储蓄问题——数学建模

储蓄问题模型建模人：王旭辉
老年人退休后办理活期存款账户分析
摘要本文考虑的是储蓄问题。

本题影响储蓄的因素主要有初始存款额、月利率、每月提款额与存取时间。

我在模型中因为月利率与月存款额都是固定的，所以只考虑初始存款额和存取时间对本题要求的账户余额以及初始存款进行分析解决。

根据此模型得到初始存款在月利率%
5.0、每月提款额为1000元情况下初始存款N月后账户余额数。

老人退休办理活期存款账户对自身养老是很有必要的，因此活期存款储蓄问题能反应储蓄的现实，符合存款人的迫切需求，分析结果更实用。

本文从第n月后账余额与初始存款的关系入手，得出了问题——相邻两个月账户余额关系式；账户余额涉及到初始存款额和存取时间，由多个相邻账户余额关系式观察得出账户余额与初始存款和存取时间的关系式，其中用到求等比数列的前n项和公
式
q-1q
1
a
S n
1 n
）（-
⨯
=。

根据n月后账户余额公式利用MATLAB软件对问题二提出的三种
初始存款分析出一年内的账户余额变化趋势，画散点图加以直观表示；问题三同样根据n月后账户余额公式求解出初始存款额以保证20年用尽存款。

通过对以上模型的分析与求解，得到了较为合理的预测结果。

关键词储蓄问题账户余额初始存款 MATLAB 散点图
一、问题的提出
老人退休后办理活期存款账户，便于每月提取固定数额的提款，直到提尽为止，这对老人养老是个必要的保障，为长远考虑就必须在退休后办理活期存款账户并存入一笔存款并保证在存款用尽之前，在计划的年数间都能每月提款。

现给出月利率为%5.0，每月提款额为1000元，需要我们利用所给数据和问题建立第n 月后账户余额与初始存款的数学模型，并由此对老年人活期存款问题进行分析解决。

二、问题分析
本题是关于老年人办理活期存款账户问题。

我们首先从相邻两个月账户余额关系式入手，得出相邻两个月账户余额关系式，并利用此关系式建立存款n 月后账户余额与初始存款和存取时间的数学模型——
200000)200000(005.1y +-⨯=c n n 。

根据题意利用MATLAB 软件求解出假设三种初始存款为19、20、21万时一年内账户余额的变化趋势。

问题三要求初始存款为多少正好保证20年提尽存款额，20年我们从初始存款存入到提尽共240个月，只需根据所建模型求出初始存款对问题进行解决。

三、模型假设
1、存款期限内月利率不变，月提款额不变；
2、利息按复利计算；
3、问题二所求为初始存款后第一年账户余额变化趋势。

四、符号说明
在以下式子中，c 表示初始存款总额，n y 表示第n 月后账户余额；
五、模型的建立与求解
账户余额与初始存款和第几月取款有关。

问题一：相邻两个月账户余额关系式确定 初始存款后第一月至第3月账户余额分别为：
1000%)5.01(1000%)5.01(1000%)5.01(1000
%)5.01(1000%)5.01(1000
%)5.01(1000%)5.01(2332121-+-+-+=-+-+=-+=-+=c y c y y c y
相邻两个月账户余额关系式：1000%)5.01(1-+⨯=-n n y y
问题二：
根据相邻两个月账户余额关系式得第n 月账户余额与初始存款的关系为：
[]
200000
)200000(005.1200000)200000(005.1%)5.01(200000200000%)5.01(%)
5.01(1%)5.01(111000%)5.01(1000
%)5.01(1000%)5.01(1000%)5.01(1000%)5.01(21+-=+-=+-++=+-+-⨯⨯
-+=-+--+-+-+=--c y c c c c y n n n n n n
n
n n n n
根据所建模型关系式，利用MATLAB 软件计算得： 月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 帐户余额 1.8995 1.899 1.8985 1.898 1.8975 1.
89
7 1.8964 1.89
59
1.8954
1.8949
1.8944
1.8938
当初始存款为19万时，一年内账户余额（数值为5^10⨯元）的变化趋势：
当初始存款为20万时，一年内账户余额的变化趋势：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
帐户
余额
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
当初始存款为21万时，一年内账户余额的变化趋势：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
帐户余额2.1
005
2.
10
1
2.1
015
2.
10
2
2.1
025
2.
10
3
2.1
036
2.10
41
2.10
46
2.10
51
2.10
56
2.10
62
问题三：求初始存款为多少才能保证20年用尽存款，根据账户余额与初始存款和取款时间的数学模型——200000)200000(005.1y +-⨯=c n n , 求c 的值，带入数值得：
200000)200000(005.1y 240240+-⨯=c
根据问题20年用尽存款
y 240=
所以得200000200000005.1c 005.1240240-⨯= 经求解得139581c =元
六、模型评价
该模型自己运用自己所掌握的现有知识经认真分析解决，感觉能较准确的解决本题有关储蓄问题所提到的问题。

由于自己所掌握知识有限，现没想到本模型的改进之处，希望自己在今后的生活中多多学习相关内容，以利于对数学模型有更清楚的认识并能运用数学模型解决现实生活中所存在的诸多问题。

七、参考文献
【1】宋叶志 贾东永 ，MATLAB 数值分析与应用，北京，机械工业出版社，2009年7月
八、附录
用MATLAB解问题二过程如下：
>> n=1:1:12;
>> c=190000;
>> y=1.005.^n*(c-200000)+200000
y =
1.0e+005 *
Columns 1 through 8
1.8995 1.8990 1.8985 1.8980 1.8975 1.8970 1.8964 1.8959 Columns 9 through 12
1.8954 1.8949 1.8944 1.8938
>> plot(n,y,'*')
>> title('初始存款为19万时一年内账户余额的变化趋势图')
>> xlabel('x-第n个月')
>> ylabel('y-账户余额')
>> n=1:1:12;
>> c=200000;
>> y=1.005.^n*(c-200000)+200000
y =
Columns 1 through 7
200000 200000 200000 200000 200000 200000 200000
Columns 8 through 12
200000 200000 200000 200000 200000
>> plot(n,y,'s')
>> title('初始存款为20万时一年内账户余额的变化趋势图') >> xlabel('x-第n个月'); ylabel('y-账户余额')
>> n=1:1:12;c=210000;
>> y=1.005.^n*(c-200000)+200000
y =
1.0e+005 *
Columns 1 through 8
2.1005 2.1010 2.1015 2.1020 2.1025 2.1030 2.1036 2.1041 Columns 9 through 12
2.1046 2.1051 2.1056 2.1062
>> plot(n,y,'h')
>> title('初始存款为21万时一年内账户余额的变化趋势图')
xlabel('x-第n个月'); ylabel('y-账户余额')。