(推荐)高一下期中数学试卷及答案

振阳公学2012—2013学年第二学期期中考试
高一数学试题
（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（ ） A.1:2:3 B.3:2:1
C.2
D.2 2.不等式x 2-2x +3<0的解集是（ ）
A.{x |－1＜x ＜3}
B.{x |－3＜x ＜1}
C.{x |x ＜－3或x ＞1}
D.∅ 3．数列{}n a 的通项公式32-=n a n 则=+31a a （ ）
A ．0
B ．2
C ．5
D ．－1
4．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为（ ）
A ．1
B ．－21
C ．1或－21
D ．－1或2
1
5．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则7a 为( )．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩
，
，
，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为（ ） A ．０ B ．6 C ．9 D ．15 7．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．120°
D ．30° 8．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）
A 、钝角三角形
B 、直角三角形
C 、锐角三角形
D 、不能确定 9．设0<<b a ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A ．b a 11>
B ．a b a 11>-
C ．b a ->
D ．b a ->-
10．若称
n
a 1＋a 2＋…＋a n
为n 个正数a 1＋a 2＋…＋a n 的“均倒数”已知数列{a n }的各项均为正，
且其前n 项的“均倒数”为
1
2n －1
则数列{a n }的通项公式为( )． A ．2n －1 B ．4n －3 C ．4n －1 D ．4n －5
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。

11．若数列{}n a 满足：11=a ，12
1+=n n
a a ,n =1,2,3,….则=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n a a a 21 . 12．不等式022>++bx ax 的解集是(－
21,3
1
)则a ＋b 的值是 . 13．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC 的面积等于 _______ 14．已知数列{}n a 的前n 项和23n n S =-，则数列{}n a 的通项公式为 .
15．在△ABC 中∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边则
c
a b
c b a ++
+＝ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

16．(本小题满分12分) 已知1)1
()(2++-=x a
a x x f ，
（I ）当2
1
=a 时，解不等式0)(≤x f ；
（II ）若0>a ，解关于x 的不等式0)(≤x f 。

17．(本小题满分12分)数列}{n a 满足11=a ，111
122n n
a a +=+（*N n ∈）。

（I ）求证1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等差数列；
（II ）若33
16
13221>⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n n a a a a a a ，求n 的取值范围。

18．(本小题满分12分) 已知ABC △
1
，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；
（II ）若ABC △的面积为1
sin 6
C ，求角C 的度数．
19．(本小题满分13分) 如图1渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（I ）求渔船甲的速度； （II ）求sin α的值．
20．(本小题满分13分)
在等差数列}{n a 中，首项11=a ，数列}{n b 满足,21n
a
n b ⎪⎭
⎫
⎝⎛=641321=b b b
60 A B C 东 西 北 α
（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求22211<⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n b a b a b a
21．(本小题满分13分)
在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，a 3与a 5的等比中项为2.
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 2
2＋…＋S n
n 最大时，求n 的值．
振阳公学2012—2013学年第二学期期中考试
高一数学试题答案
二、填空题
11．12-n
;
12．－
14; 13; 14. 11,1
2,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩; 15. 1;
16. 解：（I ）当21=a 时，有不等式012
5)(2
≤+-=x x x f ，∴0)2)(21(≤--x x ，
∴不等式的解为：}221
|{≤≤∈x x x ……………………5分
（II ）∵不等式0))(1
()(≤--=a x a x x f
当10<<a 时，有a a >1，∴不等式的解集为}1
|{a x a x ≤≤；
当1>a 时，有a a <1，∴不等式的解集为}1
|{a x a
x ≤≤；
当1=a 时，不等式的解为1=x 。

……………………12分
17. 解：（I ）由
111122n n
a a +=+可得：1112n n a a +=+所以数列}1{n a 是等差数列，首项11
1=a ，公差2d =……………………2分
∴
12)1(111-=-+=n d n a a n ∴1
21
-=n a n ……………………6分 （II ）∵)1
21
121(21)12)(12(11+--=+-=
+n n n n a a n n
∴)12112151313111(2113221+--++-+-=++++n n a a a a a a n n 11(1)22121
n
n n =-=
++ ∴
16
2133
n n >+ 解得16n > 解得n 的取值范围：*{|16,}n n n N >∈………………12分 18. (本小题满分12分)
解：（I ）
由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++= ①，
BC AC += ②， ……………………4分
两式相减，得1AB =． ………………………6分
（II ）由ABC △的面积C C AC BC sin 61sin 21=⋅⋅，得3
1
=⋅AC BC ，…………8分
由余弦定理，得BC
AC AB BC AC C ⋅-+=2cos 2
22 …………………10分
2
1
22)(22=⋅-⋅-+=
BC AC AB BC AC BC AC 所以60C =．………12分 19.(本小题满分13分)解：（I ）依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．在
△ABC 中，由余弦定理，得
2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分
22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=．解得28BC =．………5分
所以渔船甲的速度为142
BC
=海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………7分
（II ）在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=，28BC =，
BCA α∠=，由正弦定理，得
sin sin120
AB BC
α=
．…………………10分
即12sin1202sin 28AB BC α=
==． 答：sin α
的值为14
． ……………12分
20．(本小题满分13分)
n a n b a )2
1
(,11== ，
【解】（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，
.)21
(,)21(,21,)21(,12131211d d a n b b b b a n ++===∴==∴
由64
1
321=b b b ，解得d=1. .1)1(1n n a n =⋅-+=∴…………6分
（2）由（1）得.)21(n n b =设n n n n n b a b a b a T )2
1
()21(3)21(2211322211⋅++⋅+⋅+⋅=+++=
则.)2
1
()21(3)21(2)21(1211432+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T 两式相减得.)21()21()21()21(2121132+⋅-++++=n n n n T n n n n n n n T 2212)21(22
11]
)21(1[2
1211--=⋅---⋅=∴-+.又 2.22
21222111<+++∴<---n n n n b a b a b a n
又…………13分
21．(本小题满分13分) 解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 2
3＋2a 3a 5＋a 2
5＝25.
又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5. 又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4. 而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5.
∴a 3＝4，a 5＝1，q ＝12，a 1＝16. ∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n
. ……………6分
(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ， ……………8分
∴b n ＋1－b n ＝－1， ∴{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列．
∴S n ＝n －n 2，S n n ＝9－n 2，……………9分
∴当n ≤8时，S n n
＞0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n ＞9时，S n n
＜0； ∴n ＝8或9时，S 11＋S 2
2＋…＋S n
n
最大．……………13分
60 A
B
C
东
南
西
北 α。