2020-2021学年度高中数学 第一章 1.3.2 第一课时 函数奇偶性的定义与判定练习 新人教A版必修1

第一课时函数奇偶性的定义与判定
【选题明细表】
知识点、方法题号
奇偶函数的图象特征2,4,6,11
奇偶性的概念与判定1,3,10,11
奇偶性的应用5,7,8,9,12
1.函数f(x)=x4+2x2是( B )
(A)奇函数
(B)偶函数
(C)既是奇函数又是偶函数
(D)非奇非偶函数
解析:因为f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),
所以函数f(x)=x4+2x2是偶函数.故选B.
2.已知函数f(x)=x3+的图象关于( A )
(A)原点对称 (B)y轴对称
(C)y=x对称(D)y=-x对称
解析:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
因为f(-x)=(-x)3+=-(x3+)=-f(x),
所以函数为奇函数.
所以函数f(x)=x3+的图象关于原点对称,故选A.
3.如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( B )
(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)
(C)y=x2+f(x) (D)y=x2f(x)
解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),
所以y=x+f(x)是奇函数.
对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),
所以y=xf(x)是偶函数.
对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),
所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数,
对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),
所以y=x2f(x)是奇函数.
故选B.
4.下列结论中正确的是( B )
(A)偶函数的图象一定与y轴相交
(B)奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
(C)奇函数y=f(x)的图象一定过原点
(D)图象过原点的奇函数必是单调函数
解析:A项中若定义域不含0,则图象与y轴不相交,C项中若定义域不含0,则图象不过原点,D项中奇函数不一定单调,故选B.
5.已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2 018)=k,则f(-2 018)等于( D )
(A)k (B)-k (C)1-k (D)2-k
解析:设g(x)=a x3+b x,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)+1.因为f(2018)=k,则g(2018)=f(2018)-1=k-1,所以g(-2018)= -g(2 018)=1-k.所以f(-2 018)=g(-2 018)+1=1-k+1=2-k.故选D.
6.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为( A )
(A)-2 (B)2
(C)1 (D)0
解析:由图知f(1)=,f(2)=,
又f(x)为奇函数,
所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.
故选A.
7.若函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,则k等于.
解析:由于函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,因此k-1=0,k=1.
答案:1
8.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)= .
解析:由f(x+2)=-f(x),得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=
f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
答案:-0.5
9.已知函数f(x)=1-.
(1)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;
(2)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.
解:(1)由已知g(x)=f(x)-a得,g(x)=1-a-,
因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即1-a-=-(1-a-),解得a=1.
(2)函数f(x)在(0,+∞)内为增函数.
证明:设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1--（1-）=.
因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,
从而<0,即f(x1)<f(x2).
所以函数f(x)在(0,+∞)内是单调增函数.
10.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D )
(A)y=x+1 (B)y=-x2
(C)y= (D)y=x|x|
解析:A.y=x+1为非奇非偶函数,不满足条件.
B.y=-x2是偶函数,不满足条件.
C.y=是奇函数,但在定义域上不是增函数,不满足条件.
D.设f(x)=x|x|,则f(-x)=-x|x|=-f(x),则函数为奇函数,
当x>0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,
当x≤0时,y=x|x|=-x2,此时为增函数.
综上在R上函数为增函数.故选D.
11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象.
解:(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,
则f(0)=0;
②当x<0时,-x>0,因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-f(-x)
=-[(-x)2-2(-x)]
=-x2-2x,
综上,f(x)=
(2)图象如图.
12.设函数f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上递增,且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),求a的取值范围.
解:由f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上递增,
可知f(x)在(0,+∞)上递减.
因为2a2+a+1=2(a+)2+>0,
2a2-2a+3=2(a-)2+>0,
且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),
所以2a2+a+1>2a2-2a+3,
即3a-2>0,解得a>.
故a的取值范围为(,+∞).。