2019届高三文科数学高三好教育云平台7月特供卷(三)(解析版)

2019届高三文科数学高三好教育云平台7月特供卷（三）
（解析版） 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．若集合{}|0 1 A x x =<<，{}
2|20 B x x x =-<，则下列结论中正确的是（ ） A ．A
B =∅
B ．A B =R
C ．A B ⊆
D ．B A ⊆
【答案】C
【解析】求解二次不等式220x x -<可得：02x <<，则{}|02B x x =<<． 据此可知：{}|01A
B x x =<<≠∅，选项A 错误；
{}|02A B x x =<<，选项B 错误；
且集合A 是集合B 的子集，选项C 正确，选项D 错误．故选C ． 2．已知a 是实数，i
1i
a +-是纯虚数，则a 等于（ ）
A ．1-
B ．1
C
D ．【答案】B 【解析】
i 1i
a +-是纯虚数，i 1+(+1)i
=
1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选B ．
3．将()1f x x x +的图像向左平移
π
4
个单位，再向下平移错误！未找到引用源。

个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ） A ．函数()y g x =的最小正周期是π B ．函数()y g x =的一条对称轴是π8
x = C ．函数()y g x =的一个零点是
3π8
D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
【答案】D
【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭，
图像向左平移
π
4
个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为：
()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦．
则函数()g x 的最小正周期为2π
π2
T ==，A 选项说法正确； 当π8x =
时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π
8
x =，B 选项说法正确；
当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8
，C 选项说法正确；
若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上不单调，D 选项说法错误；故选D ．
4．已知平面向量a ，b ，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【答案】B
【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由
平面向量模的计算公式可得：3-=
=a b ．故选B ．
5．执行下列程序框图，若输入的n 等于7，则输出的结果是（ ）
A ．2
B ．13
C ．12
-
D ．3-
【答案】C
【解析】若输入的n 等于7，则
当i 1=时，满足继续循环的条件，3S =-，i 2=；
当i 2=时，满足继续循环的条件，1
2S =-，i 3=；
当i 3=时，满足继续循环的条件，1
3
S =，i 4=；
当i 4=时，满足继续循环的条件，2S =，i 5=； 当i 5=时，满足继续循环的条件，3S =-，i 6=；
当i 6=时，满足继续循环的条件，1
2
S =-，i 7=；
当i 7=时，不满足继续循环的条件，故输出的1
2
S =-，故选C ．
6．《九章算术》勾股章有一“引葭[jiā]赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A ．
2129 B ．
2329
C ．
1112
D ．
1213
【答案】A
【解析】设水深为x 尺，则
2
2225x x +=+（），解得214x =，即水深214尺，又葭长294尺，则所求概率为21
29
，
故选A ．
7．在等差数列{}n a 中，若35791145a a a a a ++++=，33S =-，那么5a =（ ） A ．4
B ．5
C ．9
D
【答案】B
【解析】由题意可得：3579117545a a a a a a ++++==，79a =，3233S a ==-，21a =-，则数列的公差：
72
272
a a d -=
=-，所以5235a a d =+=．故选B ． 8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．12
B ．18
C ．24
D ．36 【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体ABC DEF -，它是由三棱柱ABC DGF -截去三
棱锥E DGF -后所剩的几何体，所以其体积111
34534324232
V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选C ．
9．设函数()0
x f x x ≥=<，若()()12f a f +-=，则a =（ ）
A ．3-
B ．3±
C ．1±
D ．1-
【答案】C
【解析】∵()()12f a f +-=，∴()1f a =，∴1a =±，选C ． 10．函数()()
()
23
ln 442x x f x x -+=
-的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】函数()
()
()
()
2
23
3
ln 44ln -222x x x f x x x -+==
--（
），可知函数的图象关于2,0（）对称，排除A ，B ，当0x <时，
()2
ln 20x ->，()3
20x -<，函数的图象在x 轴下方，排除D ，故选C ．
11．1F ，2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、
B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A ．4
B
C
D 【答案】B
【解析】设AB m =，∴1212BF BF AF a -==，2122AF AF m a a -=-=，
∴4m a =；因此()()22
2π4424264cos 3c a a a a a =++-⨯⨯⨯；22428c a =，
∴
27e =，e =B ．
12．已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,5 B ．(]1,5 C ．()5,+∞ D ．[)5,+∞
【答案】D
【解析】由题意可知函数()f x 是周期为2T =的偶函数，结合当[]1,0x ∈-时，()2f x x =，绘制函数图象如图所示，函数()g x 有4个零点，则函数()f x 与函数()log 2a y x =+的图象在区间[]1,3-内有4个交点，结合函数图象可得：当3x =时：()log 321a +≤，
求解对数不等式可得：5a ≥，即实数a 的取值范围是[)5,+∞．故选D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．抛物线2y ax =的准线方程是1
32
y =，则a 的值是__________． 【答案】8-
【解析】整理抛物线方程得21a x y =
，∴准线方程为11432
p a =-=，
