2020-2021备战中考数学 相似综合试题及详细答案

2020-2021备战中考数学相似综合试题及详细答案
一、相似
1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．
（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的
Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，
把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，
∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4
（2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；
当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），
从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，
∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ，
∴△BCD为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率=
（3）解：存在，
易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC•OB= ×3×4=6，
M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），
①当N点在AC上，如图1，
∴△AMN的面积为△ABC面积的，
∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，
当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，
∴tan∠MAC= =4；
当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，
∴tan∠MAC= =1；
②当N点在BC上，如图2，
BC= =2 ，
∵BC•AN= AC•BC，解得AN= ，
∵S△AMN= AN•MN=2，
∴MN= = ，
∴∠MAC= ；
③当N点在AB上，如图3，
作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN= ﹣t，
由②得AH= ，则BH= ，
∵∠NBG=∠HBA，
∴△BNM∽△BHA，
∴，即，
∴MN= ，
∵AN•MN=2，
即•（﹣t）• =2，
整理得3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3 ）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，
∴点N在AB上不符合条件，
综上所述，tan∠MAN的值为1或4或
【解析】【分析】（1）将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。

（2）先求出抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标A，与x轴、y轴的交点D、C、B的坐标，可得出从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，再求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概率公式求解即可。

（3）利用待定系数法求出直线BC的函数解析式及△ABC的面积、点M的坐标，再分情况
讨论：①当N点在AC上，如图1；②当N点在BC上，如图2；③当N点在AB上，如
图3。

利用△AMN的面积=△ABC面积的，解直角三角形、相似三角形的判定和性质等相关的知识，就可求出tan∠MAN的值。

2．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b的值；
（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
【答案】（1）解：由题意得：，解得：a= ，b=
（2）解：①由（1）知二次函数为 .∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C （0，﹣2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5，AC= ，BC= ，∴AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°．
∵AE=2t，AF= t，∴ .
又∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，
∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；
由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF= AE=t．
假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：
ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，
∴AE= AB= t= ÷2= ；
ⅱ）若D为直角顶点，如图3．
∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．
∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，
∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．
∵OC⊥BD，
∴OD=OB=1，
∴AD=3，
∴AE= ，
∴t= ；
当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形．
综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t= 或t= ．
②ⅰ）当0＜t≤ 时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S= ×2t×t=t2；
ⅱ）当＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，
过点G作GH⊥BE于H，
设GH=m，则BH= ，DH=2m，∴DB= ．
∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴ =4t﹣5，∴m= （4t﹣5），
∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣（4t﹣5）× （4t﹣5）= ；
ⅲ）当2＜t≤ 时，重叠部分为△BEG，如图5．
∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），
∴S= ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．
综上所述：．
【解析】【分析】（1）根据已知抛物线的图像经过点A，以及当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。

（2）①由x=0及y=0时，求出点A、B、C三点的坐标，以及线段OA、OB、OC的长，利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，用含t的代数式表示出线段AD、AE、AF （即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，可证得△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角三角形，可分成三种情况讨论：
i）点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；
ii）点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；
iii）、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．
②此题需要分三种情况讨论：
i）当点E在点A与线段AB中点之间时，即当0＜t≤，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；
ii）当点E在线段AB中点与点O之间时，即＜t≤2时，重叠部分是个不规则四边形，根据S=S△DEF﹣S△DBG可求解。

iii）当点E在线段OB上时，即2＜t≤时，重叠部分是个小直角三角形，根据三角形的面积公式，即可求解。

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。

P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x.
（1）在△ABC中，AB＝ ________；
（2）当x＝________时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。

【答案】（1）10
（2）5
（3）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.
∴AC∥PN，∠A=∠NPB.
∴△AMP∽△PNB∽△ABC.
当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB
此时S△AMP=S△PNB= ×4×3=6
而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.
所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.
【解析】【解答】（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
（ 2 ）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴，
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（ x+8- x）=14，解得x=5；
【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x，可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明△AMP∽△PNB∽△ABC，只有当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB，此时S△AMP=S△PNB，分别求出当P为AB中点时△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可.
4．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y= x2+bx+c，得
解得 ,抛物线的解析式是y= x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）
（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，
设F（x， x2+2x+6），则FG= ，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，
∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，
∴
当点F在x轴上方时，有，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标为（-1，）,
当点F在x轴下方时，有，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐标为（-3，）,
综上可知F点的坐标为（-1，）或（-3，）
（3）解：如图2，
不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上
∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 ,
∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），
∵点M在抛物线y= x2+2x+6的图象上，∴k= (2-k)2+2(2-k)+6
解得k1= 或k2=
∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，）或Q2（2，）.
【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。

（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明△FBG∽△BDE，利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。

（3）由点M，N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上,设Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。

