精品高中数学3-1和角公式3-1-2两角和与差的正弦课后导练新人教B版必修4
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解析：b=cos5°-sin5°=2cos65°,c=2(cos43°·cos24°-sin24°sin43°)=2cos67°,∵cosx在［０，］上为减函数，∴a>b>c.
答案：a>b>c
7.函数y=sinx+cosx+2的最小值为________.
解析:y=sinx+cosx+2=sin(x+)+2,sin(x+)=-1时,ymin=2-.
答案：2-
8.cos285°cos15°-sin255°sin15°=_________.
解析:cos285°cos15°-sin255°sin15°
=cos(270°+15°)cos15°-sin(270°-15°)·sin15°
=sin15°·cos15°+cos15°sin15°
=sin(15°+15°)=sin30°=.
B.最大值为1，最小值为-
C.最大值为2，最小值为-2
D.最大值为2，最小值为-1
解析：f(x)=2(sinx+cosx)=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+),
∵-≤x≤,
∴-≤x+≤.
∴-1≤f(x)≤2,选D.
答案：D
6.设a=2cos60°,b=cos5°-sin5°,c=2(sin47°·sin66°-sin24°sin43°),则a、b、c的大小关系是_______.
答案：D
4.（2006东北三校联考）如果α∈(,π),且sinα=,那么sin(α+)-cosα等于( )
A. B. C. D.
解析:sin(α+)-cosα=sinαcos+cosαsin-cosα=sinα=.
答案:A
5.当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（）
A.最大值为1，最小值为-1
=sinAsinBsinC.
11.求函数f(x)=的值域.
解：由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,
∴sinxcosx=.
∴f(x)=
=
=(sinx+cosx-1)(其中sinx+cosx+1≠0).
又sinx+cosx=(sinx+cosx)=sin(x+),
∴sinx+cosx∈［-,］,且sinx+cosx≠-1.
答案：
综合运用
9.已知f(x)=a+bsinx+ccosx的图象经过A（0，1），B（，1），当x∈［0，］时，f(x)的最大值为2-1,求f(x)的解析式.
解:由题意知
∴f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+(1-a)sin(x+).
∵x∈［0,］,
∴sin(x+)∈［,1］.
∴当1-a>0时,a+(1-a)·1=2-1,得a=-1;
答案：C
2.已知△ABC中，有关系式tanA=成立，则△ABC为（）
A.等腰三角形
B.A=60°的三角形
C.等腰三角形或A=60°的三角形
D.不能确定
解析：“切化弦”后可得cos(A-C)=cos(A-B),
∴A-C=A-B或A-C=-（A-B），即B=C或2A=B+C，即B=C或A=60°.
答案：C
当1-a<0时,a+(1-a)·=2-1,无解;
当1-a=0时,f(x)=a=1矛盾.
综上,可得a=-1.
∴f(x)=-1+2sinx+2cosx=2sin(x+)-1.
10.求证:在△ABC中,sinA·cosB·cosC+cosA·sinB·cosC+cosA·cosB·sinC=sinA·sinB·sinC.
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课后导练
基础达标
1.若α、β为锐角，且tanα=x,cosβ=，则α+β的值为（）
A.150°B.120°C.90°D.60°
解析：cosβ==tanα·cosα=sinα,由于α、β为锐角，∴α+β=90°.
3.△ABC中，tanC=且sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC是（）
A.等腰三角形
B.等腰但非直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
解析：由tanC=,得C=60°,
由sinAcosB=cos(120°-B)化简得sinAcosB=cosAsinB,∴A=B.∴△ABC为等边三角形.
=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)
=-()×.
∴f(x)的值域为［,-１)∪(-1,］.
拓展探究
12.已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
解：∵<α<,
∴-<-α<0.
∴sin(-α)=.
又∵0<β<,
∴<+β<π.
∴Байду номын сангаасos(+β)=.
∴sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］
证明：由A、B、C为△ABC内角，
∴A+B+C=π.
