人口预测论文概要

计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素，计划生育有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。

但另一方面，其负面影响也开始显现。

于是党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。

政策出台前后各方面专业人士对开放“单独二孩”的效应进行大量的研究和评论。

问题一：预测未来人口的变化，根据国家统计局的有关数据及相关信息，老年抚养比随着时间不断增长，少儿抚养比却不断下降，但是总的抚养比确是不断增长，很明显，未来几十年内，中国老年化将会非常严重，对整个社会发展进程很不利。

问题一引入logistic 模型来处理问题。

利用Logistic 模型通过M atlab 编程对数据进行非线性拟合，计算出相关系数之后，得到预测出未来人口的数量模型t
e t x 0597,0)19
.114438.14(14438
.14)(-+=
，预测2015年人口13.7018亿人,2020年人口
13.8858亿人，2025年人口14.0257亿人，2030人口14.1313亿人,与专家预测数据进行比较分析，发现误差范围很小（详情见表二），，因此，模型一具有较高的准确度，可信度。

问题二：本文从人口老年化入手，通过国家统计局数据，得到1993年到2013年老年抚养比，少儿抚养比数据，根据数据情况分析，利用了GM(1,1)灰色预测模型（程序见附录）得到少儿抚养比和老年抚养比未来几年预测结果，对于总抚养比，采取根据散点图分布效果，采取三次多项式拟合，得到模型
3200346.0103.0106.0438.50x x x y +--=，此模型相关性达97%，效果好。

通过模拟预
测未来几年数据，发现老年抚养比随着时间不断增长，少儿抚养比却不断下降，但
是总的抚养比却还是是不断增长，很明显，未来几十年内，中国老年化将会非常严重，青壮年资源流失，对整个社会发展进程将带来很大负面影响。

问题三：在问题二基础上，引入了社会养老保险金，通过数据建立老年抚养比与社会养老保险金关系模型，得到具体函数图形，不难看出人口老龄化会给整个社会带来的的经济负担，单独二胎政策正好可以提高人口出生率，在未来可以缓解人口老龄化这一状况，减轻社会经济负担，增加青年劳动力等方面的优势，有利于可持续发展等多方面因素。

关键字：Logistic 灰色预测 多项式拟合 老龄化 单独二胎政策
一、问题重述
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。

从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。

该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。

但另一方面，其负面影响也开始显现。

如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。

党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。

政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。

人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。

这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。

这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。

研究中用到的数据的置信水平也与调查统计有关。

问题一：请收集一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，预测未来人口变化。

问题二：对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解。

问题三：针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

二、问题分析
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素，计划生育有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。

但另一方面，其负面影响也开始显现。

问题一：预测未来人口的变化，根据国家统计局的有关数据及相关信息，可以看出人口数量的发展规律，在发展初期，人口数量增长越来越快，到达一定时期后，其增长速度逐渐下降，由此，我们引入logistic模型来处理问题。

利用Logistic模型通过M atlab编程对数据进行非线性拟合，计算出相关系数之后，得到预测出未来人口的数量模型，与专家预测数据进行比较分析，确定模型有效性。

问题二：对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解，本文从人口老年化入手，通过国家统计局数据，得到老年抚养比，少儿抚养比，总抚养比，根据数据情况分析，利用了灰色预测，多项式拟合建立相应的数学模型，预测未来人口老龄化程度，对预测结果发表自己见解。

问题三：问题二基础上，引入了社会养老保险金，通过数据建立老年抚养比与社会养老保险金关系模型，得到具体函数图形，不难看出人口老龄化会给整个社会带来的的经济负担，单独二胎政策正好可以提高人口出生率，在未来可以缓解人口老龄化这一状况，减轻社会经济负担，增加青年劳动力等方面的优势，有利于可持续发展等多方面因素。

三、模型假设与符号说明
3.1模型的假设
1.假设收集的数据误差在允许的范围内，不会影响模型的最终结果。

2.在预测人口模型中，不考虑与境外的迁入与迁出问题。

3.假设出生率、死亡率和自然增长率比例不随人口流动而变化。

4.不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响。

5.在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。

3.2符号说明
r人口增长率
x人口数量
x最大人口数
m
2
R可决系数
t年份
a,辨别参数
u
为构造数据矩阵
B
2
r F P 一元三次拟合检验参数
P,灰色预测检验参数
C
k预测年份
w相关年度
四、模型的建立与求解
4.1.1问题一模型的分析
由国家统计局的数据可以看出人口数量的发展规律，在发展初期，人口数量增长越来越快，到达一定时期后，其增长速度逐渐下降，由此，我们引入logistic 模型来处理问题。