5．如图①，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB＝BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2，l1于点D，E(点A，E位于点B的两侧，满足BP＝BE，连接AP，CE．
（1）求证：△ABP≌△CBE．
（2）连接AD、BD，BD与AP相交于点F，如图②．
①当时，求证：AP⊥BD；
②当 (n＞1)时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值．【答案】（1）证明：BC⊥直线l1，
∴∠ABP＝∠CBE．
在△ABP和△CBE中，
（2）①证明：如图，延长AP交CE于点H．
∵△ABP≌△CBE，
∴∠PAB＝∠ECB，
∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°，
∴∠AHE＝90°，
∴AP⊥CE．
∵，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2，
∴△CPD∽△BPE，
∴，
∴DP＝EP．
∴四边形BDCE是平行四边形，∴CE∥BD．
∵AP⊥CE，∴AP⊥BD．
②解：∵，∴BC＝nBP，
∴CP＝(n－1)BP．
∵CD∥BE，
∴△CPD∽△BPE，
∴．
令S△BPE＝S，则S2＝(n－1)S，
S△PAB＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S．
∵，
∴S1＝(n＋1)(n－1)S，
∴．
【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得△ABP≌△CBE；
（2）①、延长AP交CE于点H，由（1）知△ABP≌△CBE，所以可得∠PAB＝∠ECB，而∠∠ECB+∠BEC=，所以可得∠PAB+∠BEC=，即∠AHE=，所以AP⊥CE；已知
=2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD，由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE∥BD，再根据平行线的性质即可求得AP⊥BD；
②方法与①类似，由已知条件易证得△CPD∽△BPE，则可得对应线段的比相等，然后可将△PAD的面积和△PCE的面积用三角形BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。

6．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， =________；②当α=180°时， =________．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【答案】（1）；
（2）解：如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴
（3）解：①如图3，
，
∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC= ．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC= ，CD=4，CD⊥AD，
∴AD= ，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE= =2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD= ．
综上所述，BD的长为或．
【解析】【解答】（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴ ,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
【分析】（1）①当α=0°时，Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；②如图1，当α=180°时，根据平行线分线段成比例定理得出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。

（2）当0°≤α＜360°时，A E∶ B D 的大小没有变化，由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB，进而得出∠ECA=∠DCB，又根据EC∶DC=AC∶BC=,根据两边对应成比例，及夹角相等的三
角形相似得出△ECA∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=;（3）①如图3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=；②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，在Rt△ADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的
长，根据AE=AD-DE算出AE的长，由（2），可得AE∶BD=,从而得出BD的长度。

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s 的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.
（1）当△BDE 是直角三角形时，求t的值；
（2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，AC+AD=2t，
∴BD=6+10-2t=16-2t，
∵∠BED=∠C=90°，
∴DE∥AC，
∴，
∴，
∴DE= ，
∵sinB= ，
∴，
t= ；
如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，BD=16-2t，
cosB= ，
∴，
∴t= ；
答：当△BDE是直角三角形时，t的值为或
（2）解：①如图3，当0＜t≤3时，BE=t，CD=2t，CE=8-t，
∴S▱CDEF=2S△CDE=2× ×2t×（8-t）=-2t2+16t，
如图4，当3＜t＜8时，BE=t，CE=8-t，过D作DH⊥BC，垂足为H，
∴DH∥AC，
∴，
∴，
∴DH= ，
∴S▱CDEF=2S△CDE=2× ×CE×DH=CE×DH=（8-t）× = t2− t+ ；
∴S于t的函数关系式为：当0＜t≤3时，S=-2t2+16t，
当3＜t＜8时，S= t2− t+ ；
②存在，如图5，当▱CDEF为菱形时，DH⊥CE，
由CD=DE得：CH=HE，
BH= ，BE=t，EH= ，
∴BH=BE+EH，
∴ =t+ ，
∴t= ，
即当t= 时，▱CDEF为菱形．
【解析】【分析】（1）因为△BDE 是直角三角形有两种情况：
①当∠BED=90°时，可得DE∥AC，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得,于是可得比例式将DE
用含t的代数式表示，再根据sinB=可得关于t的方程，解方程即可求解；
② 当∠EDB=90°时，同理可求解；
（2）①当0＜t≤3时，S▱CDEF=2S△CDE可得s与t的关系式；当3＜t＜8时，过D作DH⊥BC，垂足为H，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得,于是可得比例式将DH用含t的代数式表示，则S▱CDEF=2S△CDE可得s与t的关系式；当3＜t＜8时，同上；
②存在，当▱CDEF为菱形时，DH⊥CE，根据BH=BE+EH可得关于t的方程，解方程即可求解。

