2022年最新沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向攻克试题(精选)

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形定向攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10cm AB =，若以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）
A ．5cm
B ．6cm
C ．
D ．
2、矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，点P 在边AB 上，且AP ＝3，如果⊙P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A ．点
B 、
C 均在⊙P 内
B ．点B 在⊙P 上、点
C 在⊙P 内 C ．点B 、C 均在⊙P 外
D ．点B 在⊙P 上、点C 在⊙P 外
3、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝
（ ）
A ．1
B ．12
C
D 4、如图，AB 是O 的直径，O 的弦DC 的延长线与AB 的延长线相交于点P ，OD AC ⊥于点
E ，15CAB ∠=︒，2OA =，则阴影部分的面积为（ ）
A ．53π
B ．56π
C ．512π
D ．524
π 5、已知⊙O 的半径为3，若PO =2，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．点P 在⊙O 内
B ．点P 在⊙O 上
C ．点P 在⊙O 外
D ．无法判断
6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，点C
（1，c ），D d ），E （e ，1），P （m ，n ）均为AB 上的点（点P 不与点A ，B 重合），若m ＜n ＜
，则点P 的位置为（ ）
A ．在BC 上
B ．在CD 上
C ．在DE 上
D ．在EA 上
7、下列叙述正确的有( )个.
（1）y y =随着x 的增大而增大； （2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；
（3）斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；
（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
（5）以2211(1)22
m m m m -+>、、为三边长度的三角形，不是直角三角形． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
8、如图，面积为18的正方形ABCD 内接于⊙O ，则⊙O 的半径为（ ）
A ．32 B
C ．3
D ．
，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置9、在△ABC中，CA CB
关系是（）
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
10、直角三角形△PAB一条边为AB，另一顶点P在直线l上，下面是三个学生做直角三角形的过程以及自认为正确的最终结论：
甲：过点A作l的垂线，垂足为P1；过点B作l的垂线，垂足为P2；作AP3⊥BP3．故符合题意的点P 有三处；
乙：以AB为直径作圆O，⊙O与交l于两点P1、P2，故符合题意的点P有两处；
丙：过点A作P1A⊥AB，垂足为A，交l于点P1；过点B作P2B⊥AB，垂足为B，交l于点P2．故符合题意的点P有两处．
下列说法正确的是（）
A．甲的作法和结论均正确
B．乙、丙的作法和结论合在一起才正确
C．甲、乙、丙的作法和结论合在一起才正确
D．丙的作法和结论均正确
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．
2、已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm．
3、如图，点D为边长是ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____．
4、如图，⊙O的半径为5cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 ___．
5、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，已知等边ABC
内接于⊙O，D为BC的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD 的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AB的长为6，求CE的长．
∠=∠．
2、如图，AB是O的直径，C为O上一点，DCA B
（1）求证：CD是O的切线．
（2）若DE AB
⊥，垂足为E，DE交AC于点F，求证：DCF是等腰三角形．
3、如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝DE
DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊥l，垂足为H．
（1）若l∥AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长；
（2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值；
（3）过点A作AM⊥l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值．
4、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是AD 延长线上一点，连接CD ，CF ，且：CF 是⊙O 的切线．
（1）求证：∠DCF ＝∠CAD ．
（2）探究线段CF ，FD ，FA 的数量关系并说明理由；
（3）若cos B 3
5
=，AD ＝2，求FD 的长．
5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线21
2
y x bx =+． （1）求抛物线顶点Q 的坐标；（用含b 的代数式表示）
（2）抛物线与x 轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A ，B ，与x 轴交于点K ．
①判断△AOB 的形状，并说明理由；
②已知E （2，0），F （4，0），设△AOB 的外心为M ，当点K 在线段EF 上时，求点M 的纵坐标m 的取
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
连接CD ，由直角三角形斜边中线定理可得CD =BD ，然后可得△CDB 是等边三角形，则有BD =BC =5cm ，进而根据勾股定理可求解．
【详解】
解：连接CD ，如图所示：
∵点D 是AB 的中点，90C ∠=︒，10cm AB =， ∴15cm 2
CD BD AB ===， ∵CD BC =，
∴5cm CD BD BC ===，
在Rt△ACB 中，由勾股定理可得
AC =；
故选D ．
本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
2、D
【分析】
如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接DP，CP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=3，AB=8，
∴BP=AB-AP=5，
∵5
PD==，
∴PB=PD，
>=，
∴PC PB PD
∴点C在圆P外，点B在圆P上，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．
3、C
【分析】
根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长
【详解】 解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒
30A ∴∠=︒
BC BC =
∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，
90BCD ∴∠=︒
在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12
BC BD ==1
DC ∴故选C
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．
4、B
【分析】
由垂径定理可知，AE =CE ，则阴影部分的面积等于扇形AOD 的面积，求出75AOD ∠=︒，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，如图：
∵AB 是O 的直径，OD 是半径，OD AC ⊥，
∴AE =CE ，
∴阴影CED 的面积等于AED 的面积，
∴ΔCED AOE AOD S S S +=扇，
∵90AEO ∠=︒，15CAB ∠=︒，
∴901575AOE ∠=︒-︒=︒， ∴275253606
AOD S ππ︒⨯⨯==︒扇； 故选：B
【点睛】
本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．
5、A
【分析】
已知圆O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离是d ，①当r ＞d 时，点P 在⊙O 内，②当r =d 时，点P 在⊙O 上，③当r ＜d 时，点P 在⊙O 外，根据以上内容判断即可．
∵⊙O 的半径为3，若PO ＝2，
∴2＜3，
∴点P 与⊙O 的位置关系是点P 在⊙O 内，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离是d ，①当r ＞d 时，点P 在⊙O 内，②当r =d 时，点P 在⊙O 上，③当r ＜d 时，点P 在⊙O 外．
6、B
【分析】
先由勾股定理确定出各点坐标，再利用m ＜n 判断即可.