∴左边=cosC(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosBsinC
=cosCsin(A+B)+cosAcosBsinC
=sinC［-cos(A+B)+cosAcosB］
=sinC［-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB］
答案：a>b>c
7.函数y=sinx+cosx+2的最小值为________.
解析:y=sinx+cosx+2=sin(x+)+2,sin(x+)=-1时,ymin=2-.
答案：2-
8.cos285°cos15°-sin255°sin15°=_________.
解析:cos285°cos15°-sin255°sin15°
=cos(270°+15°)cos15°-sin(270°-15°)·sin15°
=sin15°·cos15°+cos15°sin15°
=sin(15°+15°)=sin30°=.
B.最大值为1，最小值为-
C.最大值为2，最小值为-2
D.最大值为2，最小值为-1
解析：f(x)=2(sinx+cosx)=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+),
∵-≤x≤,
∴-≤x+≤.
∴-1≤f(x)≤2,选D.
答案：D
6.设a=2cos60°,b=cos5°-sin5°,c=2(sin47°·sin66°-sin24°sin43°),则a、b、c的大小关系是_______.
答案：D
4.（2006东北三校联考）如果α∈(,π),且sinα=,那么sin(α+)-cosα等于( )
A. B. C. D.
解析:sin(α+)-cosα=sinαcos+cosαsin-cosα=sinα=.
答案:A
5.当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（）
A.最大值为1，最小值为-1
=sinAsinBsinC.
11.求函数f(x)=的值域.
解：由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,
∴sinxcosx=.
∴f(x)=
=
=(sinx+cosx-1)(其中sinx+cosx+1≠0).
又sinx+cosx=(sinx+cosx)=sin(x+),
∴sinx+cosx∈［-,］,且sinx+cosx≠-1.
答案：
综合运用
9.已知f(x)=a+bsinx+ccosx的图象经过A（0，1），B（，1），当x∈［0，］时，f(x)的最大值为2-1,求f(x)的解析式.
解:由题意知
∴f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+(1-a)sin(x+).
∵x∈［0,］,
∴sin(x+)∈［,1］.
∴当1-a>0时,a+(1-a)·1=2-1,得a=-1;
答案：C
2.已知△ABC中，有关系式tanA=成立，则△ABC为（）
A.等腰三角形
B.A=60°的三角形
C.等腰三角形或A=60°的三角形
D.不能确定
解析：“切化弦”后可得cos(A-C)=cos(A-B),
∴A-C=A-B或A-C=-（A-B），即B=C或2A=B+C，即B=C或A=60°.
答案：C
当1-a<0时,a+(1-a)·=2-1,无解;
当1-a=0时,f(x)=a=1矛盾.
综上,可得a=-1.
∴f(x)=-1+2sinx+2cosx=2sin(x+)-1.
10.求证:在△ABC中,sinA·cosB·cosC+cosA·sinB·cosC+cosA·cosB·sinC=sinA·sinB·sinC.
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课后导练
基础达标
1.若α、β为锐角，且tanα=x,cosβ=，则α+β的值为（）
A.150°B.120°C.90°D.60°
解析：cosβ==tanα·cosα=sinα,由于α、β为锐角，∴α+β=90°.
3.△ABC中，tanC=且sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC是（）
A.等腰三角形
B.等腰但非直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
解析：由tanC=,得C=60°,
由sinAcosB=cos(120°-B)化简得sinAcosB=cosAsinB,∴A=B.∴△ABC为等边三角形.
=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)
=-()×.
∴f(x)的值域为［,-１)∪(-1,］.
拓展探究
12.已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
解：∵<α<,
∴-<-α<0.
∴sin(-α)=.
又∵0<β<,
∴<+β<π.
∴Байду номын сангаасos(+β)=.
∴sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］
证明：由A、B、C为△ABC内角，
∴A+B+C=π.
∴左边=cosC(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosBsinC
=cosCsin(A+B)+cosAcosBsinC
=sinC［-cos(A+B)+cosAcosB］
=sinC［-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB］