高考数学大一轮总复习 几何证明选讲 计时双基练62 全等与相似 文 北师大版选修4-1-北师大版高三

计时双基练六十二 全等与相似
1．(2016·某某模拟)如图，正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，AD AC ＝1
3
，AE ＝BE ，
则有( )
A ．△AED ∽△BED
B ．△AED ∽△CBD
C ．△AE
D ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD
解析 在正三角形ABC 中，
AD AC ＝1
3
，AE ＝BE ， 在△AED 与△CBD 中，∠A ＝∠C ，CD AD ＝BC AE ＝2
1
， 故△AED ∽△CBD 。

答案 B
2．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶EC ＝2∶3，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，
BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )
A ．4∶10∶25
B ．4∶9∶25
C ．2∶3∶5
D ．2∶5∶25
解析 由已知易得△DEF ∽△BAF ，且相似比为2∶5，故S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25。

而△BED 与△BEA 有同底BE ，高之比为2∶5， 故S △BED ∶S △BEA ＝2∶5，
即(S △DEF ＋S △BEF )∶(S △ABF ＋S △BEF )＝2∶5，
由比例的性质可得：S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝4∶10∶25。

故选A 。

答案 A
3．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 中点，F 是AD 上一点，且AF ＝1
4AD ，EG ⊥CF 于G ，
则下列式子中不成立的是( )
A ．EF ·EC ＝EG ·FC
B ．E
C 2
＝CG ·GF C ．AE 2
＋AF 2
＝FG ·FC D ．EG 2＝GF ·GC 解析 由题意，正方形ABCD 中，
E 是AB 中点，
F 是AD 上一点，
且AF ＝1
4AD ，所以△AEF ∽△BCE ，
所以∠AEF ＝∠BCE ， 所以∠FEC ＝90°，
因为EG ⊥CF ，所以EF ·EC ＝EG ·FC ，AE 2
＋AF 2
＝EF 2
＝FG ·FC ，EG 2
＝GF ·GC ， 即A ，C ，D 正确，故选B 。

答案 B
4．(2015·某某卷)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则
AB
AC
＝________。

解析 由题意易知△PBA ∽△PAC ，则得PB PA ＝PA PC ＝AB
AC。

所以PA 2
＝PB ·PC ，又BC ＝3PB ，
所以PA 2＝4PB 2
，即PA ＝2PB ，故AB AC ＝PB PA ＝12。

答案 12
5．(2016·某某模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________。

解析 ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AB EF ＝BC CF ，
BC BF ＝CD
EF
，
∴4EF ＝BC BC －BF ，BC BF ＝12EF
， ∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ，
∴BC BF
＝4＝12
EF
，∴EF ＝3。

答案 3
6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝4
5，则CD
＝________，BC ＝________。

解析 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2
＝3，
又由射影定理AC 2
＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝25
4。

∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝9
4
，
由射影定理BC 2
＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154。

答案 3
15
4
7．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋
FG
AD
的值。

解 由平行线分线段成比例定理得
EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC
， 故EF BC ＋FG AD ＝
AF AC ＋FC AC ＝AC
AC
＝1。

8．如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E 。

求证：AE ·BF ＝2DE ·AF 。

证明
过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N 。

在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ， ∴DN ＝1
2
BF 。

∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE
DN。

又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DE
BF ，
即AE ·BF ＝2DE ·AF 。

9. (2016·某某模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝1
3
AB ，点
F 在BC 上，且CF ＝13
BC 。

求证：
(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC 。

证明 设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a 。

(1)CE CB ＝
2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝2
3。

又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，
由∠BAC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴EF ⊥BC 。

(2)由(1)得EF ＝2a ，故AE EF
＝
a
2a
＝
22，AD FB ＝2a 22a ＝22
， ∴AE EF ＝AD FB
，∵∠DAE ＝∠BFE ＝90°， ∴△ADE ∽△FBE ，∴∠ADE ＝∠EBC 。

10. (2016·某某模拟)如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，
ED 交AB 的延长线于F 。

证：AB AC ＝DF AF。

证明 ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C ＝90°。

∴∠1＝∠C 。

∴△ABD ∽△CAD ，∴AB AC ＝BD AD。

又∵E 是AC 的中点，∴DE ＝EC ，∴∠3＝∠C 。

又∵∠3＝∠4，∠1＝∠C ，∴∠1＝∠4。

又∠F ＝∠F ，△FBD ∽△FDA ， ∴BD AD ＝DF AF ，∴AB AC ＝
DF
AF。