【详解】
点C 、D 、E 、P 都在AB 上，
∴由勾股定理得：22212c +=，2222d +=，22212e +=，
解得c =d =e
故C ，D ），E 1），
P （m ，n ），m ＜n ，且m 在AB 上，点C 的横坐标满足c c y ，点D 纵坐标满足d d x y =，
∴从点D 到点C 的弧上的点满足：x y <<，
故点P 在CD 上.
故选：B
此题考查勾股定理和圆的基本性质，掌握相应的定理和性质是解答此题的关键.
7、D
【分析】
根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．
【详解】
y x
=-当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确； 如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确； 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵2
24212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ ∴2
42422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭
∴以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．
8、C
【分析】
连接OA 、OB ，则OAB 为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为2=18AB ，进而通过勾股定理，可得半径为3．
【详解】
解：如图，连接OA ，OB ，则OA =OB ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴90AOB ∠=︒，
∴OAB 是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD 的面积是18，
∴2=18AB ，
∴222+18OA OB AB ==，即：2218OA =
∴3OA =
故选C ．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．
9、B
【分析】
根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB ⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB 是C 的切
线，进而可得⊙C与AB的位置关系
【详解】
解：连接CO,
=，点O为AB中点．
CA CB
∴⊥
CO AB
CO为⊙C的半径，
∴是C的切线，
AB
∴⊙C与AB的位置关系是相切
故选B
【点睛】
本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．10、B
【分析】
根据三个学生的作法作出图形即可判断
【详解】
解：甲的作图如下，
12,ABP ABP 不是直角三角形，故甲的不正确
乙：如图，
根据直径所对的圆周角是直角可知，乙的作法正确，但不完整，
丙的作法如下，
丙的作法也正确，但不完整，
乙、丙的作法和结论合在一起才正确
故选B
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，直径所对的圆周角是直角，根据题意作出图形是解题的关键．
二、填空题
1、六
【分析】
设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则︒⋅=︒，由此即可得到答案．
60360
n
【详解】
解：设这个正多边形的边数为n，
∵正多边形的半径与边长相等，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴60360
n
︒⋅=︒，
n=，
∴6
∴正多边形的边数是六，
故答案为：六．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
2、103
π 【分析】
根据弧长公式代入求解即可．
【详解】
解：∵扇形的半径为5cm ，圆心角为120°， ∴扇形的弧长＝120510=1803
ππ︒⨯⨯︒． 故答案为：
103
π． 【点睛】 此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：
180
n r π，其中n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径．
3、【分析】 根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．
【详解】
解：根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，
D 在运动过程中始终保持∠ADB ＝120°不变，
D ∴在圆上运动，
当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，
过点D 作AB 的垂线交于点E ，如图：
4120AB ADB =∠=︒，
30,DBE BE ∴∠=︒=
12DE BD ∴=， 在Rt BDE 中，
222BD DE BE =+，
解得：2DE =，
1
2ABD
S AB DE ∴=⋅= 过点A 作BC 的垂线交于F ，
1
2
BF BC ∴==
6AF ∴=，
1
62
ABC S ∴=⨯⨯=
=4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形
故答案是：
【点睛】
本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．
4、256
π 【分析】
根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【详解】
