC CA 0++=，故②正确；设BC 的中点为D ，则AB AC 2AD +=, ∴()()AB AC
AB AC 2AD CB 0+-==,
∴△ABC 为等腰三角形,故③正确；AC AB ＞0只能说明A 是锐角，无法判断△ABC 的形状. 独具【误区警示】本题在求解中常因AC AB ＞0，而直接下结论△ABC 为锐角三角形. 8.【解析】选A.设点P(x,0)，则AP ·BP =(x-1,-1)·(x-3,-1)
=(x-1)(x-3)+1=x 2
-4x+4=(x-2)2
，当x=2时，AP ·BP 取最小值.此时，P(2,0).
9.【解析】选B.A 不正确，
a ·
b =0,可能情况有a b ⊥或a,b 至少有一个为0;C 不正确，a 2
=b 2
只能说明|a |=|b |，但方向不一定相同；D 不正确，a ·b =a ·c 只能说明b ,c 在a 上的射影相同，但不一定有b =c .
独具【易错提醒】实数的运算同向量的运算有相似之处，但由于向量的运算都有明确的几何定义；因此应用向量的运算法则解题时，务必分析其几何意义. 10.【解析】选A.设q =(x,y),由p =(1,2), 且p q ⊗=(-3,-4)
可知(x,2y)=(-3,-4) ∴x=-3,y=-2∴q =(-3,-2)
11.【解析】选B.5秒后点P 的坐标为(-10，10)+5(4，-3)= (10,-5).
12.独具【解题提示】先判断点M 的位置，然后借助三角形的面积公式求解. 【解析】选B.由31
AM AB AC 44
=
+可知，点M 在线段BC 上.设BM BC =λ， 则()
AM AB BM AB BC AB AC AB =+=+λ=+λ-
31
(1)AB AC AB AC 44
=-λ+λ=+,
∴λ=14
.
又△ABM 与△ABC 的高相等,
∴△ABM 与△ABC 的面积之比等于BM ∶BC=1∶4.
13.独具【解题提示】本题考查的是平面向量的运算，解题的关键是表示出a ·b =0，然后找到关于k 的等式进行求解.
【解析】由题12a e 2e =-,12b ke e =+,a ·b 12(e 2e )=-·(12ke e +)
=k+cos
23π -2kcos 23π -2=0,可以解得k=54. 答案：54
14.【解析】如图所示：
在Rt △ACD 中，CD=20，AD=40, ∴CD 1
sin CAD AD 2
∠=
=,∠CAD=30°, 船航行的方向应与河岸垂直方向成30°夹角. 答案：30°
15.独具【解题提示】首先根据数量积的定义，将1b ,2b 用12e ,e 表示出来，再结合12e ,e 都是单位向量，且夹角为
3
π
可得. 【解析】221212121122b b (e 2e )(3e 4e )3|e |2e e 8|e |=-+=--
又∵〈12e ,e 〉=3π
,|1e |=1,|2e |=1, ∴12b b 32cos 831863
π
=--=--=-.
答案：-6 16.【解析】当λ=
12时，()
111
OP OA AB AC OB OC 222
=++=+,∴P 为BC 的中点， ∴PB PC 0+=.∴PA ·(PB PC +)=0.
答案：0
17.【解析】(1)设b a =λ，则|b |=1，34b (,)55=-或34b (,)55
=-.
(2)由a c ⊥，a =(3，-4)，可设c =λ(4，3)，∵|c |=1,求得43c (,)55=或43c (,)55
=--. (3)设e =(x,y)，则x 2
+y 2
=25.
又25
a e |a ||e |cos 4522
=︒=， 即25
3x 4y 22
-=
， 由上面关系求得
722e (
,)=或272
e (,=-， 而向量e 由a 绕原点逆时针方向旋转45°得到，故
722e (
,)=. 18.【解析】(1)∵1212AB e e ,BD BC CD 5e 5e =+=+=+ ∴BD 5AB =，即AB ,BD 共线， ∴A,B,D 三点共线.
(2)∵(
)()12122e e e ke +⊥+
∴()1
2
2e e +·()1
2
e ke +=0
∴2
2
1121222e 2ke e e e ke 0+++= 即12k k 02++
+=, 解得5k 4
=-. 19.【解析】如图：
ABCD 中：AB DC =，AD BC =，AC AB AD =+.
∴22
|AC ||AB AD |=+
22
AB AD 2AB AD =++.
又BD AD AB =-
∴2
2
22|BD||AD AB|AB AD 2AB AD =-=+- ∴2
2
22|AC||BD|2AB 2AD +=+
独具【方法技巧】用向量方法解平面几何问题的一般步骤 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
2.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等；
3.把运算结果“翻译”成几何关系.
20.【解析】(1)∵a =(1,0), b =(2,1),∴a +3b =(7,3), ∴|a +3b |227358=+=(2)∵a =(1,0), b =(2,1), ∴k a -b =(k-2,-1),a +3b =(7,3), 若k a -b 与a +3b 平行，则3k-6=-7,
21.【解析】(1) OA ·OB =7×(-3)+1×(-4)=-25, (2)设P(m,n)，∵P 在AB 上，∴BA 与PA 共线，
BA =(10,5), PA =(7-m,1-n),
∴10(1-n)-5(7-m)=0,
即2n-m+5=0. ① 又∵OP AB ⊥，∴(m,n)·(-10,-5)=0, 即2m+n=0. ② 由①②得m=1,n=-2，即OP =(1,-2) .
22.独具【解题提示】先判断四边形的形状，再求面积. 【解析】∵AB ·AD =(4i -2j )·(3i +6j ) =3×4-2×6=0, ∴AB AD ⊥.
又∵AC 7i 4j 4i 2j 3i 6j AD AB =+=-++=+, ∴四边形ABCD 为平行四边形， 又AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为矩形. ∴S 四边形ABCD |AB ||AD |164
93630==++=.。