8．如图1，直线l：与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线
段OA上一动点（0＜AC＜），以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．
（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；
（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．
【答案】（1）解：把A（4，0）代入，得 ×4+b=0，
解得b=3，
∴直线l的函数表达式为，
∴B（0,3），
∵AO⊥BO，OA=4，BO=3，
∴tan∠BAO= .
（2）①证明：如图，连结AF，
∵CE=EF，
∴∠CAE=∠EAF，
又∵AC=AE=AF，
∴∠ACE=∠AEF，
∴∠OCE=∠OEA，
又∵∠COE=∠EOA，
∴△OCE∽△OEA.
②解：如图，过点E作EH⊥x轴于点H，
∵tan∠BAO= ，
∴设EH=3x，AH=4x，
∴AE=AC=5x，OH=4-4x，
∴OC=4-5x,
∵△OCE∽△OEA，
∴ = ，
即OE2=OA·OC，
∴（4-4x）2+（3x）2=4（4-5x）,
解得x1= ，x2=0（不合题意，舍去）
∴E（，）.
（3）解：如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N,
∵tan∠BAO= ,
∴cos∠BAO= ,
∴AN=OA·cos∠BAO= ,
设AC=AE=r,
∴EN= -r,
∵ON⊥AB，AM⊥OF,
∴∠ONE=∠AME=90°，EM= EF,
又∵∠OEN=∠AEM,
∴△OEN∽△AEM,
∴ = ,
即OE· EF=AE·EN,
∴OE·EF=2AE·EN=2r·（ -r）,
∴OE·EF=-2r2+ r-2（r- ）2+ （0＜r＜）,
∴当r= 时，OE·EF有最大值，最大值为 .
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入直线l解析式即可求出b值从而得直线l的函数表达式，根据锐角三角函数正切定义即可求得答案.（2）①如图，连结AF，根据等腰三角形性质等边对等角可得两组对应角相等，根据相似三角形的判定即可得证.
②如图，过点E作EH⊥x轴于点H，根据锐角三角函数正切值即可设EH=3x，AH=4x，从而得出AE、OH、OC，由①中相似三角形的性质可得OE2=OA·OC，代入数值即可得一个关于x的方程，解之即可求出E点坐标.
（3）如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N,根据锐角三角函数定义可求得AN=OA·cos∠BAO= ,设AC=AE=r,则EN= -r,根据相似三角形判定和性质可知 = ,即OE·EF=-2r2+ r=（0＜r＜）,由二次函数的性质即可求此最大值.
9．如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，．
（1）求证：DC为的切线；
（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且，的半径为5，
，求CF的长．
【答案】（1）解：如图，连接OC，
为的直径，
，
，
，
，
，
，即，
为的切线
（2）解：中，，，，，
，，
∽，
，
设，，
中，，
，
舍或，
，，
，
设，
，
，
，
，
∽，
，
，，
【解析】【分析】（1）要证DC为⊙O 的切线，需添加辅助线：连半径OC，证垂直，根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ BCO + ∠ OCA = 90°，再利用等腰三角形的性质，可得出∠ B = ∠BCO ，结合已知，可推出∠OCD=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论。

（2）根据已知圆的半径和sinB的值，可求出AB、BC的值，再证明△CAD ∽△BCD，得出对应边成比例，得出AD与CD的比值，利用勾股定理求出AD、CD的长，再利用∠CEF=45°去证明CE = CF ，然后证明△ CED ∽△ BFD ，得出对应边成比例，求出CF的长。

10．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点
C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于 AD长为半径做
弧，交于点B,AB∥CD.
（1）求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积.
【答案】（1）证明：由已知得：AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线,
∴∠ACB=∠DCB，
又∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，
又∵AC=CD,AB=DB,
∴AC=CD=DB=BA，
四边形ACDB是菱形，
又∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.
（2）解：设菱形ACDB的边长为x，∵CF=6,CE=12,
∴FA=6-x，
又∵AB∥CE,
∴△FAB∽△FCE,
∴ ,
即，
解得：x=4，
过点A作AH⊥CD于点H,
在Rt△ACH中，∠ACH=45°,
∴sin∠ACH= ,
∴AH=4× =2 ,
∴四边形ACDB的面积为： .
【解析】【分析】（1）依题可得：AC=CD,AB=DB,BC是∠FCE的角平分线,根据角平分线的定义和平行线的性质得∠ACB=∠ABC，根据等角对等边得AC=AB，从而得AC=CD=DB=BA，根据四边相等得四边形是菱形即可得四边形ACDB是菱形；再根据题中的新定义即可得证.（2）设菱形ACDB的边长为x，根据已知可得CF=6,CE=12,FA=6-x，根据相似三角形的判定
和性质可得，解得：x=4,过点A作AH⊥CD于点H,在Rt△ACH中，根据锐角三角形函数正弦的定义即可求得AH ,再由四边形的面积公式即可得答案.
11．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长.
【答案】（1）15
（2）解：如图①中，
在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
∵△ABE也是“准互余三角形”，
∴只有2∠B+∠BAE=90°，
∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，
∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，
∴CE= ，
∴BE=5﹣ = .
（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A、B、F共线，
∴∠A+∠ACF=90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF2=FB•FA，设FB=x，
则有：x（x+7）=122，
∴x=9或﹣16（舍去），
∴AF=7+9=16，
在Rt△ACF中，AC=
【解析】【解答】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
∴2∠B+∠A=90°，
解得，∠B=15°；
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；
12．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x.
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长.
【答案】（1）解：∵AD=CD.
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB，
∵∠ECA=∠ECA，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE= ，
∵CA= ，
∴，
∴CF= ；
（2）解：∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，
∴△CEA∽△BFA，
∴（0＜x＜2）
（3）解：由（2）知，△CEA∽△BFA，
∴，
∴，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是，
∴tan∠ABE= ，
∴x= ，
∴AB=x+2= .
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△CEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由∠ABE的正切值求解.。