如图，连接BO ，OC ，OA ，
由题意得：△BOC ，△AOB 都是等边三角形， ∴∠AOB ＝∠OBC ＝60°，
∴OA∥BC，
∴OBC ABC S S =，
2605253606
BOC S S ππ⨯⨯∴===阴扇． 故答案为：
256
π． 【点睛】 本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出BOC S S =阴扇．
5、23
π 【分析】 先根据12
OD OF =得出30OFD ∠=︒，同理可得出30OEA ∠=︒，进而得出60EOF ∠=︒，根据扇形的弧长公式计算即可．
【详解】
由题意可得：2OE OG OF === ∴12
OD OF = ∴在Rt ODF 中，1sin 2OD OFD OF ∠=
= ∴30OFD ∠=︒
同理可得：30OEA ∠=︒
AB OG DC ∥∥
30EOG OEA ∴∠=∠=︒，30FOG OFD ∠=∠=︒
∴60EOF EOG FOG ∠=∠+∠=︒ ∴60221801803
n r EF πππ⨯=== 故答案为：23
π
【点睛】
本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则
∠OCE=90°，结论得证；
BC＝3．
（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=1
2
【详解】
解：（1）证明：如图连接OC、OB．
∵ABC
∆是等边三角形
∴ 60
A ABC
∠=∠=
AB CE
∵//
∴ 60
∠=∠=
BCE ABC︒
=
又∵OB OC
∴30
∠=∠=
OBC OCB︒
∴90
∠=∠+∠=
OCE OCB BCE︒
⊥
∴OC CE
∴CE与⊙O相切；
（2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴180
∠+∠=
A BCD︒
∴120
∠=
BDC︒
∵D 为BC 的中点，
∴30DBC BCD ∠=∠=︒
∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒
∵//AB CE
∴90E ∠=︒ ∴11322
CE BC AB === 【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．
2、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）连接OC ，OC 为半径，直径所对的圆周角为90︒，90ACB ∠=︒；由题意可知
90BCO ACO DCA ACO ∠+∠=∠+∠=︒，进而可得出CD 是O 的切线．
（2）由题意知EFA B ∠=∠，对顶角EFA DFC ∠=∠，B ACD ∠=∠，故有FCD DFC ∠=∠，DC DF =；进而得出DEF 是等腰三角形．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接OC
AB 是O 的直径
90ACB ∴∠=︒
OC OB
=
∴∠=∠
B BCO
∠=∠
DCA B
BCO DCA
∴∠=∠
BCO ACO DCA ACO
∴∠+∠=∠+∠=︒
90
∴∠=∠=︒
90
DCO ACB
∴⊥
OC CD
又OC过圆心O
∴是O的切线．
CD
（2）DE AB
∵⊥
FEA
∴∠=︒
90
∴∠+∠=︒=∠+∠
A EFA A B
90
∴∠=∠=∠=∠
EFA B ACD DFC
FCD DFC
∴∠=∠
∴=
DC DF
∴是等腰三角形．
DEF
【点睛】
本题考察了圆周角、切线、等腰三角形等知识点．解题的关键与难点在于找角与角之间相等或互余的关系．
3、（1）；（2）2+；（3）
【分析】
（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠DEF，则AE=DF，由AD是圆O的直径，得到∠AED=90°，则
===；
DF AE
1
（2）连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M，由题意可知H在以K为圆心，以CE为直径的圆上，如图所示，当H运动到H'的位置时，即此时H'，B，K三点共线，BH有最大值BH'，由此求解即可；
（3）如图3-1所示，过点B作BN⊥l于N，过点B作BT∥l交CH于T，先证四边形BCHN是平行四边形，得到HT=BN，再证△AME∽△BNE，得到BN=4AM，即可推出CH-4AM=CH-HT=CT，又由CT BC
≤即可得到当直线l与直线BC垂直时，=
CT BC，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，由此求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，连接DF，
∵AD∥l，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AE=DF，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴1
===；
DF AE
（2）如图所示，连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M，
∵CH⊥EH，
∴∠CHE =90°，
∴H 在以K 为圆心，以CE 为直径的圆上，
∵BH HK BK ≤+，
∴如图所示，当H 运动到H '的位置时，即此时H '，B ，K 三点共线，BH 有最大值BH '，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =CD =5，AB ∥CD ，
∴BE =AB -AE =4，∠CDE =∠AED =90°，∠DCE =∠MEK ，
∴
CE KE ===
∴12
KH CE '==， ∵∠CDE =∠EMK =90°，
∴△CDE ∽△EMK ， ∴12