4
.1.2问题一模型的建立
logistic 是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。

若将r 表示为x 的函数)(x r 。

则它应是减函数。

于是有：
0x )0(x ,x )x (r dt
dx
== （4.1.1）
设)(x r 为x 的线性函数，即
)
0s ,0r (sx r )x (r >>-= （4.1.2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，
即增长率0)(=m x r ，代入（4.1.2）式得m x r
s =，于是（4.1.2）式为
)x x 1(r )x (r m
-
= （4.1.3）
将（4.1.3）代入方程（4.1.1）得：
()⎪⎩
⎪⎨⎧=-
=0m
x 0x )x x 1(rx dt dx
（4.1.4）
解方程（4.1.4）可得： rt
m m
e x x
x t x --+=
)1(1)(0
(4.1.5)
4.1.3问题一模型的求解
（万人）
517
850
121
389
626
761
786
743
627
453
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
129,227 129,988 130,756 132,129 132,802 132,802 133,450 134,091 134,735 135,404 136,07
利用从中国统计局数据库上查到我国从1993年到2013年全国总人口的数据（如表1）通过Matlab 编程（源程序见附录1），将1993年看成初始时刻t=0，以次类推，以2013年为作为终时刻t=20。

拟合图像如下：
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
93年至13年人口趋势
且得到相关的参数0.05975,14.4438 ==r x m ，可以算出可决系数（即相关系数的平方，是判别曲线拟合效果的一个指标）：
99813.0)y y
()y
ˆy
(1R 51
i 2i
5
1i 2i i
2
=---
=∑∑==
由可决系数来看拟合的效果比较理想。

所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：
t
e t x 05975.0)19
.114438.14(14438.14)(-+=
由此我们可以对2015年（23=t ）、2025年（33=t ）、及2035年（43=t ） 进行预年x(23)= 13.7018；2020年 x(28)=13.8859；2025年 x(33)=14.0257；2030年x(3测得（单位：亿）： 拟合预测结果：2015 8)=14.1313;
4.1.3问题一模型的结果分析
由模型一的求解可预测出未来人口的数量，并与专家预测的人口数量进行比较，如表二所示：
表二：拟合预测结果与专家预测结果分析表： 选项 数据 年份 2015 2020 2025 2030 拟合预测结果（亿） 13.7018 13.8859 14.0257 14.1313 专家预测结果13.77 14.01 14.12 14.11
比分析，并计算出了相对误差，由对比结果来看，相对误差较小，因此，模型一具有较高的准确度，可信度。

4.2.1问题二模型的分析
通过国家统计局进行统计分析，探讨其老年抚养比，少儿抚养比在时间上的变化规律,可以预测得出人口老龄化趋势。

由于影响变化的因素众多,且有些因素是不完全确定的,从而增加了资料获取的难度,影响预测结果的精度. 灰色预测法是一种对既含有已知信息又含有不确定因素的系统进行预测的方法,它的特点是所需信息量少,不仅能够将无序离散的原始序列转化为有序序列,而且预测精度高,能够保持原系统的特征,较好地反映系统的实际情况。

