二面角的定义专业知识讲座

∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB， ∴CAB1A，AB=BB1=1，得AB1= 2 。∵直线B1C与 平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2， Rt△B1AC中，由勾股定理得AC= 2 ，∴AQ=1。 在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN= 6 。
3
sinAQN= 6
当之处，请联系本人或网站删除。
A
AB=AD， BC=CD
已知三个侧面的顶
角,求相邻两个侧
面所成的角
B
D注 意 一 些 全 等
三角形或相似
三角形
C
本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 已 知 : 四 棱 锥 P - A B C D 当的 之底 处面 A ，B C 请D 是 联A 系B = 本2 , 人B C 或=网2 的 站矩 删形 除,侧 。 面 P A B 是 等 边 三
3
O
C
2
在Rt△POE中， OE ， P2O
1
2
P
2
∴ tanPEO 2
2
∴所求的二面2角P-AB-C 的正切值为 2
2
E
O
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例5 已知：当R之t△处A，B请C联中系，本A人B或=网AC站=删a除，。AD是斜边BC上的
高，以AD为折痕使∠BDC成直角。
B1
C1
A1
Q
N
C
B
A
分析：易知，平面ABC与 平面BCC1B1垂直故可由面 面垂直的性质来寻找从一 个半平面到另一个半平面 的垂线。
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解：由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面BCC1B1， 过A作AN ⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN ⊥平 面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面 BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则 NQA即为二面角的平面角。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D， 连CD，可得
APO
B
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
D Nβ
∴又CO∵=a，∠MDOPN=a=，60º PC ∴CD=PC a 2
∴∠COD=90º
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面积法
A
M
三角形ABC在平面
B
C
N内的射影为BCO
O
三角形ABC的面积
N 为S，三角形BCO的
面积为S射
cos(∮)= S 射 S
例本文题档分所提析供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 例1. 在棱长为a的当正之处方，体请联系本人或网站删除。
ABCD－A1B1C1D1中， 求（1）平面C1BD与平面
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
二面角 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。
一、二面角的定义
α
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个 平面所成二面角的余弦值为
SA1B1C1
SAB1E
2 3
D1
M C1
A1
B1
E
D A
C B
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例7：在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与 平面ABC成300角，求二面角B-B1CA的正弦值
a， PD2 a
2
C
a
因此，二面角的度数为90º
P
O
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例3．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α ,PB⊥β,且PA=5， PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与
Ｖ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
Ａ
Ｂ
本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 在 三 棱 角 S-ABC中 当,S之A 处平 ，面 请A 联B C 系,A 本B 人 或B C 网,站D E 删垂 除直 。平 分 SC ,且 分 别 交
A C ,SC 于 D ,E ,又 SAA Ba,B C 2a, (1)求 证 :SC平 面 B D E ; (2)求 平 面 BDE与 平 面 BDC所 成 的 二 面 角 大 小 .
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向 棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角 在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。
⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另 一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法 得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。
二二面角的平面角一二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角定义法三垂线定理法二面角本文档所提供的信息仅供参考之用不能作为科学依据请勿模仿
二面角 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。
一、二面角的定义
从空间一直线出发的 两个半平面所组成的 图形叫做二面角。
ABCD所成角的大小； （2）二面角A－B1D1－C
的大小。
D1
C1
P
A1
B1
D
C
O
A
B
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例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在 α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求 此二面角的度数。
棱ι 交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB
βB
ιO
P Aα
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7
由余弦定理得 cosP 1 ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º 2
∴这二面角的度数为12ຫໍສະໝຸດ º二面角 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 例4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底
再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是 二面角的平面角。
⑶垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥ 于B，作AC⊥ 于C，面ABC交棱a于点
O，则∠BOC就是二面角的平面角。
a

A
A

O B
A


B
a O
C
O a

B
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β
P
B
A
α
二面角的求法 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。
二、二面角的求法
1、直接法：
⑴定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。
⑵三垂线定理法: 在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，
面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-
AB-C的正2 切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
P
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
∴OE∥BC且 OE B C1
OE⊥AB ，因此 PE⊥A2B ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
E
A
B
在Rt△PBE中，BE ， P1B=1，PE
ι
β
二、二面角的平面角
小 1、定义 2、求二面角的平面角方法
ι αβ
γP
B A
结
①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法
③点P在二面角内 —垂面法
β
ι
α
β
pβ
B
p
p
A
B
B
ι
α
A
O
ι
α
A
二面角的求法 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。
3
。即二面角B-B1C-A的正弦值为
6 3
。
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1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选 择，所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
⑸间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积 公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避 免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
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求证：① 平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC
②
∠
BAC
=
。
60
A
证明：① 在图乙中 ∵AD⊥BD，AD⊥DC， ∴AD⊥平面BDC，
又∵AD 平面ABD，AD
B
平面ACD，
∩ ∩
∴平面ABD⊥平面BDC平，面ACD⊥平面BDC。
② 在图甲中 ∵AB=AC=a，∠BAC=90。
C D (甲图）
角 形 , 且 侧 面 P A B 底 面 A B C D . 求 平 面 P A B 与 平 面 P C D 所 成 二 面 角 的 平 面 角
的 正 弦 值 .
Ｐ
Ａ
Ｅ Ｂ
Ｄ
Ｆ Ｃ
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如下图：ＡＢＣＤ是正方形，Ｖ是平面ＡＢＣＤ外一点，且ＶＡ＝ＡＢ＝ＶＣ＝ＡＢ， 求二面角Ａ－ＶＢ－Ｃ的大小。
α
ι
β
二面角 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 二面角的平面角
一个平面垂直于二面角
的 棱 ， 并 与 两 半 平
面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B 垂足为P，则∠APB叫做二面
γ
角 的平面角
ι
A
BD=DC=BC/2=2/2
在图乙中 ∵△ABC是等边三角形
∴ ∠ BAC=60。
D
C
B
（乙图）
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例6、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面 AB1E和底面A1B1C1D1-所成角的余弦值。