KM EK EM DE CE CD ===，
∴12KM DE =
=，1522EM CD ==， ∴32
BM AB AE EM =--=，
∴2BK =，
∴2BH '=+
∴BH 的最大值为2+；
（3）如图3-1所示，过点B 作BN ⊥l 于N ，过点B 作BT ∥l 交CH 于T ，
∵BN ⊥l ，CH ⊥l ，
∴BN∥CH ，
∴四边形BCHN 是平行四边形，
∴HT =BN ，
同理可证AM ∥BN ，
∴△AME ∽△BNE ， ∴4BN BE AM AE
==， ∴BN =4AM ，
∴HT =4AM ，
∴CH -4AM =CH -HT =CT ，
又∵CT BC
≤
∴当直线l与直线BC垂直时，=
CT BC，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC AD
==
∴CH-4AM的最大值为
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，弧、弦，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，圆内一点到圆上一点的最大距离，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4、（1）见解析；（2）2·FC FD FA =，见解析；
（3）187
【分析】 （1）连接OC ，根据直径所对的圆周角为直角及切线的性质和各角之间的等量关系即可证明；
（2）根据相似三角形的判定定理可得ΔΔΔΔ~ΔΔΔΔ，依据相似三角形的性质：对应边成比例即可得出；
（3）根据同弧所对的圆周角相等可得：B ADC ∠=∠，3cos cos 5
ADC B ∠=∠=，在Rt ACD ∆中，利用锐角三角函数可得6
5CD =，由勾股定理确定85AC =，由此得出34CD AC =，即为（2）中的相似比，设3FD x =，则4FC x =，32AF x =+，将其代入（2）中结论求解即可．
【详解】
解：（1）连接OC ，如图所示：
∵AD 为O 直径，
∴90ACD ∠=︒，90CAD ADC ∠+∠=︒，
∵CF 为O 的切线，
∴90OCF ∠=︒，即90OCD DCF ∠+∠=︒，
∵OC OD =，
∴OCD ADC ∠=∠，
∴DCF CAD ∠=∠；
（2）在ΔΔΔΔ与AFC ∆中，
∵DCF CAD ∠=∠，
F F ∠=∠，
∴ΔΔΔΔ~ΔΔΔΔ， ∴FC
FD
AF FC =，
∴2·FC AF FD =；
（3）∵B ADC ∠=∠， ∴3
cos cos 5ADC B ∠=∠=，
在Rt ACD ∆中，2AD =，
3
cos 5CD ADC AD ∠==， ∴6
·cos 5CD AD ADC =∠=，
∴8
5AC ==， ∴3
4CD
AC =，
由（2）结论可得：ΔΔΔΔ~ΔΔΔΔ， ∴3
4FC FD CD AF FC AC ===，
设3FD x =，则4FC x =，32AF x =+， 将其代入结论（2）可得： ()()24332x x x =+， 解得：6
7x =或0x =（舍去），
∴
18
3
7 FD x
==．
【点睛】
题目主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数解三角形、勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
5、（1）（-b，-1
2
b2）；（2）①直角三角形，见解析；②9
4
≤Δ≤3
【分析】
（1）y=1
2
x2+bx=
1
2
（x+b）2-
1
2
b2，即可求解；
（2）①求出抛物线的表达式为y=1
2
x2，联立y=
1
2
x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，证明
△ADO∽△OEB，即可求解；
②△AOB的外心为M，则点M是AB的中点，MP是梯形BADG的中位线，则m=k2+2，进而求解．【详解】
解：（1）∵y=1
2
x2+bx=
1
2
（x+b）2-
1
2
b2，
∴抛物线的顶点Q坐标为（-b，-1
2
b2）；
（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=b2-4×1
2
×0=0，解得b=0，
∴抛物线的表达式为y=1
2
x2，如下图，
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、G，设经过点（0，2）的直线的表达式为y=kx+2，
联立y=1
2
x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，
则x1+x2=2k，x1x2=-4，
∴y1=1
2
x12，y2=
1
2
x22，
则y1y2=1
4
x12x22=4=-x1x2，
∵AD=y1，DO=-x1，BE=y2，OE=x2，
∴AD OD OE BE
，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴∠AOD=∠OBE，
∵∠OBG+∠BOG=90°，
∴∠BOG+∠AOD=90°，即AO⊥BO，
∴△AOB为直角三角形；
②过点A作x轴的平行线交EB的延长线于点H，过点M作MN与y轴平行，交AH于N，
∵△AOB的外心为M，MN∥y轴∥BH，
∴点M是AB的中点，MP是梯形ABGD的中位线，
∴MP=1
2
（AD+BG）=
1
2
（y2+y1），
则m=MP=1
2
（y1+y2）=
1
2
（kx1+2+kx2+2）=
1
2
[k（x1+x2）+4]=k2+2，
令y=kx+2=0，解得x=-2
k
，即点K的坐标为（-
2
k
，0），
由题意得：2≤-2
k
≤4，解得-1≤k≤
1
2
且k≠0，
∴9
4
≤k2+2≤3，
即点M的纵坐标m的取值范围9
4
≤m≤3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。