因为总抚养比的散点图效果好，选择三次多项式拟合，准确度更高。

分析三个抚养比趋势，判断人口老龄化程度。

4.2.2问题二模型的建立
（1）)(),...2(),1(000m x x x 是所要预测的某项指标的原始数据, 对原始数据作一次
累加生成处理,即 )()(101
t x m x m
i ∑== (4.2.1)
得到一个新的数列,这个新的数列与原始数列相比,其随机性程度大大弱化,平稳性大大增加.
(2)将新数列的变化趋势近似地用微分方程描述
u ax dt
dx =+)1()
1( (4.2.2) 其中,a,u 为辨识参数, 辨别参数通过最小二乘法拟合得到
[]M T T
a u
Y B B B
1)(-= (4.2.3)
(3)构造数据矩阵, (4.2.3)式中M Y 为列向量,[]
T
M m x x x x Y )(),...,4(),3(),2(0000= B 为构造数据矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+--+-+=111)]()1([21)]3()2([21)]2()1([21-)1()1()1()1()1()1( M x M x x x x x B (4.2.4) (4)求出预测模型
a
u
e a u x t x at +-=+-])1([)1()0()1( (4.2.5）
4.2.3问题二模型的求解
通过国家统计数据，如表二所示，利用GM(1，1)灰色模型预测出少儿抚养比和老年抚养比的预测模型(GM （1，1）程序见附录)如下：
少儿抚养比% 40.7 40.5 39.6 39.3 38.5 38.0 37.5 32.6 32.0 31.9 老年抚养比% 9.2
9.5 9.2 9.5 9.7 9.9 10.2 9.9 10.1 10.4 总抚养比% 49.9 50.1 48.8 48.8 48.1 47.9 47.7 42.6 42.0 42.2 年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
少儿抚养比%
31.4
30.3
28.1
27.3
26.8
26.0
25.3
22.3
22.1
22.2
老年抚养比% 10.7 10.7 10.，7 11.0 11.1 11.3 11.6 11.9 12.3 12.7 总抚养%
42.0
41.0
38.8
38.3
37.9
37.4
36.9
34.2
34.4
34.9
少儿抚养比 734422.1249034422.1209)1(03539.0+-=+-k e k x 老年抚养比 266924.552466924.561)1(162.0-=+k e k x
对抚养比，根据国家统计局数据，按照散点图分布，利用MATLAB 采取三次的多
项式拟合，程序见附录，得到模型表达式。

总抚养比：3200346.0103.0106.0438.50x x x y +--=
4.2.3问题二模型的检验 分别求出少儿抚养比，老年抚养比模型预测值与实际值的绝对误差和相对误
值% 40.7
40.5
39.6
39.3
38.5
38.0
37.5
32.6
32.0
31.9
预测值% 40.7 42.03 9226 40.577484 39.166567 37.804711 36.490206 35.221409 33.996728 32.814632 31.673636 绝对 误差 0 1.539226 0.977484 -0.133433 -0.695289 -1.509794 -2.278591 1.396728 0.814632 -0.226364 相对 误差 0 3.800558 2.468394 -0.339524 -1.805945 -3.973142 -6.076243 4.284442 2.545725 -0.709605 年份
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
实际
值%
31.4 30.3 28.1 27.3 26.8 26.0 25.3 22.3 22.1 22.2
预测值% 30.572316 29.509288 28.483224 27.492836 26.536885 25.614173 24.723546 23.863885 23.034116 22.233199 绝对 误差 -0.827684 -0.790712 0.383224 0.192836 -0.263115 -0.385827 -0.576454 1.563885 0.934116 0.033199 相对 误差 -2.635936 -2.609611 1.363786 0.706359 -0.981772 -1.48395 -2.278474 7.012937 4.226769 0.149545
通过以上数据发现误差范围小，模型准确度高。

通过MATLAB （程序见附录）得到关联度检验参数，少儿抚养比参数：c1 = 0.15 p 1=1 w1 =0.68，老年抚养比参数：c 2= 0.20 p 2=1 w2 =0.65，对照灰色预测精度检验标准（表格如下），得到模型效果好，有一定的实用性。

灰色预测精度检验等级标准：
检验指标
好 合格 勉强 不合格
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70 C
<0.35
<0.5
<0.65
≥0.65
对于总抚养比模型，运用MATLAB （程序见附录）得到该模型与原始数据基本吻合，如图
绝对 误差 0 -0.329898 0.119873 -0.027912 -0.07321 -0.115982 -0.256184 0.206221 0.17128 0.039035 相对 误差 0 -3.472611 1.302967 -0.293811 -0.754742 -1.171535 -2.511608 2.08304 1.695842 0.375337 年份
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
实际值 10.7 10.7
10.，7
11.0
11.1
11.3
11.6
11.9
12.3
12.7
预测值
10.60953 10.782809 10.958917 11.137904 11.319811 11.504692 11.692591 11.883559 12.077645 12.274903
绝对 误差 -0.09047 0.082809 0.258917 0.137904 0.219811 0.204692 0.092591 -0.016441 -0.222355 -0.425097 相对 误差 -0.845514 0.773916 2.419785 1.253673 1.980279 1.811434 0.798198 -0.13816 -1.807
764 -3.347
510
152025
93年至13年总人口抚养比
年份
抚养比%
r 2=0.97187, F=195.798, P=0.0000,P<0.05,
作残差分析结果（如图）
24
68
101214161820
Residual Case Order Plot
R e s i d u a l s
Case Number
由图像可知效果很好，则模型3200346.0103.0106.0438.50x x x y +--=成立 通过以上验证，确立了三个模型在一定范围内具有可行性，通过模型的预测得到未来老年抚养比，少儿抚养比，总抚养比数据如下：
人口抚养比GM （1，1）模型预测结果
年份 2015 2020 2025 2030 2035 2040 少儿抚 养比% 20.714 17.355 14.540 12.182 10.206 8.551 总抚养 比% 35.611 37.672 39.115 44.535 48.443 52.435 老年抚 养比%
12.475
13.749
14.909
16.167
17.531
19.010
2015
20202025
203020352040
年份
抚养比
15年至40年人口抚养比预测
通过以上表图可以看出，老年抚养比随着时间不断增长，少儿抚养比却不断下降，但是总的抚养比确是不断增长，很明显，未来几十年内，中国老年化将会非常严重，对整个社会发展进程很不利。