∵抛物线方程开口向下，∴参数值为8-，故答案为8-．
14．设变量x ，y 满足约束条件02390 210x x y x y ≥+-≥-≤⎧⎪
⎨⎪⎩
-，则目标函数2z x y =+的最小值是__________．
【答案】5
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：2390
210x y x y +-=-=⎧⎨⎩
-，可得点A 的坐标为：()3,1A ，
据此可知目标函数的最小值为：min 23215z x y =+=+⨯=．
15．已知数列{}n a ：12，1233+，123
444
++，···，1239
10101010
+++
+
，···， 若1
1
n n n b a a +=
⋅，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为__________．
【答案】
41
n
n + 【解析】由题意得，数列的通项123123111
112
n n n n a n n n n n ++++=+++==+++++， 所以()1141
1411n n n b a a n n n n +⎛⎫=
==- ⎪⋅++⎝⎭
，所以数列{}n b 的前n 项和
111111114414122323111n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-+-+-+
+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦． 16．已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S ABCD -，四棱锥S ABCD -的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S ABCD -的体积最大时，它的底面边长等于__________cm ．
【答案】4
【解析】如图，设四棱锥S ABCD -的侧棱长为x ，底面正方形的边长为a ，棱锥的高为h ．
由题意可得顶点S 在地面上的射影为底面正方形的中心1O ，则球心O 在高1SO 上．
在1t R OO B ∆中，13OO h =-，3OB =，1O B =
整理得22
122a h h =-．又在1Rt SO B △
设()646f x x x =-+，则()()
5332624624f x x x x x ='=-+--， 时，()0f x '>，()f x 单调递增， 时，()0f x '<，()f x 单调递减．
时()f x 取得最大值，即四棱锥S ABCD -的体积取得最大值，
，解得4a =．
∴四棱锥S ABCD -的体积最大时，底面边长等于4cm ，故答案为4cm ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数()f x =⋅a b ，其中()
2cos x x =a ，()cos ,1x =b ，x ∈R ． （1）求函数()y f x =的周期和单调递增区间；
（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()2f A =，a =且s
i n 2s i n B C =，求ABC
△
的面积．
【答案】（1）πT =，单调递增区间是()πππ,π36k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
Z ；（2）ABC S =△
【解析】（1）()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛
⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝
⎭a b ，
解得ππ
ππ36
k x k -+≤≤+，k ∈Z ，
函数()y f x =的单调递增区间是()πππ,π36k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．
（2）∵()2f A =，∴π2sin 2126A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π1sin 262A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
又∵0πA <<，∴π
3
A =
，∵a 由余弦定理得()2
2222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=，① ∵sin 2sin B C =，∴2b c =，②，
由①②得27
3
c =
，∴ABC S =△
18．（12分）如图，在ABC △中，C ∠为直角，4AC BC ==．沿ABC △的中位线DE ，将平面ADE 折起，使得90ADC ∠=︒，得到四棱锥A BCDE -．
（1）求证：BC ⊥平面ACD ； （2）求三棱锥E ABC -的体积； （3）M 是棱CD 的中点，过M 做平面α与平面ABC 平行，设平面α截四棱锥A BCDE -所得截面面积为S ，试求S 的值．
【答案】（1）见解析；（2（3
AD DC D =）由（1）可知：又因为ADC ∠=又因为BC DC C =，所以ABC A EBC V -=
（3的中点N ，P ，Q ，并连接MN ，NP ，PQ ，QM ，
因为平面α∥平面ACD ，所以平面α与平面ACD 的交线平行于AC ，因为M 是中点，所以平面α与平面ACD 的交线是ACD △的中位线MN ．同理可证，四边形MNPQ 是平面α截四棱锥A BCDE -的截面．即：MNPQ S S =．
由（1）可知：BC ⊥平面ACD ，所以BC AC ⊥， 又∵QM AC ∥，MN BC ∥，∴QM MN ⊥． ∴四边形MNPQ 是直角梯形．
在Rt ADC △中，AD CD 2==∴
19．（12分）2018年1月16日，由新华网和中国财经领袖联盟联合主办的2017中国财经年度人物评选结果揭晓，某知名网站财经频道为了解公众对这些年度人物是否了解，利用网络平台进行了调查，并从参与调查者中随机选出200人，把这200人分为A ，B 两类（A 类表示对这些年度人物比较了解，B 类表示对
（1）若按照年龄段进行分层抽样，从这200人中选出10人进行访谈，并从这10人中随机选出两名幸运者给予奖励．求其中一名幸运者的年龄在25岁～35岁之间，另一名幸运者的年龄在35岁～45岁之间的概率；(注：从10人中随机选出2人，共有45种不同选法)
（2）如果把年龄在15岁～35岁之间的人称为青少年，年龄在35岁～60岁之间的人称为中老年，则能否
在犯错误的概率不超过001．
的前提下认为青少年与中老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异？ 参考数据：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++
【答案】（1）4
15
P =
，（2）在犯错误的概率不超过001．
的前提下认为青少年与老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异． 【解析】（1）按照年龄段进行分层抽样，从这200人中选出10人，则年龄在15岁～25岁之间的有2人，年龄在25岁～35岁之间的有4人，记作a ，b ，c ，d ，年龄在35岁～45岁之间的有3人，记作e ，f ，g ，年龄45岁～60岁在之间的有1人． 由题意得，从这10人中随机选取2人，结果有45种，两名幸运者中，其中一名幸运者的年龄在25岁～35岁之间，另一名幸运者的年龄在35岁～45岁之间的结果有：
