2020高中数学 回扣验收特训(二)平面解析几何初步 2

回扣验收特训（二） 平面解析几何初步
1．点A （2，0,3)在空间直角坐标系中的位置是（ ）
A ．在y 轴内
B ．在xOy 平面内
C ．在xOz 平面内
D ．在yOz 平面内
解析：选C 点A （2,0,3)的纵坐标为0，所以点A 应在xOz 平面内．
2．若直线l ：（m 2－2m －3）x ＋(2m 2＋m －1）y －2m ＋6＝0的斜率为1，则实数m 的值为（ )
A ．－1
B ．错误!
C ．－1或错误!
D ．1或错误!
解析：选B 由直线的斜率为1，得错误!
解得m ＝43
,选B. 3．已知点M (a ,b )在直线4x －3y ＋c ＝0上，若(a －1)2＋(b －1）2的最小值为4,则实数c 的值为（ ）
A ．－21或19
B ．－11或9
C ．－21或9
D ．－11或19
解析：选B ∵点M （a ,b )在直线4x －3y ＋c ＝0上,
∴点(1，1）到此直线的最小距离d＝｜4－3＋c｜
5
＝2，
解得c＝9或－11.故选B。

4．光线从点A(－3，5）射到x轴上，经反射后经过点B(2，10），则光线从A到B的距离是( ）
A．5错误!B．2错误!
C．5错误!D．10错误!
解析:选C 根据光学原理，光线从A到B的距离,等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5）．所以A′B＝错误!＝5错误!。

5．直线y＝x＋b与曲线x＝错误!有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．｜b｜＝错误!B．－1〈b≤1或b＝－错误!
C．－1≤b≤1 D．非A,B,C的结论
解析：选B 作出曲线x＝1－y2和直线y＝x＋b，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．将曲线x＝1－y2变为x2＋y2＝1（x≥0)．当直线y＝x＋b与曲线x2＋y2＝1相切时，则满足错误!＝1，｜b｜＝错误!，
b＝±错误!。

观察图像，可得当b＝－错误!或－1<b≤1时，直线与曲线x＝错误!有且仅有一个公共点．
6．（2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点,点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（)
A．［2，6] B．[4，8]
C．[错误!，3错误!] D．[2错误!，3错误!］
解析:选A 设圆（x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r,点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝错误!,
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为错误!＝2错误!，
可得d max＝2错误!＋r＝3错误!，d min＝2错误!－r＝错误!.
由已知条件可得｜AB|＝22,
所以△ABP面积的最大值为错误!|AB｜·d max＝6，
△ABP面积的最小值为1
2
｜AB｜·d min＝2。

综上,△ABP面积的取值范围是［2，6］．
7．（2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则｜AB｜＝________。

解析:由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋（y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1），半径r＝2。

圆心C(0，－1）到直线x－y＋1＝0的距离d＝错误!＝错误!,
∴|AB｜＝2错误!＝2错误!＝2错误!.
答案:22
8．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最大值为________．
解析：圆心到直线的距离为|－25|
32＋42
＝错误!＝5，再加上圆x2＋y2
＝1的半径，得5＋1＝6,即为所求的最大值．
答案：6
9．过点P(3，0）作一直线l,使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，则此直线l的方程是________．
解析：法一:设直线l的方程为y＝k（x－3），
将此方程分别与l1,l2的方程联立，
得错误!和错误!
解得x A＝错误!和x B＝错误!，
∵P（3,0)是线段AB的中点，∴x A＋x B＝6，
即错误!＋错误!＝6,解得k＝8.
故直线l的方程为y＝8（x－3),即8x－y－24＝0.
法二:设直线l1上的点A的坐标为(x1，y1）,
∵P(3,0）是线段AB的中点，
则直线l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1），
∴错误!解得错误!
∴点A的坐标为错误!，由两点式可得直线l的方程为8x－y－24＝0.
答案:8x－y－24＝0
10．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1，0)和B（3,4），且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
解：∵线段AB的中点为(1，2），直线AB的斜率为1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，
即y＝－x＋3。

联立错误!解得错误!
即圆心C为(－3,6），
则半径r＝－3＋12＋62＝210.
又AB＝3＋12＋42＝4错误!，
∴圆心C到AB的距离d＝错误!＝4错误!,
∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝42＋2错误!，
∴△PAB的面积的最大值为错误!×4错误!×（4错误!＋2错误!)＝16＋8
错误!。

11．已知：以点C错误!(t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O,A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
解：(1）证明：∵圆C过原点O,∴r2＝OC2＝t2＋错误!。

设圆C的方程是(x－t）2＋错误!2＝t2＋错误!。

令x＝0，得y1＝0，y2＝错误!；令y＝0,得x1＝0,x2＝2t.
∴S△OAB＝错误!×OA×OB＝错误!×错误!×｜2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2）∵OM＝ON，CM＝CN,
∴直线OC垂直平分线段MN.
∵k MN＝－2，∴k O C＝错误!。

∴直线OC的方程是y＝错误!x。

∴错误!＝错误!t。

解得t＝2或t＝－2。

当t＝2时，圆心C的坐标为（2,1），OC＝错误!，
此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝错误!<错误!,
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为（－2，－1），OC＝错误!，
此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝错误!〉错误!，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为（x－2）2＋(y－1）2＝5.
12．已知△ABC的三个顶点A（－1，0)，B(1,0）,C(3，2),其外接圆为圆H。

（1）求圆H的标准方程；
（2）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2,求直线l的方程；
(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．
解:(1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0）,则由题意，可知错误!解得错误!
所以圆H的标准方程为x2＋(y－3)2＝10。

（2)设圆心到直线l的距离为d，则1＋d2＝10，
所以d＝3.
若直线l的斜率不存在,即l⊥x轴时,
则直线方程为x＝3,满足题意；
若直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x－3)＋2，
圆心到直线l的距离为d＝错误!＝3，
解得k＝错误!，所以直线l的方程为4x－3y－6＝0.
综上可知,直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0。

（3）由题意得0＜CP－r≤2r,
即r＜CP≤3r恒成立，
所以错误!
解得错误!≤r＜错误!。

于是圆C的半径r的取值范围为错误!.。