4.3.1问题三模型的分析 在问题二基础上，引入了社会养老保险金，通过数据建立老年抚养比与社会养老保险金关系模型，得到具体函数图形。

观察图像进行判断。

4.3.2问题三模型的建立求解
搜集数据，观察数据（见附录），进行二次拟合（程序见附录）
9.5
1010.51111.51212.513
020004000600080001000012000
1400016000抚养比%
养老保险基金亿元
98年至12年抚养比与养老保险基金关系
不难看出人口老龄化会给整个社会带来的的经济负担。

而单独二胎政策正好可以提高人口出生率，在未来可以缓解人口老龄化这一状况，减轻社会经济负担，增加青年劳动力等方面的优势，有利于可持续发展等多方面因素。

五 模型的评价与改进
优点：
1. 在用模型1对各年全国人口总数预测时结合实际情况，分别用不同时间段的数据拟合确定预测函数。

并对函数预测的数据进行了分析，使模型的计算结果更加准确
2. 建立起不同的模型，能够与实际紧密的联系，结合当前具体国情，对问题进行求解，使该模型具有很好的推广性和通用性。

3. 数据精确可靠。

题目涉及到的数据，均是从“中国统计局”官方网站下载，使得论文的说服力强，实际性更高。

4. 用Logistic 模型对各年全国人口总数预测时结合实际情况，分别用不同时间段的数据拟合确定了两个预测函数。

并对两个个函数预测的数据进行了对比分析，使模型的计算结果更加准确。

缺点：
人口增长的动态因素很多，而且不可能都波及到，所以模型与实际还是有一些距离的。

六、参考文献
[1] 黄宝凤，南京人口管理干部学院学报 1999Vol.15,No.4
[2] 陈强，人口系统模型及人口状况分析，中国优秀硕士学位论文，2004.9。