(),a e ，(),a f ，(),a g ，(),b e ，(),b f ，(),b g ，(),c e ，(),c f ，(),c g ，(),d e ，(),d f ，(),d g ，共
种．故
所求的概率为1244515
P =
= （2）青少年中A 类的人数为40675%8085%95⨯+⨯=．
，则B 类的人数为1209525-= 中老年中A 类的人数为6095%2090%75⨯+⨯=，则B 类的人数为80755-= 列出列联表如下：
计算得错误！未找到引用源。

的观测值()2
2009557525800766351703013080
k ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯．．
所以在犯错误的概率不超过001．
的前提下认为青少年与老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异． 20．（12分）点A 为椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上的一个动点，弦AB ，AC 分别过椭圆的左右焦点1F ，2F ．当
A C x ⊥轴时，恰好122AF AF =．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设112AF F B λ=，222AF F C λ=，试判断12λλ+是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）e =
．（2）124λλ+=是定值． 【解析】（1）因为当AC x ⊥轴时，恰好122AF AF =，由椭圆的定义知，
222222,b a AF AF AF a
-==
所以2222b b a a a
-=，即2222
22223b a b b a -=⇔=，故椭圆的离心率c e a ==．
（2）设椭圆的半焦距为c ，则()1,0F c -，()2,0F c ，
椭圆方程设为22
222221236032x y x y c c c
+=⇔+-= ①设()00,A x y ，()11,B x y ，()22,C x y
若直线AC 的斜率存在，则直线AC 方程为()0000222 2360y x c y x c x y c x c y x y c -=-⇔=+⎧⎪⎨+-=⎪⎩
- 联立消x 得()()222220000023240x c y y cy x c y c y ⎡⎤-++--=⎣⎦
由韦达定理得：()220022200423c y y y x c y -=
-+，()2022200423c y y x c y -=-+ 同理()220012200423c y y y x c y -=++，()2012200423c y y x c y -=++
由111AF F B λ=得：()2200001112
1234x c y y y y y c λλ++=-⇒=-= 由222AF F C λ=得：()2200022
2234x c y y y c λ-+=-= 所以()()()()222222220000001222222232262232344444x y c c c x c y x c y c c c c λλ+++++-++=
+===
故124λλ+= ②若直线AC x ⊥轴时，显然124λλ+=，综上所述，124λλ+=是定值．
21．（12分）已知函数()1ln x f x x
+=． （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）若关于x 的方程()11e e x x f x k --=++有实数解，求实数k 的取值范围；
（3）求证：()11ln e x x x x x +++<．
【答案】（1）在区间()0,1上()f x 为增函数，在区间()1,+∞上()f x 为减函数；（2）1k ≤-；
（3）证明见解析．
【解析】（1）函数()f x 定义域为()0,+∞；
在区间()0,1上()'0f x >，()f x 为增函数；
在区间()1,+∞上()'0f x <，()f x 为减函数；
（2）令()11e e x x g x k --=++，()11'e e x x g x --=-
在区间()0,1，为()'0g x <，()g x 为减函数；
在区间()1,+∞，为()'0g x >，()g x 为增函数；
()()min 12g x g ==，由（1）得()()max 11f x f ==，
若关于x 的方程()11e e x x f x k --=++有实数解等价于()()min max g x f x ≤．
即：21k +≤，1k ≤-．
（3）原不等式等价于e 1ln 1x x x x
+>+． 由（1）得()()10f x f ≤=，当且仅当1x =时取等号， 即1ln 1x x
+≤，当且仅当1x =时取等号． 令()()e 01x
h x x x =>+，()()
e '01x x h x x =>+，所以函数在()0,+∞上为增函数， 所以()()01h x h >=，即e 11
x
x >+， 由此得e 1ln 1x x x x
+>+，即()11ln e x x x x x +++<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，圆的普通方程为2246120x y x y +--+=，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭ （1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围．
【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩
=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ
+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线的直角坐标方程为20x y +-=．
（2）由直线的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．
设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．
由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩
=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．
因为θ∈R ，所以44PA PB -⋅≤+
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数()f x =（1）当1a =，求函数()f x 的定义域；
（2）当[]1,2a ∈时，求证：()2215f x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭
【答案】（1）0x ≤；（2）证明见解析．
【解析】（1）当1a =时，()f x =
所以110x x --+≥，得()()2211x x -≥+，解得0x ≤．
（2）()221111111225f x f x a x a a a x a x x a a a ⎛⎫⎛⎫+-=--++----+≤+=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当且仅当2a =时等号成立．
【山东省实验中学2018届第二次模拟考试文数试题用稿】。