[3] 谭永基，蔡志杰，数学模型，上海：复旦大学出版社，2005.2。

[4] 张兴永，MATLAB软件与数学试验，江苏：中国矿业大学出版社，2000
[5] 李永胜，人口预测中的模型选择与参数认定，财经科学，2004年4期
[6] 刘静,基于人口学理论的中国放开生育二胎政策研究[J].四川省社会科学院出版社，2010：2-3
[7] 邓聚龙,灰色系统理论教程[M] .武汉：华中理工大学出版社,1990
[8] 中国国家统计局网/
七、附录
程序：
logistic人口预测程序：
t=0:20; %令1993年为初始年
x=[11.9 12.0 12.1 12.2 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.8 12.9 13.0 13.1 13.1 13.2 13.3 13.3 13.4 13.5 13.5 13.6];
[c,d]=solve('c/(1+(c/11.9-1)*exp(-5*d))=12.5','c/(1+(c/11.4-1)*exp(-10*d))=12.9','c','d') ;%求初始参数l
b0=[ 12.3302, 0.039595]; %初始参数值
fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/11.9-1).*exp(-b(2).*t))','b','t');
[b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)
y= 14.4438./(1+( 14.4438/11.9-1).*exp( -0.0597.*t)); %非线性拟合的方程
plot(t,x,'*',t,y,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图
title('93年至13年人口趋势')
legend('普查人口','预测人口')
R1=r1.^2;
R2=(x-mean(x)).^2;
R=1-R1/R2 %可决系数
15年至40年抚养比预测模型：
x=2015:5:2040;
y1=[20.714 17.355 14.540 12.182 10.206 8.551];
y2=[12.475 13.749 14.909 16.167 17.531 19.010];
plot(x,y1,'r-',x,y2,'o-');
总抚养比根据一元三次拟合
x=[1:1:21];
X=[ones(21,1) x',(x.^2)',(x.^3)'];
y=[49.9 50.1 48.8 48.8 48.1 47.9 47.7 42.6 42.0 42.2 42.0 41.0 38.8 38.3 37.9 37.4 36.9 34.2 34.4 34.9 35.3]';
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);%求回归系数的点估计和区间估计
b,bint,stats
figure(1);rcoplot(r,rint)%画出残差及其置信区间
z=b(1)+b(2)*x+b(3)*x.^2+b(4)*x.^3;figure(2);plot(x,y,'k+',x,z,'r');
title('93年至13年总人口抚养比');
GM预测程序：
function gm(x0) %定义函数gm(x0)
n=length(x0);
x1=zeros(1,n);
x1(1)=x0(1);
for i=2:n %计算累加序列x1
x1(i)=x1(i-1)+x0(i);
end
i=2:n; %对原始数列平行移位并赋给y
y(i-1)=x0(i);
y=y'; %将y变成列向量
i=1:n-1; %计算数据矩阵B的第一列数据
c(i)=-0.5*(x1(i)+x1(i+1));
B=[c' ones(n-1,1)];%构造矩阵B
au=inv(B'*B)*B'*y;%计算参数a,u矩阵
i=1:n+1; %计算预测累加数列的值
ago(i)=(x0(1)-au(2)/au(1))*exp(-au(1)*(i-1))+au(2)/au(1);
yc(1)=ago(1);
i=1:n-1; %还原数列的值
yc(i+1)=ago(i+1)-ago(i);
i=2:n;
error(i)=yc(i)-x0(i); %计算残差值
yc(1)=ago(1);
i=1:n-1; %修正的还原数列的值
yc(i+1)=ago(i+1)-ago(i);
c=std(error)/std(x0); %计算后验差比
p=0;
for i=2:n
if(abs(error(i)-mean(error))<0.6745*std(x0))
p=p+1;
end
end
p=p/(n-1);
w1=min(abs(error));
w2=max(abs(error));
i=1:n; %计算关联度
w(i)=(w1+0.5*w2)./(abs(error(i))+0.5*w2);
w=sum(w)/(n-1);
au(1)
au(2)
ago
x0
yc
error
c
p
w
%二次多项式
x=[9.9 10.2 9.9 10.1 10.4 10.7 10.7 10.7 11.0 11.1 11.3 11.6 11.9 12.3 12.7];
X=[ones(15,1) x',(x.^2)'];
y=[1511.6 1924.9 2115.5 2321.3 2842.9 3122.1 3502.1 4040.3 4896.7 5964.9 7389.6 8894.4 10554.9 12764.9 15561.8]';
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);%求回归系数的点估计和区间估计
b,bint,stats
figure(1);rcoplot(r,rint)%画出残差及其置信区间
z=b(1)+b(2)*x+b(3)*x.^2;figure(2);plot(x,y,'k+',x,z,'r');
b =
1.0e+004 *
7.663340857329191
-1.750619511179555
0.100183309024774
bint =
1.0e+005 *
0.275269385575780 1.257398785890058
-0.263061292502120 -0.087062609733791
0.006094146096478 0.013942515708477
stats =
1.0e+005 *
0.000009892159038 0.005503748594666 0.000000000000000 2.361015930888989
随年份的增长养老保险基金和老年抚养比数据
年份1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
养老保险基金（亿元）1511
.6
1924
.9
2115
.5
2321
.3
2842
.9
3122
.1
3502
.1
4040
.3
4896
.7
5964
.9
老年抚养
比%
9.9 10.2 9.9 10.1 10.4 10.7 10.7 10.，7 11.0 11.1 年份2008 2009 2010 2011 2012
养老保险基金（亿元）7389
.6
8,89
4.4
10,5
54.9
12,7
64.9
15,5
61.8
老年抚养
比%
11.311.611.912.312.7。